申軍嶺，徐 海，崔連虎

（解放軍91336部隊(duì)，河北 秦皇島 066326）

基于四元數(shù)法的反輻射武器飛行仿真研究

申軍嶺，徐 海，崔連虎

（解放軍91336部隊(duì)，河北 秦皇島 066326）

在開發(fā)反輻射武器攻擊目標(biāo)的三維飛行仿真系統(tǒng)中或分析處理三維運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)時(shí)，針對(duì)傳統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)姿態(tài)旋轉(zhuǎn)方法存在計(jì)算繁瑣、旋轉(zhuǎn)不均勻性及平衡環(huán)鎖定等局限問題，采用四元數(shù)法可以避免這些局限，并且?guī)缀我饬x明確，計(jì)算簡(jiǎn)單。因此，提出在飛行仿真系統(tǒng)中利用四元數(shù)法來實(shí)現(xiàn)反輻射武器的運(yùn)動(dòng)姿態(tài)及飛行速度矢量的旋轉(zhuǎn)，在飛行仿真試驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)了飛行軌跡變化光滑連續(xù)的合理效果，仿真結(jié)果表明四元數(shù)法簡(jiǎn)化了矢量旋轉(zhuǎn)計(jì)算模型，優(yōu)化了解算性能，能夠很好地應(yīng)用于反輻射武器飛行仿真試驗(yàn)中。

反輻射武器，飛行運(yùn)動(dòng)仿真，四元數(shù)

0 引言

目前，雷達(dá)的主要威脅來自于反輻射武器的攻擊，因此，對(duì)反輻射武器和雷達(dá)之間的攻防對(duì)抗研究成為當(dāng)前試驗(yàn)研究的重要內(nèi)容，雷達(dá)抗反輻射武器攻擊的主要措施是采用誘餌裝置誘偏反輻射武器，這就涉及到雷達(dá)保護(hù)概率的計(jì)算和樣本量的選取，由于樣本量的選取直接影響可信度，在實(shí)際試驗(yàn)中，實(shí)彈靶試具有成本高、保密性差、樣本量有限的特點(diǎn)，不能實(shí)際反映誘餌對(duì)反輻射武器的誘偏效果。而全數(shù)字仿真試驗(yàn)具有試驗(yàn)環(huán)境和過程可控、數(shù)據(jù)錄取容易、試驗(yàn)重復(fù)性好、效費(fèi)比高和保密性好等優(yōu)點(diǎn)，因而成為雷達(dá)誘餌抗反輻射武器攻擊性能評(píng)估的一項(xiàng)重要技術(shù)手段。

那么如何有效逼真地對(duì)反輻射武器飛行運(yùn)動(dòng)進(jìn)行仿真就成為影響試驗(yàn)結(jié)果的重要因素，在傳統(tǒng)的反輻射武器飛行仿真中，通常采用基于歐拉角的方法來表示運(yùn)動(dòng)物體的姿態(tài)和方向。使用歐拉角來描述運(yùn)動(dòng)物體的姿態(tài)簡(jiǎn)單直觀，但使用這種方法時(shí)存在一個(gè)非常明顯的缺陷，就是當(dāng)物體繞某個(gè)軸旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，會(huì)導(dǎo)致物體旋轉(zhuǎn)自由度的減少，即萬向節(jié)死鎖問題［1］。因此，如果要在兩個(gè)方位歐拉角間進(jìn)行插值遇到90°時(shí)，就會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)旋轉(zhuǎn)路徑的錯(cuò)誤。本文設(shè)計(jì)采用基于四元數(shù)方法表示反輻射武器運(yùn)動(dòng)模型的三維姿態(tài)及其旋轉(zhuǎn)，解決三維空間反輻射武器飛行運(yùn)動(dòng)仿真中出現(xiàn)姿態(tài)和旋轉(zhuǎn)問題，以保證反輻射武器飛行運(yùn)動(dòng)仿真中運(yùn)動(dòng)姿態(tài)平滑連續(xù)變化和飛行軌跡逼真。

