安徽省合肥市初中數(shù)學(xué)名師工作室 萬志華 劉 鈺 衛(wèi)德彬 (郵編：231200)

課標(biāo)理念重在“踐行” 函數(shù)概念旨在“體會(huì)”
——以初中階段“三類函數(shù)”的概念解讀為例

安徽省合肥市初中數(shù)學(xué)名師工作室 萬志華 劉 鈺 衛(wèi)德彬 (郵編：231200)

函數(shù)就是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，它在九年制義務(wù)教育第三學(xué)段“數(shù)與代數(shù)”部分中占有重要的地位.標(biāo)志著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)由常量數(shù)學(xué)過渡到變量數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)思維上是一個(gè)飛躍，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和辯證唯物主義觀點(diǎn)具有重要的意義和作用：一方面很多常量數(shù)學(xué)不能解決的問題，運(yùn)用變量數(shù)學(xué)就能夠迎刃而解，另一方面變量數(shù)學(xué)也是今后學(xué)習(xí)物理、化學(xué)等其它學(xué)科的有力工具和載體，同時(shí)函數(shù)與方程、不等式又有著密切的聯(lián)系；作為一條主線，它是初中階段“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容的核心.

函數(shù)來源于生活又服務(wù)于生活，緊密聯(lián)系著實(shí)際，從實(shí)際中抽象出函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，又運(yùn)用此知識(shí)來解決實(shí)際問題，這是貫穿于函數(shù)的主線，即通過設(shè)置實(shí)際問題情境抽象出一次函數(shù)、二次函數(shù)以及反比例函數(shù)(以下簡(jiǎn)稱“三類函數(shù)”)的概念及其關(guān)系式后，經(jīng)歷列表、描點(diǎn)、作圖等活動(dòng)，逐步來認(rèn)識(shí)這些函數(shù)的圖象和性質(zhì)、最后是運(yùn)用函數(shù)的這些知識(shí)來解決相應(yīng)的實(shí)際問題，這其中，對(duì)“三類函數(shù)”的概念的理解既是學(xué)習(xí)函數(shù)的出發(fā)點(diǎn)，又是學(xué)習(xí)函數(shù)的落腳點(diǎn)，“三類函數(shù)”概念的形成，是從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的升華，只有當(dāng)概念建立后，即已擺脫原型成為教學(xué)對(duì)象(有經(jīng)驗(yàn)支撐的數(shù)學(xué)知識(shí))，此時(shí)才能轉(zhuǎn)向其數(shù)學(xué)意義的理解，從而再進(jìn)行更深層次的研究，恰恰這一點(diǎn)被我們很多教師以及部分專家們所忽視了.他們總是把教學(xué)的重點(diǎn)放在后面兩點(diǎn)上，特別是第三點(diǎn)即“運(yùn)用函數(shù)知識(shí)來解決相應(yīng)的實(shí)際問題”，殊不知第一點(diǎn)即對(duì)“三類函數(shù)”的概念理解、掌握，才是學(xué)習(xí)“三類函數(shù)”的基石及抓手.所以教師用書總是在學(xué)習(xí)函數(shù)的相關(guān)章節(jié)中，均把“三類函數(shù)”的概念的理解與掌握列為教學(xué)重點(diǎn)，同時(shí)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(以下簡(jiǎn)稱《新標(biāo)準(zhǔn)》)中對(duì)“三類函數(shù)”的概念的理解與掌握是這樣要求的：“結(jié)合具體情境體會(huì)一次函數(shù)的意義”；“結(jié)合具體情境體會(huì)反比例函數(shù)的意義”；“通過對(duì)實(shí)際問題的分析，體會(huì)二次函數(shù)的意義”.這個(gè)“體會(huì)”含義極為豐富，我們至少可以從兩個(gè)方面去理解和把握，一方面是通過學(xué)生自己(或教師的引導(dǎo))完成預(yù)備知識(shí)，即從教科書中提供的實(shí)際問題情境入手，結(jié)合已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過他們的觀察、思考、分析和歸納，試著讓學(xué)生去把握概念的本質(zhì)特征，從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移，這充分體現(xiàn)出“先學(xué)后教”的教育思想，當(dāng)然這也可以看作是《新標(biāo)準(zhǔn)》中提倡的“學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者”這個(gè)基本理念的貫徹與實(shí)施；另一方面是對(duì)概念的理解必須從“兩個(gè)維度”去把握，即對(duì)概念理解的深度和理解的寬度，這是在教師對(duì)概念的拓展解讀中讓學(xué)生把握的，所以是以教師講解為主.其中對(duì)概念的理解深度是指對(duì)概念本質(zhì)的理解，這種理解必須是超越形式上的、不是簡(jiǎn)單的、膚淺的認(rèn)識(shí)；理解的寬度則是指對(duì)與概念相關(guān)的知識(shí)和性質(zhì)的理解以及和之前學(xué)過的有聯(lián)系的知識(shí)的理解，從而將概念放在該知識(shí)體系的發(fā)展脈絡(luò)和整體架構(gòu)中去理解、去把握，這點(diǎn)又可以看作是《新標(biāo)準(zhǔn)》中提倡的“教師教學(xué)……要發(fā)揮主導(dǎo)作用，處理好講授與學(xué)生自主學(xué)習(xí)的關(guān)系……使學(xué)生理解和掌握其基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能.”這個(gè)基本理念的體現(xiàn).在“三類函數(shù)”的概念實(shí)際教學(xué)中，我們往往是對(duì)第一點(diǎn)還算得上兼顧，但對(duì)于第二點(diǎn)即“對(duì)概念的理解必須從兩個(gè)維度去把握”做得卻是很不夠，下面以初中階段“三類函數(shù)”的概念教學(xué)設(shè)計(jì)為例，來談?wù)勗趯?shí)際教學(xué)中我們應(yīng)如何對(duì)“三類函數(shù)”概念從“兩個(gè)維度”即對(duì)概念理解的“深度”和“寬度”上去詮釋.

