周相超，薛 睿，趙旦峰，付 芳

(哈爾濱工程大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，哈爾濱150001)

0 引 言

連續(xù)相位調(diào)制(CPM)是一類(lèi)先進(jìn)的調(diào)制技術(shù)，具有相位連續(xù)、頻譜特性?xún)?yōu)良的特點(diǎn)，與PSK調(diào)制相比，具有更高效的頻帶利用率和功率利用率，而且調(diào)制之后的信號(hào)包絡(luò)恒定，對(duì)功率放大器的非線(xiàn)性特性不敏感，非常適合于信道傳輸。目前，CPM 的兩種特例MSK 和GMSK 已廣泛應(yīng)用于衛(wèi)星通信、深空通信和以GSM 為代表的數(shù)字蜂窩移動(dòng)通信等領(lǐng)域，但因接收機(jī)復(fù)雜度較高、信號(hào)同步存在較大困難，通用的CPM 尚未獲得廣泛的應(yīng)用［1］。

目前，CPM 信號(hào)的載波同步方法主要分為數(shù)據(jù)輔助同步和非數(shù)據(jù)輔助同步［2］。數(shù)據(jù)輔助同步方法的同步性能較好，但需占用額外的傳輸帶寬和功率;非數(shù)據(jù)輔助同步方法不需額外的帶寬和功率，但同步精度較差，且僅適用于信噪比較高的情況，很難實(shí)現(xiàn)有效同步。

近年來(lái)，隨著具有接近香農(nóng)限的高性能的Turbo 碼和LDPC 碼的廣泛應(yīng)用，逐漸興起了一類(lèi)新的“碼輔助同步”算法。碼輔助同步算法基于最大似然準(zhǔn)則，將譯碼器與同步器進(jìn)行聯(lián)合迭代，從而獲得接近理想的載波同步性能。文獻(xiàn)［3］將Turbo 碼譯碼結(jié)構(gòu)與最大似然準(zhǔn)則結(jié)合，基于期望最大算法與和積算法進(jìn)行迭代載波同步，可以獲得較精確的同步;文獻(xiàn)［4］提出了基于譯碼軟信息的改進(jìn)的極性判決相位檢測(cè)算法，在低信噪比條件下可獲得較傳統(tǒng)方法更理想的同步性能;文獻(xiàn)［5］通過(guò)將鎖相環(huán)與LDPC 譯碼器結(jié)合，使用迭代譯碼過(guò)程中的外信息來(lái)獲得接近理想的相位估計(jì);文獻(xiàn)［6］提出一種基于譯碼軟信息反饋的載波同步算法，不需導(dǎo)頻序列即可獲得載波相位的最佳估計(jì)值;文獻(xiàn)［7］基于最大似然準(zhǔn)則，提出簡(jiǎn)化的導(dǎo)頻聯(lián)合編碼輔助載波同步算法，該算法能大幅提高同步參數(shù)的估計(jì)精度和范圍，在一定的導(dǎo)頻長(zhǎng)度下可逼近理想同步;文獻(xiàn)［8］中針對(duì)SCCPM 串行級(jí)聯(lián)系統(tǒng)，提出一種Turbo 同步結(jié)構(gòu)，通過(guò)CPM 信號(hào)的正交指數(shù)分解和卡爾曼濾波來(lái)估計(jì)載波相位;文獻(xiàn)［9］針對(duì)LDPC－CPM 迭代系統(tǒng)，提出一種最大化后驗(yàn)概率均值的載波同步算法。

由Rimoldi 分解可知:CPM 信號(hào)可以分解為連續(xù)相位編碼器CPE 和無(wú)記憶調(diào)制器MM 的組合［10］，因此CPM 信號(hào)具有類(lèi)似于卷積碼的網(wǎng)格記憶結(jié)構(gòu)。本文在Rimoldi 分解的基礎(chǔ)上，借鑒Turbo 碼和LDPC 碼的“碼輔助同步”思想，提出一種通用的CPM 信號(hào)載波相位同步算法。該算法基于最大似然準(zhǔn)則，分別使用MAP 算法和EM算法對(duì)CPM 信號(hào)進(jìn)行解調(diào)和相位估計(jì)，將解調(diào)器和同步器聯(lián)合設(shè)計(jì)，利用解調(diào)器輸出的軟信息輔助載波相位的同步。