1 四元數(shù)的基本原理

四元數(shù)實(shí)際上是對(duì)復(fù)數(shù)同系統(tǒng)的擴(kuò)展，由愛爾蘭數(shù)學(xué)家William Harmilton所創(chuàng)造，他把復(fù)數(shù)由2D擴(kuò)展到3D，在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，特別是矢量旋轉(zhuǎn)和球面線性插值方面可以用四元數(shù)來構(gòu)造變換的工具［2］。

1.1 四元數(shù)定義

與之對(duì)應(yīng)的四元數(shù)為［w，（x，y，z）］，標(biāo)準(zhǔn)復(fù)數(shù)的許多性質(zhì)都可以運(yùn)用在四元數(shù)上，四元數(shù)提供了一種3D運(yùn)算的記法。把3D空間上的點(diǎn)（x，y，z）擴(kuò)展到四元數(shù)空間，其相應(yīng)的記法為［0，（x，y，z）］，更為重要的是四元數(shù)也能用于旋轉(zhuǎn)3D矢量，這是在3D矢量旋轉(zhuǎn)中引入四元數(shù)的主要原因［3］。

1.2 用四元數(shù)作旋轉(zhuǎn)變換

與旋轉(zhuǎn)變換相關(guān)的一些定義：

（1）四元數(shù)的模：

（2）四元數(shù)的共軛，四元數(shù)q=［w，v］的共軛q*，通過將四元數(shù)的矢量部分變負(fù)獲得：

（3）四元數(shù)q的逆q-1，定義為：

從表4可以看出，在刀具長(zhǎng)度相同的情況下，隨著刀具直徑的增加，換能器諧振頻率有較大下降，最大應(yīng)力值有小幅降低；在刀具直徑相同時(shí)，隨著刀具長(zhǎng)度變長(zhǎng)，換能器諧振頻率和最大應(yīng)力值逐漸降低，刀具直徑越大，下降的幅度也越劇烈。不同尺寸刀具下，換能器的位移節(jié)點(diǎn)位置基本沒有變化，與不安裝刀具的換能器位移節(jié)點(diǎn)位置相同，但在刀具直徑為7mm，長(zhǎng)度在40mm以上時(shí)，位移節(jié)點(diǎn)位置從49mm處跳躍到53mm處，已經(jīng)不能滿足換能器的安裝固定要求。

（4）四元數(shù)的乘法：

如果設(shè)有一個(gè)3D空間中矢量p=［0，（x，y，z）］，一個(gè)四元數(shù)q=［cosθ，n*sinθ］，執(zhí)行以下的乘法：

則得到的p'正是將矢量p繞矢量n旋轉(zhuǎn)2θ弧度的結(jié)果。

上式的旋轉(zhuǎn)矩陣可以將一個(gè)3D矢量繞任意軸n旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為2θ，將qpq-1展開就會(huì)發(fā)現(xiàn)它與矩陣式旋轉(zhuǎn)其實(shí)是等價(jià)的，但四元數(shù)法只用了4個(gè)數(shù)就可以表示方位，而矩陣轉(zhuǎn)矢法需要9個(gè)數(shù)，提高了運(yùn)算效率。