對(duì)于“三類函數(shù)”的概念引入以及對(duì)概念的描述部分在這里就不再贅述了.

二次函數(shù) 可以從以下五個(gè)方面去講解：①二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a、b、c是常數(shù)，a≠0)的結(jié)構(gòu)形式是：等號(hào)左邊是函數(shù)y，等號(hào)右邊是關(guān)于自變量x的二次整式，因此二次項(xiàng)的系數(shù)必須a≠0；②判斷一個(gè)函數(shù)是否是二次函數(shù)，要把它化簡(jiǎn)為一般形式，即y=ax2+bx+c(a≠0)，不能被它的表面現(xiàn)象所迷惑；③在二次函數(shù)的一般形式中二次項(xiàng)系數(shù)不能為零，而一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)都可以為零，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為零時(shí)，則函數(shù)就變?yōu)橐淮魏瘮?shù)或常數(shù)函數(shù)了；④二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a、b、c是常數(shù)，a≠0)中，x、y都是變量，自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)(在實(shí)際問題中，自變量的取值范圍應(yīng)使實(shí)際問題有意義)；⑤當(dāng)函數(shù)值y=0時(shí)，此時(shí)的二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a、b、c是常數(shù)，a≠0)就變成ax2+bx+c=0的形式，在a、b、c是常數(shù)，a≠0的條件下，也就是一元二次方程的一般形式，這時(shí)我們就可以這樣說，當(dāng)二次函數(shù)的圖象和x軸有交點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值y=0，此時(shí)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c是常數(shù)，a≠o)的根，這也是本章要研究的內(nèi)容，即二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系.

以上是對(duì)初中階段“三類函數(shù)”概念的意義的第二方面的“體會(huì)”即從兩個(gè)“維度”去理解其本質(zhì)，其中對(duì)每類函數(shù)的概念的詮釋的第一、二兩點(diǎn)是對(duì)相應(yīng)的函數(shù)概念的“深度”理解,這是講解的重點(diǎn)，后面幾點(diǎn)則是對(duì)相應(yīng)的函數(shù)概念的“寬度”理解.這幾點(diǎn)雖然不是講解的重點(diǎn)，但講解卻非常有必要，因?yàn)橐环矫婵梢宰寣W(xué)生知道一次函數(shù)和之前所學(xué)的二元一次方程的關(guān)系，二次函數(shù)和之前所學(xué)的一元二次方程的關(guān)系，反比例函數(shù)和之前所學(xué)的反比例關(guān)系以及和正比例函數(shù)的區(qū)別對(duì)照，另一方面還可以讓學(xué)生看到一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的概念對(duì)后繼知識(shí)的統(tǒng)領(lǐng)作用.

總之，概念是數(shù)學(xué)的命根子，它是判斷和推理的依據(jù)，我們告訴學(xué)生“記死才能用活，”如果概念本身模棱兩可，必然導(dǎo)致判斷不準(zhǔn)，推理混亂，所以李邦河院士說：“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧的，技巧不足道也?”.我們一線的教師不能因?yàn)槟撤N需要(如為了考試而大講、特講典型例題)而忽視或淡化了數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，不能用習(xí)題教學(xué)來替代對(duì)概念的概括與理解過程，不能淡化概念的深度講解，要注重?cái)?shù)學(xué)概念相關(guān)知識(shí)的生成過程以及學(xué)生對(duì)新概念知識(shí)的內(nèi)化過程.那些認(rèn)為“應(yīng)用概念的過程就是理解概念的過程”是片面的，因?yàn)閷?duì)于學(xué)生來說，由于其理解能力的不足，在對(duì)于新的數(shù)學(xué)概念知識(shí)是很難準(zhǔn)確認(rèn)知的，它需要教師的細(xì)致講解，唯有這樣，才能讓學(xué)生關(guān)注其本質(zhì)，理解其真正含義.

1 中華人民共和國(guó)教育部制訂.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版) [M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011

2 羅新兵.“二次根式”的概念分析與教學(xué)路徑[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(中旬),2014(1-2)

3 王敏，孫振國(guó).淺談新課程改革的幾個(gè)誤區(qū)[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)(中旬),2014(1-2)

2015-03-08)