趙正波

(渭南師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，陜西渭南714099)

多元函數(shù)的極值問(wèn)題是多元微分學(xué)的重要應(yīng)用［1－2］.極值的最終目的是解決最值問(wèn)題，它是數(shù)學(xué)分析的重要應(yīng)用之一.關(guān)于最值的討論一直很多，其中主要原因是在應(yīng)用問(wèn)題中常常遇到的定義域不是有界閉集［3－7］.在一般的數(shù)學(xué)分析教材中，只定義了多元函數(shù)在聚點(diǎn)處的極限和累次極限的概念［1］，對(duì)于點(diǎn)趨于無(wú)窮的函數(shù)極限并未定義，馮守平在未定義下對(duì)這個(gè)概念的應(yīng)用做了一些嘗試，它是不同于自變量趨于無(wú)窮的極限［6］.把各個(gè)自變量看成是彼此獨(dú)立，未考慮多元函數(shù)的定義域，這種局限影響了多元函數(shù)極限的應(yīng)用.事實(shí)上，點(diǎn)趨于無(wú)窮的極限是和實(shí)際問(wèn)題有聯(lián)系的，特別是用在多元函數(shù)在定義域無(wú)界時(shí)的最值討論中.

1 多元函數(shù)的極限

我們把函數(shù)值域的確界稱為函數(shù)的確界.多元函數(shù)在聚點(diǎn)處的極限在數(shù)學(xué)分析教材上已經(jīng)有了定義，我們參照聚點(diǎn)處的極限的定義這個(gè)概念引入點(diǎn)趨于無(wú)窮時(shí)的極限.下面介紹多元函數(shù)的極限概念和點(diǎn)趨于無(wú)窮時(shí)的極限的相關(guān)概念.

定義1［1］已知E是n維歐氏空間Rn空間的點(diǎn)集，函數(shù)y=f(P)在E上有定義，P0是E的聚點(diǎn)，A是實(shí)數(shù)，若

則稱函數(shù)f在E上當(dāng)P→P0時(shí)以A為極限，記為

定義2 已知E是n維歐氏空間Rn空間的點(diǎn)集，函數(shù)y=f(P)在E上有定義，E是無(wú)界集，A是實(shí)數(shù)，若

2 多元函數(shù)的最大(小)值

在數(shù)學(xué)分析教材中，對(duì)于有界閉集上的多元連續(xù)函數(shù)的最大(小)值是通過(guò)把不可導(dǎo)點(diǎn)、穩(wěn)定點(diǎn)和邊界點(diǎn)的值進(jìn)行比較求出最大(小)值的［1－2］.這是因?yàn)橛薪玳]集的邊界點(diǎn)都屬于該有界閉集，最值要么在內(nèi)點(diǎn)，該點(diǎn)就是極值點(diǎn)，因而是不可導(dǎo)點(diǎn)或穩(wěn)定點(diǎn);要么不在內(nèi)點(diǎn)，該點(diǎn)就是邊界點(diǎn)，因而只要比較這幾類(lèi)點(diǎn)上函數(shù)的值，最大的就是最大值，最小的就是最小值.實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中定義域常常不是有界閉集，通常的做法就是由實(shí)際問(wèn)題最大(小)值的存在性把唯一極值點(diǎn)作為最大(小)值點(diǎn)［1］.唯一穩(wěn)定點(diǎn)不一定是最值點(diǎn)［6］.我們可以通過(guò)引入多元函數(shù)點(diǎn)趨于無(wú)窮時(shí)的極限概念，對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行回答.

在定義域不是有界閉集時(shí)，我們借助確界的概念說(shuō)明原理，不妨設(shè)M是多元函數(shù)y=f(P)，P∈D值域的上確界(也可以為+∞).如果M是某點(diǎn)P0處的函數(shù)值，則是最大值點(diǎn);若M不是定義域上的函數(shù)值，則無(wú)最大值，此時(shí)M不是某點(diǎn)函數(shù)值，因而是不在定義域邊界點(diǎn)的極限或點(diǎn)趨于無(wú)窮大的極限.故此，我們只要把多元函數(shù)在不可導(dǎo)點(diǎn)、穩(wěn)定點(diǎn)、邊界點(diǎn)的極限和點(diǎn)趨于無(wú)窮的極限比較，得到函數(shù)值域的上(下)確界，若上(下)確界屬于值域就是最大(小)值，否則無(wú)最大(小)值.