2 反輻射武器攻擊雷達(dá)誘餌飛行運(yùn)動(dòng)過程

多點(diǎn)源抗反輻射武器攻擊，反輻射武器在接近目標(biāo)的飛行過程中，在距離較遠(yuǎn)時(shí)，多點(diǎn)源都位于反輻射導(dǎo)引頭分辨角△θR范圍內(nèi)，導(dǎo)引頭沒法分辨各點(diǎn)源，跟蹤雷達(dá)和誘餌形成的能量中心［4］；當(dāng)反輻射武器接近點(diǎn)源時(shí)，各點(diǎn)源與導(dǎo)引頭瞄準(zhǔn)軸方向之間的夾角越來越大，當(dāng)其中一點(diǎn)源與導(dǎo)引頭瞄準(zhǔn)軸方向的夾角等于△θR/2時(shí)，導(dǎo)引頭開始分辨出目標(biāo)，下一時(shí)刻該點(diǎn)源將脫離出導(dǎo)引頭的視場(chǎng)，該點(diǎn)源對(duì)反輻射導(dǎo)引頭不構(gòu)成干擾。反輻射武器在飛行過程中，導(dǎo)引頭視場(chǎng)角內(nèi)總會(huì)經(jīng)過由多點(diǎn)源變成三點(diǎn)源、兩點(diǎn)源和單點(diǎn)源情形，最后選擇單個(gè)點(diǎn)源進(jìn)行摧毀攻擊。反輻射武器分辨出某個(gè)輻射源后將以最大過載向新的跟蹤目標(biāo)引導(dǎo)（自動(dòng)跟蹤），修正初始失誤，但這時(shí)反輻射武器距新的跟蹤目標(biāo)很近，受過載能力約束，最終以偏離跟蹤目標(biāo)一定的距離落地。其飛行原理如圖1所示，反輻射武器高度為H，攻擊角度α（彈軸指向多站能量中心），雷達(dá)至多點(diǎn)能量質(zhì)心O的距離為L(zhǎng)。反輻射武器的最終彈著點(diǎn)為O1。在臨界位置上即導(dǎo)引頭分辨出目標(biāo)位置，由于某一隨機(jī)因素，導(dǎo)引頭分辨出雷達(dá)（A點(diǎn)）的方向，以最大機(jī)動(dòng)過載aM向雷達(dá)（A點(diǎn)）飛去，飛過的最大水平距離S=OO1。

圖1 反輻射武器攻擊目標(biāo)原理

由此可見，反輻射武器攻擊雷達(dá)誘餌的飛行運(yùn)動(dòng)過程中將對(duì)目標(biāo)源進(jìn)行數(shù)次判別，瞄準(zhǔn)方向時(shí)刻在變化，速度方向和導(dǎo)引頭瞄準(zhǔn)方向不同，則反輻射武器需要時(shí)刻修正瞄準(zhǔn)誤差，修正飛行軌跡，以實(shí)現(xiàn)最大程度的摧毀目標(biāo)。為了分析雷達(dá)抗反輻射武器攻擊時(shí)誘餌的誘偏效果，則需要模擬反輻射武器的飛行運(yùn)動(dòng)過程，這就涉及到反輻射武器飛行過程中的姿態(tài)調(diào)整和旋轉(zhuǎn)問題，為了進(jìn)一步分析，將反輻射武器的飛行時(shí)間離散化，研究每一時(shí)刻和下一時(shí)刻反輻射武器的飛行狀態(tài)，進(jìn)行動(dòng)態(tài)仿真，基本復(fù)現(xiàn)反輻射武器的飛行運(yùn)動(dòng)過程。

2.1 反輻射武器飛行運(yùn)動(dòng)仿真

根據(jù)對(duì)反輻射武器的飛行時(shí)間離散化原理［5］，其飛行狀態(tài)示意圖如圖2所示，設(shè)tk時(shí)刻反輻射武器所在的位置為Ak（xk，yk，zk），此時(shí)導(dǎo)引頭實(shí)測(cè)多點(diǎn)源能量中心方向?yàn)锳kMk，而反輻射武器飛行速度方向?yàn)锳kMk-1，經(jīng)過時(shí)間△t，反輻射武器到達(dá)Ak+1（xk+1，yk+1，zk+1）。其中AkMk-1與AkMk間的夾角為αk，AkMk-1與AkMk+1間的夾角為αz。

