郭立民，馮 凱

（哈爾濱工程大學 信息與通信工程學院，哈爾濱150001）

0 引 言

陣列信號處理在許多應(yīng)用領(lǐng)域有著重要作用。信源數(shù)檢測作為信號參數(shù)估計的先決條件，是陣列信號處理中至關(guān)重要的問題［1－2］。最早的信源數(shù)檢測問題是采用假設(shè)檢驗，需要人為地設(shè)置門限［3］，因而人們提出了預先設(shè)定包含門限置信區(qū)間的檢測方法［4］。經(jīng)典的信源數(shù)檢測方法以AIC和MDL 信息論準則為基礎(chǔ)［5］，AIC 準則缺乏一致性，MDL 準則是一致估計，但在低信噪比和小快拍數(shù)的情況下不能保證檢測性能。在文獻［6，7］中對MDL 準則做出一些修改來提高其檢測性能。近年來，為了適應(yīng)更加真實的信號環(huán)境，提出了許多新方法：文獻［8］使用了觀測值的概率密度函數(shù)，在信息論準則的框架下從樣本協(xié)方差矩陣獲得樣本特征值，其缺點是在實際陣列系統(tǒng)中數(shù)據(jù)分布往往是未知的。一般的信源數(shù)檢測方法都假設(shè)噪聲為空間均勻的，噪聲的均勻性能夠完全利用數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的特征值所包含的信息，然后實際的陣列噪聲往往是空間非均勻的，即各傳感器信道噪聲不一致時，使得大部分的算法失效。在文獻［9］中提到了空間非均勻噪聲下信源數(shù)檢測問題的模型。蓋氏圓方法［10－12］能夠適用于空間非均勻噪聲的環(huán)境，但其在信噪比較低時常常會產(chǎn)生欠估計或過估計，且需要對（M－1）×（M－1）階的矩陣特征值分解，而在波達方向估計中需要M×M 階特征值分解，因此在獲得波達方向是需要做兩次矩陣特征值分解，運算量過大。

在許多實際的系統(tǒng)中，高斯數(shù)據(jù)和大樣本數(shù)量的假設(shè)是無法滿足的［13］，所以本文提出了一種基于假設(shè)檢驗的替代方法。提出的假設(shè)檢驗以特征空間投影為基礎(chǔ)。零假設(shè)下的檢驗統(tǒng)計量的分布是使 用Bootstrap 方 法 來 估 計 的［14－15］，這 種 方法對高斯分布和大部分非高斯分布都是有效的，且其優(yōu)點是估計在確定樣本數(shù)量下的經(jīng)驗分布，而不是漸進分布。因此，提出新方法的優(yōu)點是可以解決不滿足高斯分布和漸進分布條件下的問題。仿真結(jié)果表明，所提出的方法在少的樣本數(shù)量和低信噪比下，有較好的估計性能。

1 數(shù)據(jù)模型

設(shè)N 個遠場窄帶信號入射到由M 個陣元組成的均勻線陣，入射角為θ1，…，θN，陣元間距為d＝λ／2。信源數(shù)N 為未知估計量，則線陣接收的陣列信號為［9］：

式中：X（）t，S（）t 和N（）t 為均值為零的隨機過程，為陣列導向矩陣，S（）t 是信號矢量，N（）t 是噪聲矢量。

加性噪聲假設(shè)為零均值的空間非均勻白噪聲，其協(xié)方差矩陣滿足下式：

這里（）·H為矩陣的共軛轉(zhuǎn)置算子，空間非均勻噪聲各傳感器能量各不相同信號和噪聲假設(shè)是不相關(guān)的，且各自分布未知。陣列協(xié)方差矩陣為：