對(duì)于多元函數(shù)，我們舉常見(jiàn)的幾個(gè)應(yīng)用實(shí)例，說(shuō)明方法的有效性.

例1［1］證明:圓的所有外切三角形中，正三角形的面積最小.

證明設(shè)圓的半徑為a，三切點(diǎn)處的半徑兩兩夾角分別為α，β，γ=2π－α－β，則得到三角形的面積為，比較，得到外切面積最小值為，即為正三角形.

3 條件最值

對(duì)于條件最值，通常用拉格朗日乘數(shù)法求得條件下的穩(wěn)定點(diǎn).對(duì)于求穩(wěn)定點(diǎn)，我們不再贅述，我們只對(duì)在求得穩(wěn)定點(diǎn)下最值的求法進(jìn)行敘述.對(duì)于條件下的邊界，常常是不屬于定義域的邊界，如果定義域是無(wú)界時(shí)，再加上在點(diǎn)趨于無(wú)窮的極限，再比較這些數(shù)值中，其中最大者(或最小者)為函數(shù)值的上(下)確界，如果上(下)確界是函數(shù)值，即為函數(shù)的最大(小)值.我們有下面的常見(jiàn)例子.

例2［1］(均值不等式)求函數(shù) f(x1，x2，…，xn)=x1x2…xn在條件 x1+x2+ … +xn=a下的最大值，其中，并證明，且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn時(shí)成立.

時(shí)成立.

例 3［1］求 f(x，y，z)=xyz 在條件下的最小值，并證明不等式，其中 a ＞ 0，b ＞ 0，c ＞ 0.

例4［1］(水箱設(shè)計(jì)問(wèn)題)要設(shè)計(jì)一個(gè)容積為V的長(zhǎng)方體開(kāi)口水箱，試問(wèn)水箱的長(zhǎng)寬高各等于多少時(shí)，其表面積最小?

解 設(shè)水箱的長(zhǎng)寬高分別為x，y，z，則問(wèn)題變?yōu)樵跅l件xyz=V和x，y，z＞0下函數(shù)S(x，y，z)=2(xz+yz)+xy的最值問(wèn)題，我們用拉格朗日乘數(shù)法求得穩(wěn)定點(diǎn)，比較，得到最小值，無(wú)最大值.

4 結(jié)語(yǔ)

在實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中，多元函數(shù)的定義域常常不是有界閉域，這給最值的判定帶來(lái)了困難，多元函數(shù)微分學(xué)給出穩(wěn)定點(diǎn)求法和穩(wěn)定點(diǎn)是否為極值的充分條件，但是唯一極大值點(diǎn)便是最大值，仍然缺乏根據(jù)，給理解帶來(lái)了困難［6－7］.應(yīng)用點(diǎn)趨于無(wú)窮時(shí)的極限，求得確界，只要確界是屬于定義域，就是最值，實(shí)際問(wèn)題中，在邊界不屬于定義域時(shí)，或者在無(wú)窮遠(yuǎn)處，應(yīng)用中的多元函數(shù)常常在邊界或者點(diǎn)趨于無(wú)窮時(shí)有相同的極限，這也是可以斷定實(shí)際問(wèn)題最大值存在的原因所在.

［1］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(下冊(cè))［M］.北京:高等教育出版社，2008.

［2］劉三陽(yáng)，李廣民.數(shù)學(xué)分析十講［M］.北京:科學(xué)出版社，2011.

［3］劉成龍，余小芬，李小梅.概述多元函數(shù)最值的求解［J］.內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，21(S1):210－212.

［4］霍夢(mèng)園，王韻.函數(shù)最值的幾何解法［J］.高師理科學(xué)刊，2011，(5):31－35.

［5］林貞棋.微積分學(xué)在多元函數(shù)最值問(wèn)題中的應(yīng)用［J］.閩江學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，25(2):7－10.

［6］馮守平.求多元函數(shù)最值中值得注意的一個(gè)問(wèn)題［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2007，10(2):23－24.

［7］柴俊.關(guān)于二元函數(shù)最值的一個(gè)注記［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2003，6(2):26－29.