圖2 反輻射武器飛行狀態(tài)示意圖

△t時(shí)間內(nèi)，反輻射武器能夠轉(zhuǎn)過的最大角度為：

2.2 四元數(shù)法在反輻射武器飛行運(yùn)動(dòng)仿真中的應(yīng)用

根據(jù)2.1節(jié)分析的反輻射武器飛行運(yùn)動(dòng)過程的基本原理，在開發(fā)雷達(dá)誘餌抗反輻射武器攻擊的運(yùn)動(dòng)仿真系統(tǒng)時(shí)，反輻射武器的運(yùn)動(dòng)軌跡需要隨時(shí)間的不斷變化而變化，因此，要得到下一時(shí)刻反輻射武器的速度矢量，就要根據(jù)反輻射武器當(dāng)前的速度方向和瞄準(zhǔn)方向求解下一時(shí)刻的速度矢量，傳統(tǒng)的迭代法、矩陣轉(zhuǎn)矢法以及歐拉角法由于計(jì)算復(fù)雜、參數(shù)需求多等原因不能滿足反輻射武器的飛行運(yùn)動(dòng)仿真，而四元數(shù)法只需要將當(dāng)前的速度矢量和瞄準(zhǔn)方向轉(zhuǎn)換為四元數(shù)形式，再根據(jù)四元數(shù)矢量旋轉(zhuǎn)方法進(jìn)行矢量旋轉(zhuǎn)計(jì)算，獲取旋轉(zhuǎn)數(shù)據(jù)，最終獲得平滑逼真的飛行運(yùn)動(dòng)軌跡，直觀反映反輻射武器攻擊目標(biāo)時(shí)的運(yùn)動(dòng)過程，為試驗(yàn)、科研人員進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，結(jié)果評(píng)估提供了快捷準(zhǔn)確的新型試驗(yàn)方法。

2.3 基于四元數(shù)法的旋轉(zhuǎn)算法實(shí)現(xiàn)

則四元數(shù)轉(zhuǎn)矢為：

進(jìn)而可以計(jì)算得到tk+1時(shí)刻反輻射武器所在的位置坐標(biāo)（xk+1，yk+1，zk+1），從而模擬反輻射武器飛行過程中的軌跡點(diǎn)和最終落點(diǎn)。

3 仿真實(shí)例驗(yàn)證

仿真參數(shù)設(shè)置：地面共有4個(gè)輻射源，包括3個(gè)誘餌和一部雷達(dá)，反輻射武器初始攻擊位置隨機(jī)產(chǎn)生，雷達(dá)位置為（0，0，0）m。3個(gè)誘餌與雷達(dá)成典型菱形布陣，間距為300 m，導(dǎo)彈初始速度為3 MHz，反輻射武器初始發(fā)射方向并不完全對(duì)準(zhǔn)地面輻射源，有關(guān)對(duì)抗雙方的參數(shù)比較多，這里僅列出部分。整個(gè)仿真過程從模擬反輻射武器搜索截獲目標(biāo)信號(hào)開始，在分辨出某個(gè)輻射源之后，開始最大過載機(jī)動(dòng)轉(zhuǎn)彎攻擊，轉(zhuǎn)彎過程仿真算法采用四元數(shù)法優(yōu)化，從而模擬反輻射武器的攻擊航跡運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)。圖3是采用四元數(shù)法實(shí)現(xiàn)的反輻射武器攻擊四點(diǎn)源目標(biāo)的飛行航跡圖實(shí)例。圖4是選取100個(gè)隨機(jī)攻擊模式下反輻射武器攻擊目標(biāo)最終彈著點(diǎn)與雷達(dá)和誘餌之間的相對(duì)位置關(guān)系。

