浙江省溫州大學(xué)數(shù)信學(xué)院 徐彥輝 (郵編：325035)

基于“問題”的數(shù)學(xué)教學(xué)
——從一則教學(xué)案例引發(fā)的思考

浙江省溫州大學(xué)數(shù)信學(xué)院 徐彥輝 (郵編：325035)

“問題”是數(shù)學(xué)的心臟,問題在數(shù)學(xué)學(xué)習和研究中有其特殊的重要性.從某種意義上來講,數(shù)學(xué)科學(xué)的起源和發(fā)展大多是由問題引起的,數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史就是數(shù)學(xué)問題的提出和解決的歷史.從問題出發(fā),以問題帶動數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展,這是數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展的一條重要途徑.問題是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的起點和路標;問題具有數(shù)學(xué)發(fā)展的探索和導(dǎo)向作用,可為數(shù)學(xué)理論的形成積累材料;問題還可以激發(fā)人們的創(chuàng)造和進取精神.正如希爾伯特所指出:“只要一門科學(xué)分支能提出大量的問題,它就充滿著生命力；而問題缺乏則預(yù)示著這門科學(xué)獨立發(fā)展的衰亡或中止.數(shù)學(xué)研究需要自己的問題,正是通過這些問題的解決,研究者鍛煉其鋼鐵意志,發(fā)現(xiàn)新方法和新觀點,達到更為廣闊和自由的境界.”[1]實踐中,數(shù)學(xué)家也總是對所要研究的問題具有強烈的好奇心,傾向于用已有的知識、想象、直覺和推理去解決疑難問題,數(shù)學(xué)家的本性就是在于發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué),探索新的思想,或者應(yīng)用已有數(shù)學(xué)問題去創(chuàng)造發(fā)現(xiàn)新的問題.學(xué)生應(yīng)該學(xué)會像數(shù)學(xué)家一樣的思維方式,不斷地尋求解決問題的方法,并基于已解決的問題提出新的問題.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當從問題開始,以問題引導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習應(yīng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一條基本原則.一個恰當?shù)母挥形Φ膯栴},往往能激發(fā)學(xué)生的認知沖突和探索性思維,培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力和學(xué)會數(shù)學(xué)思考的方法,體會數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生和形成的過程,進一步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神.

數(shù)學(xué)教學(xué)要求以問題作為出發(fā)點激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習,盡力讓問題充滿課堂.沒有問題,就很難真正誘發(fā)和激起學(xué)生對數(shù)學(xué)的求知欲;沒有問題或感覺不到問題的存在,學(xué)生就不會深入思考,數(shù)學(xué)學(xué)習也不會有任何收獲.所以,應(yīng)將數(shù)學(xué)問題作為數(shù)學(xué)教學(xué)的起點、動力和貫穿整個教學(xué)過程中的主線,教師應(yīng)圍繞數(shù)學(xué)問題的創(chuàng)設(shè)而安排教學(xué)過程.也即是,以提出一個要解決的問題開始,學(xué)生需要經(jīng)歷一系列的質(zhì)疑、判斷、比較、選擇、分析、綜合、歸納、概括等認知活動,伴以個人或小組的數(shù)學(xué)活動找出不同的可能的解決方案；或由原問題提出新的問題,在解決問題的過程中探索新的概念和方法,進入新的未知的數(shù)學(xué)領(lǐng)域.如果教師能善于把課堂教學(xué)設(shè)計成一個又一個生動有趣卻又富于思考的問題,激發(fā)學(xué)生的認知沖突和探索欲望,那么學(xué)生就會真正地處于一種積極的思考狀態(tài).正如波利亞所指出:“如果教師給他的學(xué)生以適合他們程度的問題去引起他們的好奇心,并且用一些吸引人的問題來幫助他們解題,他就會引起學(xué)生們對獨立思考的興趣并教給他們一些方法.”[2]研究也表明,基于“問題”學(xué)習的學(xué)生所取得的成就,無論在標準化測試中還是在解決現(xiàn)實情景的問題測試中,都優(yōu)于傳統(tǒng)的以內(nèi)容傳遞為基礎(chǔ)的學(xué)習環(huán)境下所教授的學(xué)生.[3]哈爾莫斯也指出:“參加過我的問題課的學(xué)生,被后繼的教師所贊許.贊許他們靈活的態(tài)度,迅速抓住事物核心的能力,以及對問題敏銳探索的本領(lǐng).”[4]筆者以自己課堂教學(xué)實踐中親身經(jīng)歷的一個案例,來談?wù)劵凇皢栴}”的數(shù)學(xué)教學(xué)及其啟示.