1 CPM 調(diào)制與系統(tǒng)模型

1.1 CPM 調(diào)制原理

CPM 信號(hào)具有相位連續(xù)、包絡(luò)恒定的特點(diǎn)，其復(fù)指數(shù)形式的表達(dá)式為［11］:

式中:Es是符號(hào)能量;T 是符號(hào)周期;wc是載波頻率;θ0是初始相位;α 是傳輸?shù)姆?hào)信息，取值范圍為{±1，±3，…，±(M－1)}，M 為CPM 的進(jìn)制數(shù);ψ(t，α)是攜帶信息的相位超量，同時(shí)也決定信號(hào)的帶寬，定義式為:

式中:h 為CPM 信號(hào)的調(diào)制指數(shù);L 為CPM 的記憶長(zhǎng)度;η(t，Ck，αk)和Φk分別為相位分支和相位狀態(tài)，定義式分別為:

式中:向量Ck=(αk－L+1，…，αk－2，αk－1)是符號(hào)信息序列，稱(chēng)為相關(guān)狀態(tài)。

CPM 信號(hào)的相位響應(yīng)函數(shù)q(t)的表達(dá)式為:

具有以下特性:

g(t)稱(chēng)為CPM 的頻率響應(yīng)函數(shù)，主要有矩形波成型函數(shù)、余弦波成型函數(shù)和高斯脈沖成型函數(shù)，對(duì)應(yīng)不同的CPM 類(lèi)型。

1.2 CPM 軟解調(diào)算法

傳統(tǒng)的CPM 信號(hào)使用Viterbi 算法實(shí)現(xiàn)相干解調(diào)，不便于軟信息的提取，為此，采用MAP 算法對(duì)CPM 信號(hào)進(jìn)行軟解調(diào)，以獲取載波相位同步所需的軟解調(diào)信息。

由Rimoldi 分解可知，CPM 信號(hào)隱含一個(gè)具有記憶性的網(wǎng)格編碼器，類(lèi)比卷積碼的網(wǎng)格圖，可定義k 時(shí)刻CPM 信號(hào)的狀態(tài)為:σk=(Φk，Ck)，對(duì)應(yīng)的k+1 時(shí)刻的狀態(tài)即為:σk+1=(Φk+1，Ck+1)，相鄰時(shí)刻兩個(gè)相位狀態(tài)之間的關(guān)系為:

CPM 信號(hào)的網(wǎng)格圖如圖1 所示，其中sS(e)和sE(e)分別表示起始狀態(tài)和結(jié)束狀態(tài)，u(e)和c(e)分別表示輸入信息符號(hào)和輸出碼字符號(hào)，S={s1，…，sn}表示狀態(tài)集合，U={u1，…，um}表示輸入符號(hào)集合，ξ=S×U={e1，…，emn}表示任意兩個(gè)網(wǎng)格狀態(tài)之間的所有可能狀態(tài)轉(zhuǎn)移。

圖1 CPM 網(wǎng)格狀態(tài)圖Fig.1 CPM trellis

根據(jù)MAP 算法的原理:若網(wǎng)格狀態(tài)圖已知，則輸出碼字概率、輸入比特概率、狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率等多種概率分布均是可計(jì)算的，根據(jù)碼輔助同步思想，在推導(dǎo)CPM 信號(hào)的載波相位同步算法的過(guò)程中，可由MAP 算法計(jì)算所需的解調(diào)軟信息類(lèi)型。

1.3 系統(tǒng)模型

本文給出的算法和仿真都是基于圖2 的系統(tǒng)模型的。系統(tǒng)采用Rimoldi 分解的方式產(chǎn)生CPM信號(hào)，解調(diào)為基于MAP 算法的軟解調(diào)方式，傳輸信道為高斯白噪聲信道(AWGN)，其雙邊功率譜密度為N0/2。假定系統(tǒng)具有理想信號(hào)增益和符號(hào)定時(shí)同步，碼間干擾可忽略。

