□ 曾運(yùn)運(yùn) □ 袁新梅 □ 周思柱

長(zhǎng)江大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)研究所 湖北 荊州 434000

活齒傳動(dòng)分為平面活齒傳動(dòng)和空間活齒傳動(dòng)，目前為止，活齒傳動(dòng)研究主要集中在平面活齒，而空間活齒傳動(dòng)研究得比較少，但現(xiàn)在已經(jīng)有學(xué)者開(kāi)始將平面活齒傳動(dòng)理論和空間活齒傳動(dòng)理論聯(lián)系起來(lái)進(jìn)行研究。文獻(xiàn)［1］分析了圓柱面空間活齒傳動(dòng)和平面活齒傳動(dòng)，指出可以將圓柱面活齒傳動(dòng)轉(zhuǎn)化為平面活齒傳動(dòng)來(lái)分析。圓柱正弦活齒傳動(dòng)屬于圓柱面空間活齒傳動(dòng)，筆者采用展開(kāi)法，將圓柱正弦活齒傳動(dòng)轉(zhuǎn)化為平面活齒傳動(dòng)，推導(dǎo)出該傳動(dòng)的傳動(dòng)比公式和連續(xù)傳動(dòng)條件，并進(jìn)行實(shí)例計(jì)算，驗(yàn)證上述結(jié)論。

1 傳動(dòng)比計(jì)算

圓柱正弦活齒傳動(dòng)主要由主動(dòng)軸、殼體、導(dǎo)架及活齒4個(gè)部分組成，主動(dòng)軸外表面有外正弦滾道，周期數(shù)為Z1，活齒架上均勻分布著軸向活齒槽，殼體內(nèi)表面有內(nèi)正弦滾道，周期數(shù)為Z3，在外、內(nèi)滾道及活齒槽交錯(cuò)區(qū)域內(nèi)安裝球形活齒。

為了便于分析，將殼體固定，以主動(dòng)軸為輸入軸，活齒架為輸出軸，推導(dǎo)傳動(dòng)比公式。轉(zhuǎn)角φ0和角速度ω之間的關(guān)系為ω=因此，主動(dòng)軸和活齒架之間的傳動(dòng)比可以用轉(zhuǎn)角來(lái)表示。該傳動(dòng)機(jī)構(gòu)在工作過(guò)程中，活齒沿外正弦滾道作相對(duì)運(yùn)動(dòng)，沿內(nèi)正弦滾道作絕對(duì)運(yùn)動(dòng)，圖1為活齒沿外、內(nèi)正弦滾道運(yùn)動(dòng)平面的展開(kāi)圖，線1和線2分別代表外、內(nèi)正弦滾道的正弦軌跡，θ0代表活齒初始位置。線3代表線1在主動(dòng)軸旋轉(zhuǎn)Δθ后的曲線，線1、2、3的方程如下：

▲圖1 活齒軌跡平面展開(kāi)圖

當(dāng)活齒在初始位置 θ0時(shí)，聯(lián)立式（1）和式（2）可得：

若主動(dòng)軸和活齒架同向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)主動(dòng)軸轉(zhuǎn)過(guò)角度為Δθ1、活齒由初始位置θ0轉(zhuǎn)到θ1時(shí)，其轉(zhuǎn)過(guò)角度為Δθ2，聯(lián)立式（2）和式（3）可得：

若主動(dòng)軸和活齒架反向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)主動(dòng)軸轉(zhuǎn)過(guò)角度為Δθ1，活齒由初始位置θ0轉(zhuǎn)到θ2時(shí)，其轉(zhuǎn)過(guò)角度為Δθ2。 聯(lián)立式（2）和式（3）可得：

2 連續(xù)傳動(dòng)條件

連續(xù)運(yùn)動(dòng)條件是圓柱正弦活齒傳動(dòng)機(jī)構(gòu)正常工作所必須滿(mǎn)足的條件之一［2］。圓柱正弦活齒傳動(dòng)機(jī)構(gòu)連續(xù)傳動(dòng)條件為：在工作中至少有一個(gè)活齒處于嚙合狀態(tài)，并且所有活齒均可連續(xù)接觸正弦滾道齒面。

