安徽省合肥市第六中學(xué) 周天明 (郵編：230001)

一道2014年高考數(shù)學(xué)安徽卷試題的推廣與簡(jiǎn)證

安徽省合肥市第六中學(xué) 周天明 (郵編：230001)

文[1]通過對(duì)2014年高考數(shù)學(xué)安徽卷理科第15題的研究，提出了對(duì)該題的推廣和反思，并對(duì)所給的兩個(gè)推廣，利用局部調(diào)整法給出了證明.筆者受益匪淺，但美中不足的是文中有一處錯(cuò)誤，而且筆者總感覺，文中所給證明方法太過繁瑣.經(jīng)過思考，筆者得到較為簡(jiǎn)單的證明方法.

推廣1 已知兩個(gè)不相等的非零向量a、b,兩組向量x1、x2、…、xm+n和y1、y2、…、ym+n均由m個(gè)a和n個(gè)b排列而成.(m≤n,m,n∈N+)，記S=x1·y1+x2·y2+…xm+n·ym+n，

由此，我們不難得到：

②S有m+1個(gè)不同的值，分別是S0、S1、…、Sm;

⑤Smax=Sm=ma2+nb2，Smax與a、b的夾角無關(guān);

推廣2 已知兩個(gè)不相等的非零向量a、b,向量x1、x2、…、xm+n由m個(gè)a和n個(gè)b排列而成.向量y1、y2、…、ym+n由k個(gè)a和l個(gè)b排列而成.(m+n=k+l,k≤m≤n≤l、k、m、n、l∈N+)，記S=x1·y1+x2·y2+…xm+n·ym+n，

由條件可知，x1·y1、x2·y2、…、xm+n·ym+n都只可能取a2,b2，a·b之一，記Si(0≤i≤k,i∈N)為x1·y1、x2·y2、…、xm+n·ym+n中恰有i個(gè)取a2時(shí)的S.即第一組i個(gè)a與第二組的i個(gè)a配對(duì)，第一組其它m-i個(gè)a都與第二組的m-i個(gè)b配對(duì)，第二組其它k-i個(gè)a都與第一組的k-i個(gè)b配對(duì)，最后第一組剩余的n-k+i個(gè)b與第二組剩余的n-k+i個(gè)b相互配對(duì).

由此，我們不難得到：

②S有k+1個(gè)不同的值，分別是S0、S1、…、Sk;

⑤Smax=Sk=ka2+(m-k)a·b+nb2，當(dāng)m≠k時(shí)，Smax與a、b的夾角有關(guān);

實(shí)際上推廣1是推廣2當(dāng)m=k時(shí)的特列情形.

1 陳良驥.2014年高考數(shù)學(xué)安徽卷理科第三15題的推廣與反思[J], 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2014(4)

2 任志鴻.十年高考分類解析與應(yīng)試策略[M].?？冢耗戏匠霭嫔?，2014

2015-01-06)