湖北省武漢市黃陂六中 梅 磊 (郵編：430300)

對一道高考數(shù)學壓軸題的研究

湖北省武漢市黃陂六中 梅 磊 (郵編：430300)

2014年高考數(shù)學湖北卷文科壓軸題(理科次壓軸題)如下：

在平面直角坐標系xOy中，點M到點F(1,0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1．記點M的軌跡為C.

(Ⅰ)求軌跡C的方程；

(Ⅱ)設斜率為k的直線l過定點P(-2,1). 求直線l與軌跡C恰好有一個公共點、兩個公共點、三個公共點時k的相應取值范圍.

本題立足課本上的通性通法，考查求軌跡方程的基本方法、直線與拋物線的位置關系，考查函數(shù)與方程的思想、分類與整合的思想，考查推理論證能力和運算求解能力.該題運算量適中，難度適宜，貼近課本，兩問銜接自然，充分體現(xiàn)了解析幾何的本質(zhì)，使得考生的理性思維和學科能力得到充分的考查.

1 解法分析

第(Ⅰ)問求軌跡C的方程，考查曲線與方程的對應關系，直接由題意列出動點M的坐標滿足的關系式|MF|=|x|+1，再化簡即可，此問是考生所熟知的類型，有利于穩(wěn)定考生的情緒，增強解題的信心.

第(Ⅱ)問判斷直線l與軌跡C的交點的個數(shù)，可以用解析法來解決，即要討論直線l方程與軌跡C的方程組成的方程組的解的情況，由方程組的解的情況判斷直線l與軌跡C的交點的個數(shù)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想.注意到軌跡C的方程可以分為兩個部分(可分別記為C1和C2)，可以分別討論直線l的方程與C1的方程組成的方程組的解的情況和直線l方程與C2的方程組成的方程組的解的情況.在討論直線l方程與C1的方程組成的方程組的解的情況時，要分k=0和k≠0兩種情況討論，且在k≠0這種情形中又要分△=0，△>0和△<0三種情況討論，反復體現(xiàn)了分類與整合的思想，此問也是考生所熟知的類型，有利于考生征服壓軸題，體驗成功的喜悅.

具體解答如下(與參考答案略有不同)：

(Ⅰ)設點M(x,y)，依題意當x≥0時，點M(x,y)到點F(1,0)的距離與它到直線x=-1相等，由拋物線定義知，此時點M的軌跡C的方程為C1:y2=4x;

當x<0時，點M(x,y)到點F(1,0)的距離與它到直線x=1相等，顯然，此時點M的軌跡C的方程為C2:y=0(x<0).

(Ⅱ)依題意，可設直線l的方程為y-1=k(x+2).

(1)先考慮直線l和C2的公共點的個數(shù).

當k=0時，直線l與x軸平行，此時直線l與C2無公共點；

(2)再考慮直線l和C1的公共點的個數(shù).

當k=0時，易知，直線l與C1恰有一個公共點.

當k≠0時，方程ky2-4y+4(2k+1)=0的判別式為△=-16(2k2+k-1).

2 題源探究

看到此題，我們不難聯(lián)想到下面三道題.

題源1 (1990年希望杯高二第一試第13題)若平面內(nèi)的動點P到定點F(1,0)的距離比P點到y(tǒng)軸的距離多1．則動點P的軌跡方程是______.

題源2 (2011年湖南高考文科數(shù)學第21題)已知平面內(nèi)的動點P到定點F(1,0)的距離與點P到y(tǒng)軸的距離的差等于1．

(Ⅰ)求動點P的軌跡C的方程；

題源3 (人教A版選修1-1課本第62頁例5，選修2-1課本第71頁例6)已知拋物線的方程為y2=4x，直線l過定點P(-2,1)，斜率為k.當k為何值時，直線l與拋物線：只有一個公共點；有兩個公共點；沒有公共點.

顯然，試題由上述三道題整合加工而成，其中試題的第(Ⅰ)問與題源1和題源2的第(Ⅰ)問如出一轍，都是求軌跡C的方程，求解方法也一樣；試題的第(Ⅱ)問與題源2極為相似，直線l過定點P(-2,1)坐標完全一樣，試題判斷直線l與C1的交點個數(shù)與題源2完全相同；試題判斷直線l與C2的交點個數(shù)與題源3完全類似.

3 導向解讀

本題滿分14分，其中第(Ⅰ)問5分，第(Ⅱ)問9分.考生只要了解求曲線的方程的基本方法，解答第(Ⅰ)問是很容易.如果考生掌握判斷直線與拋物線公共點個數(shù)的基本方法，解答第(Ⅱ)問也是不難的.故對于大多數(shù)考生而言，可以拿到一半左右的分數(shù).

然而，本題的實測結果卻不盡人意，文科考生的平均分僅為2.18，理科考生的平均分也僅3.71分，遠遠低于預期.

為什么會出現(xiàn)這樣的結果呢？

長期以來，說到高考數(shù)學壓軸題，在很多師生眼中，那是尖子生的天下.從壓軸題的功能看，應該具有必要的難度和較強的區(qū)分度，有利于高校選拔優(yōu)秀人才.為此，命題組擔心的是壓不壓得住的問題，而高中師生考慮的則是做不做的問題，命題與應試之間的矛盾凸顯無疑.在認同命題者水平的前提下，值得引起我們注意和反思的一個誤區(qū)，就是部分高中數(shù)學教師指導學生復習備考的“異化”現(xiàn)象：即明確告訴學生不要在壓軸題上浪費過多的時間，甚至干脆讓學生放棄壓軸題.在這種應試意識的影響下，教師自己也疏于對壓軸題的研究，不愿意或舍不得花時間去領悟壓軸題的味道，從而也就難以指導學生去研究壓軸題，挑戰(zhàn)壓軸題，征服壓軸題.這種消極的影響造成考生對壓軸題的心理畏懼是可想而知的.每年總有部分考生因為時間關系無暇顧及壓軸題，這是正常的，但仍有不少考生在時間允許的情況下完全放棄壓軸題，甚至考后連壓軸題是什么樣的題都不知道，這就不正常了.

2014年高考數(shù)學湖北卷文科壓軸題(理科次壓軸題)發(fā)出的信號是強烈的：不要完全放棄壓軸題，而要勇敢挑戰(zhàn)壓軸題，壓軸題一般都會設置層次分明的臺階，入口寬，上手易，只是深入難，解到底難，但即使難，解題所用的方法也是通性通法和常規(guī)常法.

其實，對于所有認真復習備考的同學來說，都有能力與實力在高考數(shù)學壓軸題上拿到一半左右的分數(shù)，要獲取這一半左右的分數(shù)，不需要大量針對性訓練，也不需要復雜艱深的思考，只需要你有正確的心態(tài)！信心很重要，細心不可少.

對于教師而言，更要提高自身對壓軸題研究的意識和水平，幫助考生掌握正確解答壓軸題的策略，走出解答壓軸題的誤區(qū).

1 梅磊.求解一道2014年高考數(shù)學壓軸題的心路歷程[J].中學數(shù)學教學，2014(6)

2015-03-03)