案例 如果四邊形兩組對邊延長后分別相交,且交點的連線平行于它的一條對角線,試證另一條對角線的延長線平分對邊交點連線的線段.

筆者首先給出這個問題,讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語言重新表示一下.

學(xué)生1：如圖1,四邊形ABCD中,AB與DC的延長線交于點E,BC與AD的延長線交于點F,且EF∥BD,AC的延長線交EF于點H,AC交BD于點G.

圖1

求證:EH=FH.

老師:很好,那我們?nèi)绾谓鉀Q這個問題呢?過了一會兒,有一個學(xué)生提出了自己的解答.

學(xué)生2：

∵BD∥EF，

∴BG=DG,EH=FH.

(同學(xué)報以熱烈的掌聲)

老師:很好,很巧妙的解答!請問同學(xué)們還有沒有其它不同的解答方法?

圖2

學(xué)生3 如圖2,過點C作CI∥EF,CI交AE于點I,交AF于點J.

∵BD∥EF，

∴S△BDE=S△BDF，

∴S△BCE=S△DCF，即

S△BCI+S△ECI=

S△DCJ+S△FCJ.

又IJ∥BD∥EF，

∴IC=CJ，EH=FH.

(同學(xué)又報以熱烈的掌聲)

老師:很好,又是一個很巧妙的解答!請問同學(xué)們還能不能再找到不同的解答方法?

(過了很長時間,學(xué)生都沒有反應(yīng),這時,老師只好自己提示)

老師:要證EH=FH,從全等三角形入手恐怕不適宜,因為圖中找不到兩個全等的三角形,由BD∥EF，即只要證BG=DG.如何來證BG=DG呢?找全等三角形似乎仍然行不通,也不能用等腰三角形的“三線合一”性質(zhì),怎么辦呢?

圖3

學(xué)生4 我們可以運用“平行四邊形對角線互相平分”這個性質(zhì),來構(gòu)造一個平行四邊形,使得BD為該平行四邊形的一條對角線,G為兩對角線的交點.因此如圖3,可以過點B作BP∥ED,交AC于點P,連接DP.

∵BP∥ED,

又BD∥EF，

∴四邊形BCDP為平行四邊形,則BD與CP互相平分,即BG=DG. 故EH=FH.

老師:很好,真是不錯!請問同學(xué)們還能找出其它不同的解法嗎?

(學(xué)生幾乎沒有回應(yīng),于是,老師又進一步提示)

老師:同學(xué)們看著這個圖形,再分析已知條件和要求證的結(jié)論,你會聯(lián)想到什么著名的定理?

(學(xué)生由于沒有學(xué)過西瓦定理,一時想不起來,老師只好自己先講解西瓦定理及其逆定理.然后,提問學(xué)生為了能運用西瓦定理,能變更原來問題的表述形式嗎？)

學(xué)生5：如圖1,在△AEF中,ED與BF相交于點C,AC與BD相交于點G,AC的延長線交EF于點H,若BD∥EF，則EH=FH.

又∵BD∥EF，

(學(xué)生歡呼,真簡潔!)

老師:好的,剛才我們已經(jīng)用了四種不同的方法解決了這個問題,同學(xué)們看看能不能就此問題提出新的問題?

(學(xué)生一時不明白老師的意思,課堂中一時有些沉悶)

老師繼續(xù)提示:看看這個問題的已知條件和要求證的結(jié)論,結(jié)合圖形,改變條件和要求證結(jié)論的位置關(guān)系,看看能否提出新的問題?

學(xué)生6：如圖1,在△AEF中,ED與BF相交于點C,AC與BD相交于點G,AC的延長線交EF于點H,若EH=FH,則BD∥EF.

數(shù)據(jù)分析軟件使用SPSS18.0，采用均數(shù)±標準差表示計量資料，行t檢驗，X2檢驗計數(shù)資料率，P<0.05時具有統(tǒng)計學(xué)意義。

如果一個學(xué)生從來就沒有機會去解決一個他自己所發(fā)明創(chuàng)造的問題,那么他的經(jīng)驗是不完整的.教師要善于引導(dǎo)學(xué)生如何從一個剛剛解決的問題引出新問題,這樣做可以引起學(xué)生的好奇心,讓學(xué)生進一步體會數(shù)學(xué)發(fā)明創(chuàng)造的過程.