圖2 CPM 系統(tǒng)模型Fig.2 CPM system model

CPM 信號(hào)s(t)經(jīng)AWGN 信道傳輸，到達(dá)接收機(jī)的信號(hào)r(t)表達(dá)式為:

式中:n(t)是經(jīng)過(guò)AWGN 信道引入的零均值復(fù)高斯白噪聲，其同相分量與正交分量相互獨(dú)立，方差為N0/2;θ 是未知且恒定或慢變的載波相位，需要對(duì)其進(jìn)行估計(jì)和補(bǔ)償。

2 載波相位軟同步算法

2.1 載波相位的最大似然估計(jì)

在CPM 信號(hào)的最大似然檢測(cè)中，匹配濾波器用于產(chǎn)生軟解調(diào)的先驗(yàn)信息，輸出度量定義為:

式中:h(l)(t)為匹配濾波器單位沖擊響應(yīng)，表達(dá)式為:

表示網(wǎng)格圖中一條可能的傳輸路徑。在CPM 信號(hào)的網(wǎng)格圖中，從一個(gè)節(jié)點(diǎn)sS(e)出發(fā)，共有M 個(gè)分支，每一條分支對(duì)應(yīng)當(dāng)前的輸入符號(hào)αk，定義分支度量為:

因此，載波相位θ 的似然函數(shù)可表示為:

由最大似然準(zhǔn)則，為估計(jì)載波相位，需要對(duì)式(14)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)為零，得到載波相位的最大似然估計(jì)值，但方程沒(méi)有閉環(huán)解，數(shù)學(xué)求解困難，因此需要使用其他方法來(lái)近似，傳統(tǒng)方法有數(shù)據(jù)輔助和非數(shù)據(jù)輔助的近似方法［13］，本文使用EM 算法，采用迭代方式逐步接近載波相位的最大似然估計(jì)。

2.2 EM 算法

EM 算法是一種廣泛應(yīng)用于參數(shù)估計(jì)領(lǐng)域的迭代求解算法，適用于存在隱含變量的優(yōu)化問(wèn)題，算法的目標(biāo)是找出包含隱性變量的概率模型的最大可能的解［14］。EM 算法包括E 步驟和M 步驟，經(jīng)過(guò)E 步驟和M 步驟的多次迭代，可獲得未知參數(shù)的近似最大似然估計(jì)值。

在E 步驟中構(gòu)造Q 函數(shù):

M 步驟用于獲取新的估計(jì)值:

2.3 基于解調(diào)軟信息的載波相位估計(jì)

接收信號(hào)的表達(dá)式如式(8)所示，載波相位θ為待估計(jì)參數(shù)，由EM 算法，構(gòu)造Q 函數(shù):

由式(17)可將后驗(yàn)概率p z|( θ) 作如下化簡(jiǎn):

將式(17)和式(19)帶入式(18)可得:

式中:最后一個(gè)等號(hào)右邊第二項(xiàng)與相位θ 無(wú)關(guān)，可直接忽略，因此，載波相位θ 的Q 函數(shù)可簡(jiǎn)化為:

因傳輸信道為AWGN 信道，似然函數(shù)p(r|α，θ)可表示為:

因此Q 函數(shù)中的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為:

綜合式(23)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)和式(24)的后驗(yàn)概率表達(dá)式，CPM 信號(hào)載波相位θ 的Q 函數(shù)最終可表示為:

因此，基于EM 算法對(duì)CPM 信號(hào)的載波相位進(jìn)行估計(jì)時(shí)需要2 種信息，Zk(Ck，αk)和p(Δk|，Zk(Ck，αk)來(lái)自匹配濾波器的輸出度量，狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率可由CPM 信號(hào)自身的MAP 軟解調(diào)算法獲得。

由EM 算法原理，在獲得Q 函數(shù)之后，通過(guò)M步驟中的取最大值操作，即可獲取載波相位θ 的迭代估計(jì)值，由式(25)可得:

至此，推導(dǎo)出了基于EM 算法和CPM 軟解調(diào)的載波相位軟同步算法，該算法利用解調(diào)器輸出的狀態(tài)轉(zhuǎn)移信息來(lái)輔助載波相位估計(jì)，以迭代的方式獲得接近最大似然的載波相位同步，既避免了最大似然估計(jì)求解困難的問(wèn)題，又可獲得較高的估計(jì)質(zhì)量。

