張 智，姜秋喜，孫志勇

（電子工程學(xué)院，合肥 230037）

基于改進(jìn)平方根UKF雙向?yàn)V波的單站無源定位算法

張 智，姜秋喜，孫志勇

（電子工程學(xué)院，合肥 230037）

針對單站無源定位可觀測性弱、觀測噪聲大而導(dǎo)致的定位精度低、穩(wěn)定性差和收斂速度慢等問題，在結(jié)合平方根無跡卡爾曼濾波（Square-Root Unscented Kalman Filter,SRUKF）以及后向平滑思想的基礎(chǔ)上，提出了一種改進(jìn)SRUKF的雙向?yàn)V波算法。該算法采用Q-R分解的形式，使用誤差協(xié)方差的平方根代替協(xié)方差參與遞推運(yùn)算，提高了算法的穩(wěn)定性與運(yùn)算效率。同時，該算法對狀態(tài)向量進(jìn)行擴(kuò)維，將過程噪聲與觀測噪聲通過非線性系統(tǒng)傳播，降低了噪聲對濾波精度的影響，并利用當(dāng)前時刻濾波結(jié)果通過Rauch-Tung-Striebel（RTS）后向平滑得到再次前向?yàn)V波更高精度的起始值，提高了算法的定位精度與收斂速度。仿真結(jié)果表明，新算法在保證實(shí)時性的基礎(chǔ)上改善了單站無源定位的性能。

單站無源定位，平方根無跡卡爾曼濾波，后向平滑，Q-R分解，擴(kuò)維

0 引言

單站無源定位系統(tǒng)僅采用一個觀測平臺對目標(biāo)輻射源進(jìn)行跟蹤定位，且本身不向外輻射電磁波，具有系統(tǒng)相對獨(dú)立、設(shè)備簡單、隱蔽性強(qiáng)、機(jī)動性好以及作用距離遠(yuǎn)等優(yōu)點(diǎn)，是當(dāng)前無源定位領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。

從本質(zhì)上來講，單站無源定位就是一個典型的非線性濾波問題。因此，尋找一種定位精度高、收斂速度快和穩(wěn)定性好的濾波算法是需要研究解決的一個核心問題［1］。擴(kuò)展卡爾曼濾波（Extend Kalman Filter，EKF）及其衍生算法的核心是通過對非線性方程進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，并作一階近似來實(shí)現(xiàn)線性化，其不但需要計(jì)算復(fù)雜的雅克比矩陣，而且近似線性化帶來的誤差會導(dǎo)致濾波結(jié)果不穩(wěn)定甚至發(fā)散。無跡卡爾曼濾波（Unscented Kalman Filter，UKF）［2-5］通過選取確定的加權(quán)采樣點(diǎn)來逼近隨機(jī)變量的概率分布，其不僅避免了雅克比矩陣的計(jì)算，還使精度至少達(dá)到二階，優(yōu)于EKF及其衍生算法。

但在單站無源定位的實(shí)際應(yīng)用中，由于可觀測性弱、觀測噪聲大以及數(shù)值計(jì)算舍入誤差等因素影響，容易造成定位精度低、收斂速度慢和濾波性能不穩(wěn)定甚至不能工作等問題。針對這些問題，本文在文獻(xiàn)［6-7］的啟發(fā)下，提出一種改進(jìn)SRUKF的雙向?yàn)V波算法。該算法對狀態(tài)向量進(jìn)行擴(kuò)維，通過在非線性系統(tǒng)中傳播過程噪聲與觀測噪聲，降低了噪聲對濾波精度的不良影響，并利用k時刻的濾波結(jié)果通過Rauch-Tung-Striebel（RTS）后向平滑［8-9］得到k-1時刻的狀態(tài)預(yù)測值，其后將其作為初始值再對k時刻的狀態(tài)進(jìn)行前向?yàn)V波。由于利用了當(dāng)前k時刻的觀測值信息，經(jīng)過后向平滑能夠得到k-1時刻更加精確的狀態(tài)預(yù)測值，以此作為初始條件再次進(jìn)行前向?yàn)V波就能得到當(dāng)前k時刻更加準(zhǔn)確的估計(jì)值，提高了算法的定位精度與收斂速度。同時，采用Q-R分解的形式，并使用誤差協(xié)方差的平方根進(jìn)行運(yùn)算，提高了求逆運(yùn)算的效率，保證了誤差協(xié)方差的正定性，特別是避免了協(xié)方差矩陣在后向平滑中兩正定矩陣相減后失去正定性，從而提高了新算法的穩(wěn)定性與運(yùn)算效率。仿真結(jié)果表明，新算法在保證實(shí)時性的前提下，提高了單站無源定位的定位精度、收斂速度和數(shù)值穩(wěn)定性。