現(xiàn)以活齒在主動(dòng)軸外正弦滾道運(yùn)動(dòng)為例，將主動(dòng)軸外圓表面沿直母線展開(kāi)。由外正弦滾道形狀得知，當(dāng)活齒嚙合區(qū)域的小圓半徑ra小于主動(dòng)軸外正弦滾道理論齒廓曲線L的最小曲率半徑ρmin，即ρmin＞ra時(shí)，則不會(huì)發(fā)生頂切；當(dāng)ρmin

式中：r1為主動(dòng)軸半徑；φ為活齒中心在圓周方向的位置角；A為正弦幅值。

曲線L上任意一點(diǎn)的位置矢量r=xi+yj+zk，根據(jù)微分幾何［3］可知曲率 ρ：

將式（9）代入式（10）中，求解得到主動(dòng)軸最小曲率半徑為：

當(dāng)ρmin＞ra時(shí)，主動(dòng)軸的外正弦滾道理論齒廓曲線不會(huì)發(fā)生頂切。根據(jù)活齒結(jié)構(gòu)的幾何關(guān)系有ra=

式中：b1為主動(dòng)軸的正弦滾道深度；r0為活齒半徑。

同理，可得殼體正弦滾道理論齒廓曲線最小曲率半徑為：

從而得出殼體正弦滾道理論齒廓曲線不發(fā)生頂切的條件為：

式中：b3為殼體的正弦滾道深度；r3為殼體的內(nèi)圓柱面半徑。

3 計(jì)算實(shí)例

已知圓柱正弦活齒傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的初始參數(shù)為Z1=1、Z3=4、A=4mm及主動(dòng)軸和活齒架同向轉(zhuǎn)動(dòng)，利用式（6）可知，圓柱正弦活齒傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)比i=5。

為保證滾道齒面不發(fā)生頂切，要求各結(jié)構(gòu)參數(shù)滿(mǎn)足式（12）、式（14），以此來(lái)確定該傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，見(jiàn)表1。

表1 圓柱正弦活齒傳動(dòng)結(jié)構(gòu)參數(shù)

▲圖2 主動(dòng)軸曲率半徑變化曲線

利用式（11）、式（13）可以算出主動(dòng)軸滾道理論正弦齒廓曲線最小曲率半徑ρmin=35.78mm和殼體滾道理論正弦齒廓曲線最小曲率半徑ρmin=22.12mm，利用Pro/E曲率分析功能，對(duì)主動(dòng)軸和殼體理論正弦齒廓曲線進(jìn)行分析，繪制曲率半徑隨相對(duì)角度變化的曲線，如圖2所示。通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，由Pro/E計(jì)算的主動(dòng)軸和殼體的最小曲率半徑與由式（11）、式（13）算出的主動(dòng)軸滾道和殼體滾道的理論正弦齒廓曲線最小曲率半徑完全吻合，可以證明式（11）、式（13）完全正確。將上述結(jié)構(gòu)參數(shù)代入 ra=中，可求出ra=3.69mm，最小曲率半徑遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于ra，所以，活齒可以在主動(dòng)軸和殼體的正弦滾道中連續(xù)運(yùn)動(dòng)，不會(huì)發(fā)生頂切。

4 結(jié)論

（1）圓柱正弦活齒傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)比主要由主動(dòng)軸正弦滾道周期數(shù)Z1、殼體正弦滾道周期數(shù)Z3和主動(dòng)軸與活齒架轉(zhuǎn)向決定。

（2） 所選結(jié)構(gòu)參數(shù)必須滿(mǎn)足式（12）、式（14），才能保證圓柱正弦活齒傳動(dòng)機(jī)構(gòu)能夠連續(xù)運(yùn)動(dòng)。

［1］ 黃勁枝,陳賢湘,程時(shí)甘.雙余弦活齒傳動(dòng)嚙合曲線的研究［J］.機(jī)械傳動(dòng),2008（4）:6－7.

［2］ 曲繼方.活齒傳動(dòng)理論［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社,1993.

［3］ 傅則紹.微分幾何與齒輪嚙合原理［M］.青島:石油大學(xué)出版社,1999.