老師:很好,能證明該命題成立嗎?

老師:好的,同學(xué)們還能不能提出新的問題?

學(xué)生7：如圖1,在△AEF中,BD∥EF，ED與BF相交于點C,AC與BD相交于點G,點H為EF的中點,求證:A、C、H三點共線.

老師:很好,能證明該命題成立嗎?

講到這里,整個課堂氣氛非?；钴S,學(xué)生的情緒處于亢奮和激動之中,大多數(shù)學(xué)生的臉上露出了興奮的表情,筆者也深受鼓舞,心里暗自驚嘆學(xué)生的探索和創(chuàng)造精神!

以上是筆者親身經(jīng)歷過的一個課堂教學(xué)片段,筆者深深感受到基于“問題”的數(shù)學(xué)教學(xué)的強大功能和獨特魅力,也力求在課堂中多展現(xiàn)這樣的教學(xué)片段.這種基于“問題”的數(shù)學(xué)教學(xué),不僅能使學(xué)生對所學(xué)知識不斷深化,而且能讓學(xué)生深刻認識到一個問題的各個方面,進而達到深層地認識問題的本質(zhì),領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)方法的實質(zhì),把學(xué)生引入一個完整的領(lǐng)域.正如波利亞所指出:“與其窮于應(yīng)付繁瑣的教學(xué)內(nèi)容和過量的題目,還不如選擇一個有意義但又不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生深入發(fā)掘題目的各個側(cè)面,使學(xué)生通過這道題目,就如同通過一道大門而進入一個嶄新的天地.”當然,實施這種基于“問題”的數(shù)學(xué)教學(xué),對教師的素質(zhì)要求較高,尤其是對教師的數(shù)學(xué)學(xué)科功底提出了較高要求.教師必須深刻理解數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)(如本案例中四種不同的證法,尤其是第四種證法),教師要能通過設(shè)計恰當?shù)摹皢栴}”,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)探索.教師要能通過恰當?shù)靥釂?、暗示或補充相關(guān)知識(如本案例中補充講解的西瓦定理及其逆定理),通過搭建恰當?shù)摹澳_手架”,啟發(fā)學(xué)生獲得探究問題的思路與方法(如本案例中的第四種證法和提出的兩個新問題).

教師要能按照學(xué)生的實際情況,把握好啟發(fā)的循序漸進性和適時啟發(fā)性原則.教師對學(xué)生探究過程中的錯誤、存在的困難或產(chǎn)生的偏差不應(yīng)直接糾正,而是要用另外的補充問題來幫助暴露矛盾(如本案例中的第四種證法),使學(xué)生清楚地感到自己的錯誤、存在的困難或產(chǎn)生的偏差,然后再引導(dǎo)學(xué)生獲得正確的探究方向或得出正確的結(jié)論.教師要善于啟發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題和提出問題(如本案例中提出的兩個新問題),讓學(xué)生在尋求和探索解決問題的思維活動中,學(xué)會數(shù)學(xué)探究的思維方法和能力.教師要避免將問題單一化、孤立化,應(yīng)盡可能將所要教授的內(nèi)容設(shè)計為層層相扣的系列問題,引導(dǎo)學(xué)生深入思考問題.教師要注意問題設(shè)計的多層次和多角度,讓學(xué)生從多個角度發(fā)現(xiàn)問題的答案,思考出問題的多種答案(如本案例中的四種不同證法和提出的兩個新問題).如果教師自己沒有數(shù)學(xué)研究(那怕是初等數(shù)學(xué)研究)的經(jīng)驗,是很難設(shè)計和組織這種基于“問題”的數(shù)學(xué)教學(xué),也很難將問題深入下去并進而提出新的問題(如本案例中提出的兩個新問題).

1 [德]希爾伯特著.李文林,袁向東編譯.數(shù)學(xué)問題[M].大連:大連理工大學(xué)出版社,2009：38

2 [美]G.波利亞著.閻育蘇譯.怎樣解題(第二版)[M].臺北:九章出版社,2000.viii

3 Boaler, J. Open and closed mathematics: student experiences and understandings[J]. Journal for Research on Mathematics Education, 1998, 29(1): 41-62

4 Halmos,P.R. The heart of mathematics[J].American Mathematical Monthly, 1980,87(7 ): 522

教育部人文社科2012年青年基金項目《數(shù)學(xué)理解的認知科學(xué)基礎(chǔ)及其應(yīng)用研究(立項編號:12YJC880131)》.

2015-04-08)