1 單站無源定位模型

圖1 觀測站與目標(biāo)的位置關(guān)系示意圖

其中，fT為目標(biāo)輻射源的載頻，c為電磁波的傳播速度，dx與dy分別為觀測站內(nèi)相互正交干涉儀的基線長度。

2 改進(jìn)SRUKF雙向?yàn)V波算法

2.1 基于Q-R分解的擴(kuò)維SRUKF算法

基于Q-R分解的擴(kuò)維SRUKF算法［7］采用誤差協(xié)方差矩陣的平方根代替協(xié)方差矩陣進(jìn)行遞推運(yùn)算，能夠提高濾波算法的運(yùn)行效率和數(shù)值穩(wěn)定性。同時，該算法對狀態(tài)變量進(jìn)行擴(kuò)維，通過在非線性系統(tǒng)中傳播過程噪聲與觀測噪聲，降低了噪聲對濾波精度的不良影響，能夠改善濾波算法的精度。其具體流程如下：

式中，xa=［xTwTvT］T，N=dx+dw+dv，dx為狀態(tài)向量的維數(shù)，dw和dv分別為狀態(tài)噪聲與觀測噪聲向量的維數(shù)，λ=α2（N-κ）-N為尺度因子，α控制采樣點(diǎn)的分散程度，通常設(shè)置為一較小的正數(shù)（10-4≤α≤1），κ是輔助尺度因子，β在高斯噪聲條件下取2最優(yōu)，chol表示Cholesky分解。

（2）確定采樣點(diǎn)

（3）時間更新

（4）量測更新

①計(jì)算矩陣T11、T21以及T22：

②計(jì)算卡爾曼濾波增益：

其中，符號表示右除。

③計(jì)算狀態(tài)估計(jì)值：

④計(jì)算狀態(tài)估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣的平方根：

2.2 基于Q-R分解的RTS后向平滑

RTS后向平滑由于求取協(xié)方差矩陣時涉及兩正定矩陣相減，有可能破壞協(xié)方差矩陣的正定性和對稱性。故本文采用基于Q-R分解的后向平滑算法［7］，使用協(xié)方差矩陣的平方根進(jìn)行遞推運(yùn)算，避免了兩正定矩陣的相減，提高了數(shù)值穩(wěn)定性以及求逆運(yùn)算的計(jì)算效率。該算法的具體流程如下：

（1）計(jì)算矩陣U11、U21以及U22：

（2）計(jì)算平滑增益：

（3）計(jì)算平滑預(yù)測值：

（4）計(jì)算狀態(tài)預(yù)測誤差協(xié)方差矩陣的平方根：

2.3 第2次前向?yàn)V波

2.4 改進(jìn)SRUKF雙向?yàn)V波算法的流程

本文提出的改進(jìn)SRUKF的雙向?yàn)V波算法的實(shí)現(xiàn)流程如圖2所示，其中①、②、③表示算法的運(yùn)算順序，其執(zhí)行過程具體為：

圖2 改進(jìn)SRUKF雙向?yàn)V波算法流程示意圖

本算法采用Q-R分解的形式，并使用誤差協(xié)方差的平方根進(jìn)行遞推運(yùn)算，提高了新算法的穩(wěn)定性與運(yùn)算效率。同時，其對狀態(tài)變量進(jìn)行擴(kuò)維，通過在非線性系統(tǒng)中傳播過程噪聲與觀測噪聲，降低了噪聲對濾波精度的不良影響，并利用k時刻的濾波結(jié)果通過后向平滑獲得k-1時刻更加精確的狀態(tài)預(yù)測值，以此作為初始條件再次進(jìn)行前向?yàn)V波就能得到當(dāng)前k時刻更加準(zhǔn)確的估計(jì)值，從而提高了算法的定位精度與收斂速度。

3 仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

假設(shè)在三維直角坐標(biāo)系中，觀測站固定于原點(diǎn)，目標(biāo)輻射源的初始位置為（170，130，8）km，速度為（-240，120，0）m/s。為了驗(yàn)證本文算法（簡稱ISRUKFS）的性能，在不同的觀測精度下將其同SRUKF以及文獻(xiàn)［6］所提出的SRURTS算法的性能進(jìn)行對比，其中各組參數(shù)觀測精度如下：

在仿真實(shí)驗(yàn)中，觀測周期T=1 s，觀測次數(shù)N=100，系統(tǒng)誤差為wxk=wyk=wzk=1 m/s2，輻射源信號的載頻fT=10 GHz，觀測站中相互正交干涉儀的基線長度分別為dx=10 m，dy=5 m。濾波器的參數(shù)選擇為：α=0.001，β=2，κ=0。采用相對距離誤差（Relative Range Error，RRE）作為評價標(biāo)準(zhǔn)，每一組做100次Monte Carlo實(shí)驗(yàn)，在定位結(jié)束時刻RRE＜15%，則視作本次實(shí)驗(yàn)收斂，否則視為發(fā)散。定位精度為跟蹤結(jié)束時刻RRE的平均值，如表1以及圖3～圖5所示（剔除了不收斂的實(shí)驗(yàn)結(jié)果）。