2 信源數(shù)檢驗

2.1 非均勻噪聲下的MDL準則

由于傳感器噪聲能量各不相同，令陣列的任意元素失效來減輕各傳感器噪聲的作用。簡單而不失一般性，第M 個傳感器失效，協(xié)方差矩陣進行分塊：

取M－1維方差的特征空間（即特征矩陣E，滿足EEΗ＝I 且RM＝EΣ′EΗ）構(gòu)成酉變化矩陣［11］：

這樣酉變化之后的矩陣為：

矢量c的元素cm幅度值是蓋氏圓半徑［11］，其指出了特征值多樣性和特征矢量對應(yīng)空間［16］：

從上式可以清楚地看出，兩個不同的圓盤，前N個半徑ρ1…ρN代表了信號子空間，最小的M－1－N 半徑代表了噪聲子空間。

當噪聲為空間非均勻的情況下，不能通過協(xié)方差矩陣的特征值排序來進行信號源檢測，我們用所包含的信息來代替。容易得到觀測數(shù)據(jù)的負對數(shù)似然方程為［17］：

式（5）定義的酉矩陣TTΗ＝I，我們可以用協(xié)方差變換矩陣RT代替式（8）中的R，省略獨立于N 的部分，最終我們推導得出的負對數(shù)似然函數(shù)變?yōu)椋?/p>

根據(jù)文獻［5］，罰函數(shù)可以用來進行信息論準則的信源數(shù)檢測。一般，MDL 準則可以表達如下：

MDL準則的罰函數(shù)被定義為：

2.2 基于蓋世圓半徑的假設(shè)檢驗

在實際中，如果所有的蓋氏圓半徑都對應(yīng)于噪聲空間，統(tǒng)計量T1i（半徑平方累計和）和T2i（算術(shù)均值和幾何均值的差異）將非常?。ń咏?），否則會比零值大很多。根據(jù)這種變化，進行以下一系列獨立的假設(shè)檢驗［19］：

檢測從H0開始，當接收H0時意味著沒有信號源存在，信號源數(shù)目為N ＝0。如果H0被拒絕，那么相對的）被接受，意味著至少存在一個信號，然而沒有信息能夠說明具體存在幾個信號。因此，通過逐步進行假設(shè)Ηi，最大的蓋氏圓半徑的作用被減小。當某一假設(shè)被接受或者到達HM－2時，檢驗停止。

對于給定的顯著水平α，其含義為當前沒有信號存在時，正確檢測數(shù)信號源數(shù)目N ＝0的概率被維持在1－α。因此，每個假設(shè)都在顯著水平α下被檢驗。

2.3 提出的新方法

我們知道R 的M－N 個最小的特征值是噪聲方差的估計值，為了減小噪聲的貢獻，執(zhí)行降噪運算，取RX＝R－γ2I，其中γ2為陣列信號樣本協(xié)方差矩陣最小的兩個特征值的平均值，即γ2＝

由式（3）得出：

式中：bi是A 的行矢量，陣列協(xié)方差矩陣可表示為：

式中：Σ和UC分別為陣列信號協(xié)方差矩陣特征值組成的對角矩陣和特征矢量矩陣?？梢宰C明，經(jīng)過降噪處理的陣列信號協(xié)方差矩陣為：

式中：Σ′為陣列信號的特征值減去噪聲功率估計γ2后組成的對角陣；UC與降噪前相同，UC可以表示為，其中ui是RX的特征矢量，RX的特征值從大到小排列，ui按與其對應(yīng)的特征值的大小排列，求RX在UC上的投影UΗCRX，其i列為：

由于信號特征子空間與導向矢量在同一空間內(nèi)，

各信號的功率常常是不等的，為了提高估計性能，對信號功率進行歸一化以消除各個信號功率不同對信源數(shù)估計產(chǎn)生的影響。投影還可以表示為：

由上式，功率歸一化后，RX在UC上的投影就是，因此我們可以用UC估計目標數(shù)。ui表示為：第m 行元素模的均值為：

如果特征矢量對應(yīng)于噪聲空間，則檢測統(tǒng)計量T1i和T2i接近于零。進行下面的一系列獨立的假設(shè)檢驗。實際估計信源數(shù)從Η0開始，當前假設(shè)被拒絕時進行下一個假設(shè)，直到接受為止。