3 系統(tǒng)仿真與性能分析

基于圖2 所示的系統(tǒng)模型對(duì)本文提出的CPM 信號(hào)的載波相位軟同步算法進(jìn)行性能仿真，仿真參數(shù)設(shè)置如下。采用的CPM 信號(hào)類(lèi)型為:進(jìn)制數(shù)M=8，記憶長(zhǎng)度L=2，調(diào)制指數(shù)h=1/2，成型函數(shù)使用升余弦型;幀長(zhǎng)為N=512，進(jìn)行10 000 幀仿真;載波相位同步器與軟解調(diào)器之間的最大迭代次數(shù)設(shè)為10 次;載波相位偏移量的范圍設(shè)定為－180°≤θ ≤+180°;歸一化信噪比的范圍設(shè)為0≤Eb/N0≤10 dB。為驗(yàn)證本文所提軟同步算法的有效性，分別對(duì)CPM 信號(hào)的載波相位估計(jì)精度和誤碼率性能進(jìn)行數(shù)值仿真。

圖3 給出了載波相位估計(jì)的均方誤差曲線(xiàn)，作為對(duì)比，同時(shí)給出修正克拉美羅限(MCRB)、傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)輔助估計(jì)(DA)的均方誤差曲線(xiàn)，其中，載波相位的修正克拉美羅限為［15］:

由圖3 可以看出，當(dāng)Eb/N0≥5 dB 時(shí)，載波相位軟同步算法的均方誤差估計(jì)性能逐漸接近MCRB，與傳統(tǒng)的DA 方法性能相近。

圖4 給出了在多種相偏、不同信噪比條件下CPM 信號(hào)的誤碼率性能，由圖4 可見(jiàn)，當(dāng)Eb/N0≥5 dB 時(shí)，載波同步逐漸趨于收斂，系統(tǒng)性能損失低于0.1 dB，相位偏差對(duì)系統(tǒng)性能的影響得到抵消，系統(tǒng)的誤碼率接近理想同步系統(tǒng)的性能。

圖3 載波相位估計(jì)的均方誤差曲線(xiàn)Fig.3 RMSEE curves of phase estimation

圖4 不同相位偏移時(shí)CPM 信號(hào)的誤碼率性能曲線(xiàn)Fig.4 BER curves of CPM for different phases

圖5 給出了CPM 信號(hào)在歸一化信噪比為6 dB 和8 dB 條件下相位估計(jì)的范圍?？梢钥吹?相位未補(bǔ)償時(shí)，誤碼率受相位偏移影響較大，使用本文算法對(duì)載波相位偏移補(bǔ)償之后，誤碼率性能得到改善;該算法能有效估計(jì)的相位偏移范圍是|θ|＜90°，在該范圍內(nèi)，估計(jì)誤差足夠小，誤碼率性能接近理想同步情況。

圖5 CPM 信號(hào)的相位補(bǔ)償曲線(xiàn)Fig.5 Phase compensation curves for CPM

4 結(jié)束語(yǔ)

因同步困難，CPM 信號(hào)的應(yīng)用受到較大局限，本文借鑒最新的碼輔助同步思想，基于最大似然準(zhǔn)則，將CPM 信號(hào)的解調(diào)器與同步器聯(lián)合，利用解調(diào)器輸出的軟信息去輔助載波相位的估計(jì)，從而達(dá)到載波相位同步的目的。當(dāng)Eb/N0≥5 dB時(shí)，相位估計(jì)誤差接近MCRB，系統(tǒng)的誤碼率性能損失低于0.1 dB，可估計(jì)的相位偏移范圍為| θ|＜90°，經(jīng)相位補(bǔ)償，系統(tǒng)的誤碼率接近理想同步條件下的性能。本文算法適用于載波相位恒定或慢變的系統(tǒng)，以少量的系統(tǒng)復(fù)雜度為代價(jià)，達(dá)到近似理想載波相位同步的目的，具有良好的工程實(shí)用價(jià)值。

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