圖3 反輻射武器攻擊目標(biāo)仿真航跡圖

圖4 反輻射武器攻擊目標(biāo)彈著點(diǎn)示意圖

由圖3可見四元數(shù)法能夠?qū)崿F(xiàn)反輻射武器飛行仿真中，飛行運(yùn)動(dòng)軌跡的平滑旋轉(zhuǎn)，逼真模擬反輻射武器攻擊雷達(dá)誘餌系統(tǒng)的飛行航跡。圖4給出了反輻射武器的彈著點(diǎn)與雷達(dá)誘餌的相對(duì)位置關(guān)系，并經(jīng)matlab仿真計(jì)算得出雷達(dá)生存概率為94%，雷達(dá)誘餌系統(tǒng)聯(lián)合生存概率為93.06%，結(jié)果表明，基于四元數(shù)的飛行旋轉(zhuǎn)方法成功模擬各種隨機(jī)條件下反輻射武器的飛行航跡，其彈著點(diǎn)分布規(guī)律、雷達(dá)保護(hù)概率、雷達(dá)誘餌系統(tǒng)聯(lián)合生存概率與理論計(jì)算值和實(shí)際打靶結(jié)果相符，從而得出四元數(shù)法能夠應(yīng)用于反輻射武器與雷達(dá)誘餌系統(tǒng)攻防對(duì)抗過程中，能夠很好地模擬反輻射武器的飛行航跡，并且具有幾何意義明確，計(jì)算簡(jiǎn)單，運(yùn)算量小的優(yōu)點(diǎn)，能夠很好地應(yīng)用于反輻射武器攻擊雷達(dá)誘餌系統(tǒng)的仿真試驗(yàn)中。

4 結(jié)論

本文研究了四元數(shù)方法在三維空間反輻射武器攻擊雷達(dá)誘餌飛行航跡仿真中的應(yīng)用。利用四元數(shù)的方法實(shí)現(xiàn)飛行運(yùn)動(dòng)仿真中模型的矢量旋轉(zhuǎn)，將四元數(shù)法方便快捷直觀的特點(diǎn)與運(yùn)動(dòng)模型相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了反輻射武器模型飛行運(yùn)動(dòng)仿真中的平滑旋轉(zhuǎn)，減少了計(jì)算量，節(jié)省了計(jì)算時(shí)間，省時(shí)高效。結(jié)果表明，四元數(shù)方法能夠應(yīng)用于反輻射武器攻擊雷達(dá)誘餌的飛行航跡仿真中，有效地解決了飛行航跡中矢量旋轉(zhuǎn)問題，為飛行航跡仿真中的矢量旋轉(zhuǎn)計(jì)算提出了新的可靠簡(jiǎn)便的計(jì)算方法。

［1］薛源，徐浩軍，胡孟權(quán).基于四元數(shù)法飛行運(yùn)動(dòng)方程的逆向仿真算法［J］.空軍工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，11（3）：6-11.

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［4］周偉光，羅積潤(rùn).雷達(dá)配置誘餌對(duì)抗反輻射導(dǎo)彈的仿真［J］.電子與信息學(xué)報(bào)，2010，32（6）：1370-1376.

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Research on Application of Quaternion in Flight Simulation of Anti-Radiation Weapon

SHEN Jun-ling，XU Hai，CUI Lian-hu
（Unit 91336 of PLA，Qinhuangdao 066326，China）

In the three dimensional flight simulation system of anti-radiation weapon attack or analysis of 3D motion data，the traditional motion of rotation method exits in calculation complated and have balance ring locking limitation.Quaternion method can avoid these limitations and have clear geometric meaning with simple calculation，therefore this paper puts forward quaternion method to achieve motion attitude and flight velocity vector rotation in the anti-radiation weapons flight simulation system and realize the reasonable effect of flight attitude anti-radiation weapons are smooth and continuous change in anti-radiation weapons flight simulation，The results of application show that the quaternion method can improve the calculation efficiency and apply in flight simulation of antiradiation weapons.

anti-radiation weapon，flight simulation，quaternion

TP391.9

A

1002-0640（2015）03-0142-04

2014-01-11

2014-03-21

申軍嶺（1983- ），男，新疆伊犁人，碩士。研究方向：導(dǎo)彈武器系統(tǒng)仿真。