這里顯著水平與式（14）的假設(shè)檢驗的顯著水平α相同，表示當前沒有信號存在時，正確檢驗出N＝0的概率被維持在1－α。

2.4 Bootstrap對于分布的估計

進行假設(shè)檢驗的顯著度估計需要檢驗統(tǒng)計量的空域分布知識，Bootstrap方法用來進行零假設(shè)下的非參數(shù)估計［18］。使用Bootstrap方法可以避免對數(shù)據(jù)分布做出假設(shè)。如前文提到的，這個優(yōu)點是非常重要的。Bootstrap方法的原理是數(shù)據(jù)樣本代表了真實分布的經(jīng)驗估計。因此用Bootstrap 方法重新采樣的數(shù)據(jù)集進行推理。Bootstrap方法避免了小樣本情況下的漸進估計的錯誤。類似地，文獻［20］強調(diào)了改善復雜的檢驗統(tǒng)計量的經(jīng)驗分布的估計問題，例如對更少的樣本進行重采樣。

這里Ti為從數(shù)據(jù)X（）t 得到的檢驗統(tǒng)計量，為從重采樣樣本得到的檢驗統(tǒng)計量。

文獻［20，21］給出假設(shè)檢驗的顯著度定義如下：

這里I（）· 為指標函數(shù)。因此，檢驗量為α，從i＝0開始，如果Pi≥α，那么Ηi被接受，否則，設(shè)i＝i＋1并且重復檢驗。

3 仿真結(jié)果

線性均勻陣列陣元數(shù)目為M ＝5，真實信源數(shù)為N ＝2，快拍數(shù)為L＝100，重采樣次數(shù)B＝100，檢驗量α＝2%信號波達方向為θ ＝，信噪比SNR＝10dB，且最差噪聲比WNPR＝10。

這里SNR 和WNPR 定義如下：

蒙特卡洛實驗次數(shù)為1000，除了特殊說明，假設(shè)信號和噪聲為高斯分布。

圖1為檢測器性能與信噪比的關(guān)系對比圖。信噪比從－15dB變化到20dB，快拍數(shù)為100，可以看出，檢測器性能隨著信噪比的增大而提高。在非均勻噪聲的情況下，AIC 和MDL 信息論準則失效。在低信噪比下，所提方法的性能優(yōu)于GBootstrap算法和NU－MDL 算法，同時在高信噪比下，新方法的檢測器性能略好?；贐ootstrap方法的檢測器因不需要任何數(shù)據(jù)分布的先驗知識而表現(xiàn)優(yōu)異。

圖2為拉普拉斯信號和高斯噪聲，圖3為高斯信號和拉普拉斯噪聲，可以看出，當信號或者噪聲不滿足高斯分布時，NU－MDL的性能并沒有在高斯分布的情況下表現(xiàn)出來?；贐ootstrap方法的檢測器不需要對數(shù)據(jù)分布做出假設(shè)，當信噪比增加時，性能優(yōu)于NU－MDL。新算法因?qū)﹃嚵袇f(xié)方差矩陣降噪處理，應(yīng)用信號子空間和噪聲子空間的正交性，易于表征投影的大小區(qū)分信號和噪聲的貢獻，所以性能優(yōu)于GBootstrap算法。新算法的檢測性能同高斯分布的情況下基本相同，說明了檢測器的魯棒性較好。

圖1 在非均勻噪聲下改變信噪比的檢測器性能Fig.1 Probability of detection against SNR

圖2 在拉普拉斯信號下改變信噪比的檢測器性能Fig.2 Probability of detection with Laplacian signals

圖3 在拉普拉斯噪聲下改變信噪比的檢測器性能Fig.3 Probability of detection with Laplacian noise

圖4 為信源功率不相等的情況下，檢測概率隨信噪比的變化。兩個信號的功率比為1∶2，信噪比以最小信號功率為基準，由圖可見，在信源功率不相等的情況下，新方法依然好于其他兩種方法。