表1 不同算法的性能比較

圖3 觀測精度1時，各算法的相對位置誤差曲線

圖4 觀測精度2時，各算法的相對位置誤差曲線

圖5 觀測精度3時，各算法的相對位置誤差曲線

從表1、圖3～圖5可以看出，在高精度觀測時，各算法都能很快收斂，且定位精度都比較高，但隨著觀測精度的降低，各算法的定位精度開始下降，收斂速度變慢，且濾波發(fā)散的次數(shù)開始增多。相比之下，ISRUKFS的性能最好，其他依次為SRURTS以及SRUKF，且在低觀測精度時各算法的性能差別更明顯。由圖5可以看出，當(dāng)觀測精度低時，由于SRURTS采用RTS后向平滑為二次前向?yàn)V波提供了更為精確的初始值，故無論是定位精度還是收斂速度都優(yōu)于SRUKF。而ISRUKFS在雙向?yàn)V波的過程中，將過程噪聲與觀測噪聲都擴(kuò)展進(jìn)狀態(tài)變量，降低了噪聲對濾波性能的不良影響，提高了定位的精度以及收斂速度。

從表1可以看出，當(dāng)觀測精度降低時，雖然SRURTS采用了平方根濾波，但由于在后向平滑過程中兩正定矩陣相減容易失去正定性與對稱性，造成濾波結(jié)果發(fā)散甚至無法運(yùn)行。而ISRUKFS采用Q-R分解的形式，避免了正定矩陣相減的運(yùn)算，故穩(wěn)定性優(yōu)于其他兩種算法。

在Intel酷睿雙核，CPU主頻2.6 GHz，內(nèi)存2 GB的計(jì)算機(jī)使用Matlab7.10運(yùn)行各算法，分別得到單次運(yùn)行時間如表1所示，可見由于SRURTS與SRUKF相比，增加了后向平滑和二次前向?yàn)V波，計(jì)算量是后者的2倍多。ISRUKFS雖然采用了Q-R分解的形式，提高了運(yùn)算效率，但擴(kuò)維處理增加了一定的計(jì)算量，所以該算法單次運(yùn)行時間最長。然而，在保證實(shí)時性的前提下，這種增加少量計(jì)算量來換取定位精度、收斂速度以及穩(wěn)定性的較大改善是值得的。

4 結(jié)束語

本文提出了一種改進(jìn)SRUKF雙向?yàn)V波算法并應(yīng)用于單站無源定位領(lǐng)域。該算法采用Q-R分解的形式，使用誤差協(xié)方差的平方根進(jìn)行遞推運(yùn)算，同時其對狀態(tài)變量進(jìn)行擴(kuò)維，通過在非線性系統(tǒng)中傳播過程噪聲與觀測噪聲，降低了噪聲對濾波精度的不良影響，并通過后向平滑為二次前向?yàn)V波提供更為精確的初始值。仿真實(shí)驗(yàn)表明，該算法在滿足實(shí)時性要求的基礎(chǔ)上，提高了單站無源定位的精度、收斂速度以及穩(wěn)定性。當(dāng)對定位精度要求較高但觀測精度較低時，在保證實(shí)時性的前提下，以增加計(jì)算量來換取定位性能的改善是可行的。因此，本文提出的算法對單站無源定位系統(tǒng)的研究具有一定的工程應(yīng)用價值，同時也適用于其他非線性濾波領(lǐng)域。

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Forward-Backward Filter Based on Improved Square Root UKF for Single Observer Passive Location

ZHANG Zhi，JIANG Qiu-xi，SUN Zhi-yong
（Electronic Engineering Institute，Anhui，Hefei 230037，China）

Because of the low observability and the high noise in single observer passive location，the performance of the positioning accuracy，stability and convergence velocity is poor.Based on the Square-Root Unscented Kalman Filter（SRUKF）and the backward smoothing method，a forwardbackward filter based on improved SRUKF is presented.To improve the stability and the calculate efficiency of the algorithm，the Q-R decomposition is adopted，and the covariance square-root matrix is used instead of the covariance matrix.Meanwhile，the state vector is augmented.The process noise and measurement noise are propagated through the nonlinearity system.The negative influence of noise on the filtering accuracy is decreased.The more accurate initial value for the next filtering process was obtain by the use of the current filtering results，based on the Rauch-Tung-Striebel（RTS）backward smoothing method.The positioning accuracy and the convergence velocity is improved.Simulation results indicated that the novel algorithm improved the single observer passive location performance while keeping the real-time characteristic.

single observer passive location，square root unscented kalman filter，backward smoothing，Q-R decomposition，augmented

TP958.97

A

1002-0640（2015）03-0116-05

2014-01-21

2014-03-25

張 智（1985- ），男，福建建陽人，博士研究生。研究方向：無源定位、雷達(dá)與雷達(dá)對抗信息處理。