圖5說明了快拍數(shù)對檢測器性能的作用。與預期的一樣，在快拍數(shù)變化時，基于Bootstrap方法的檢測器性能隨著快拍數(shù)增加而提高，當快拍數(shù)達到60時，正確檢測概率不再變化，趨于穩(wěn)定。

圖4 信源功率不等情況下改變信噪比的檢測器性能Fig.4 Probability of detection with signal’s power different

圖5 改變快拍數(shù)的檢測器性能Fig.5 Probability of detection against sample size

圖6 改變WNPR 時的檢測器性能Fig.6 Probability of detection against WNPR

圖6 說明當WNPR 變化時的檢測性能。這里假設(shè)最小噪聲功率為0.1，最大的噪聲功率為0.1×WNPR，其他噪聲功率在最小噪聲功率和最大噪聲功率之間隨機取值。令WNPR 的值從1變化到45。注意到WNPR 接近1，此時最大噪聲功率和最小噪聲功率相等，相當于噪聲為空間均勻的，所以檢測概率最高。從圖中可以看出NU－MDL和GBootstrap方法檢測器T1對非均勻噪聲的敏感性。這里為高斯數(shù)據(jù)，所提出的新檢驗方法性能優(yōu)于NU－MDL 算法和GBootstrap算法，當WNPR 小于15時，檢測器T1的檢測概率接近于100%，當WNPR 大于20時，新方法的正確檢測概率不會隨著WNPR 的變化而變化。

圖7說明了信號角度分辨率對檢測性能的影響。這里令θ1＝10°，并且θ2設(shè)置為從10°逐漸變化到26°。檢測性能隨著角度分辨率的增加而提高，注意到，角度分辨率大于6°時，用所提出的方法的檢測器T1是一致估計。

圖7 改變角度分辨率的檢測器性能Fig.7 Probability of detection against the angular resolution

圖8 說明陣元數(shù)目M 和快拍數(shù)L 對檢測器T1性能的聯(lián)合作用?？炫臄?shù)從20變化到120，通過不同的陣元數(shù)目來衡量其性能。一般來說，檢測器的性能隨著L 增加而得到改善。另一個重要的觀測結(jié)果是M 的作用，實際上，隨著X（t）維度的增加，Bootstrap需要更大的“最小”快拍數(shù)來估計不同變量的經(jīng)驗分布。因此，在L ≤70，M＝8的檢測概率要小于M ＝6。另一方面，在某一個數(shù)值（比如L ＝80），Bootstrap可給出更好的結(jié)果，當增加M 和L，其聯(lián)合作用明顯地改善了檢測器的檢測概率。

圖8 陣元和快拍數(shù)的關(guān)系以及檢測器T1 的性能Fig.8 Relation between M and Land effect on the T1detector’s performance.

4 結(jié)束語

文章提出了一種在空間非均勻噪聲下的信號檢測模型。這種模型基于信號空間和噪聲空間的正交性，提出了一系列假設(shè)檢驗，并且數(shù)據(jù)分布的先驗知識未知。所提出的檢驗統(tǒng)計量是基于特征空間的投影，其在空域下的分布用Bootstrap 方法進行估計。仿真結(jié)果表明，所提出的方法在少量樣本的情況下，性能優(yōu)于其他算法，尤其當數(shù)據(jù)為非高斯數(shù)據(jù)，或者在低信噪比等不理想的條件下。當重采樣次數(shù)B 增加時，計算量增大，然而仍在計算機可處理的能力范圍內(nèi)。因此，提出的檢測模型在信源數(shù)估計問題中，性能優(yōu)于其他算法。

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