郭建華，姜洪源，胡清明，李嘉博

（1.哈爾濱工業(yè)大學 機電工程學院，哈爾濱150001；2.齊齊哈爾大學 機電工程學院，黑龍江 齊齊哈爾161006）

0 引 言

同步帶傳動屬多柔體系統(tǒng)傳動范疇，由于影響同步帶傳動嚙合干涉因素的復雜性（如節(jié)距差、帶齒變形和多邊形效應等）以及嚙合狀態(tài)的多樣性（主、從動輪嚙入、嚙出），同步帶與帶輪齒廓齒形設計較為復雜。為實現(xiàn)帶齒廓與帶輪齒廓更為平滑地嚙合，自1946年發(fā)明同步帶傳動以來，帶與輪齒廓齒形曲線的形狀處于不斷地變異、演化過程中。齒廓曲線由最早的直線、漸開線發(fā)展到圓弧曲線、拋物線、曳物線等不同曲線齒形，而齒形曲線由分段曲線連接而成。作為多柔體傳動系統(tǒng)的帶與帶輪剛柔耦合嚙合接觸干涉問題，直接影響傳動噪聲、承載能力和傳動精度。研究表明，同步帶與帶輪有適量的干涉，可以降低傳動噪聲、消除多邊形效應、提高傳動精度、減少主從動輪的速度波動［1－2］；帶齒與輪齒齒形影響著側隙大小，降低側隙可以改善帶齒間的載荷分布，Gates公司8YU 同步帶，通過齒廓修形，使側隙從0.393 mm 減到0.135 mm，有利于提高同步帶承載能力［3］。

影響直齒同步帶傳動嚙合因素眾多，如多邊形效應、帶齒變形、節(jié)距差等。減小帶齒嚙入、嚙出干涉一直成為同步帶齒形研究的重點問題。目前同步帶齒廓齒形都為Gates、Goodyear等少數(shù)公司研制的專利產品［4－6］。

本文分別對新型人字齒同步帶和美國GoodYear公司Eagle PD 人字齒同步帶傳動進行建模，對比研究帶齒的共軛齒廓與帶輪齒槽的齒形干涉情況，為新型人字齒同步帶傳動設計提供依據。

1 人字齒同步帶傳動模型建立

多柔體組成的人字齒同步帶傳動系統(tǒng)，因帶齒與輪齒人字排列，使帶齒槽底與帶輪齒頂沿輪齒在圓周方向連續(xù)接觸，消除了帶輪－帶（相當齒條）模型中的多邊形效應，因此人字齒帶與帶輪傳動可以視為人字齒條與帶輪傳動。

新型人字齒同步帶傳動在齒形選型上，采用高階接觸嚙合理論，使帶齒具有更大接觸強度，接觸點附近間隙為3階無窮?。?－9］，滿足上述條件的簡單齒廓曲線為圓心在節(jié)線上的圓弧曲線，并將圓弧齒廓作為新型人字齒同步帶傳動法面基準齒廓，如圖1（a）所示。帶齒廓由5 段圓弧曲線組成，帶輪刀具齒形由直線和3段圓弧組成；Eagle PD 人字齒同步帶端面為基準齒形，如圖1（b）所示，帶齒是由直線和3段圓弧組成，帶輪刀具由5段圓弧曲線組成［10－11］。

圖1 帶與刀具齒形Fig.1 Belt and cutter tooth

為便于公式推導及建模，將基準齒形為法面齒廓的新型人字齒同步帶與帶輪刀具齒廓，采用統(tǒng)一建模公式；將端面為基準齒形的Eagle PD 人字齒同步帶和帶輪刀具齒廓采用統(tǒng)一建模公式。根據人字齒傳動特點，簡化建模，將人字齒傳動模型轉化為斜齒與斜齒輪傳動。研究齒廓是對稱的，故齒廓方程取一側齒廓建立。

1.1 建立帶齒或刀具的空間齒廓曲面Σ2 方程

如圖1（a）所示，參數(shù)在σn＝［on；xnynzn］法平面坐標系，ρi 為第i 段曲線的圓弧半徑；（ρix，ρiy）對應圓心坐標；i＝1，2，…，n；θ為對應圓弧曲線極坐標的矢徑轉角；n ＝5 為帶齒齒廓方程；n＝3為帶輪刀具齒廓方程，帶輪直線段方程略，齒廓法面建模方程為：

基準齒形為端面齒廓的Eagle PD 人字齒同步帶與帶輪刀具齒廓，如圖1（b）所示，端平面坐標系σ2＝［o2；x2y2］。n＝5為Eagle PD 帶輪刀具齒廓方程，n ＝3為齒廓方程。齒廓法面建模方程為：

新型人字齒同步帶和帶輪刀具，由法面σn轉β 角變換為端面σ2＝［o2；x2y2z2］，如圖2所示，對應空間曲面Σ2方程為：

同理Eagle PD 的人字齒同步帶輪刀具、同步帶在σ2坐標系的空間曲面Σ2方程為：

式中：u為齒面曲線坐標之一，為齒廓在齒向上的位移。

1.2 建立空間齒廓曲面嚙合方程

研究帶或刀具的共軛齒廓，采用齒輪齒條模型，如圖2所示。由帶或刀具曲面Σ2，利用瞬時回轉軸法確定嚙合函數(shù)，齒輪齒條傳動模型嚙合方程為：

式中：R1和φ1 分別代表共軛輪的節(jié)圓半徑和轉角。

圖2 傳動嚙合模型Fig.2 Model of gear meshing transmission

根據曲面法矢n2定義，新型人字齒同步帶、帶輪刀具在空間曲面Σ2上有相同形式法矢表達式：

同理Eagle PD 同步帶、帶輪刀具齒廓在空間曲面Σ2上統(tǒng)一法矢表達式為：

將式（6）代入式（5）中，新型人字齒同步帶、帶輪刀具嚙合方程為：

將式（7）代入式（5）中，Eagle PD 同步帶、帶輪刀具嚙合方程為：

1.3 確立空間齒廓曲面Σ1 共軛方程

利用坐標系σ2到坐標系σ1的變換關系，得出新型人字齒同步帶包絡齒廓或帶輪齒廓曲面Σ1方程為：

將人字齒同步帶法面齒廓參數(shù)和帶輪刀具參數(shù)分別代入方程（10）可得出帶共軛齒廓和帶輪齒廓。同理，Eagle PD 帶輪齒廓或帶齒的共軛齒廓曲面Σ1方程為：

將帶輪刀具端面參數(shù)和帶輪齒廓參數(shù)分別代入方程（11）得到帶輪齒廓和帶的共軛齒廓。

2 嚙合干涉仿真分析

圖3 帶齒與帶輪靜態(tài)嚙入圖Fig.3 Meshing graph of belt tooth and pulley

圖3 所示為Gates公司Westhoff在分析了現(xiàn)有同步帶、帶輪齒形與傳動干涉關系［4］的基礎上，研究了同步帶（齒條）與帶輪（Z＝34）靜態(tài)嚙合狀態(tài)下帶與輪齒齒形與結構參數(shù)關系得出的結論：當帶齒較低，帶與輪齒存在間隙，不易產生嚙合干涉，沖擊噪聲低，但自鎖性差，載荷變化時易爬齒，如圖3（a）所示。當帶齒較高，帶與輪齒側曲線斜率大，自鎖好，抗爬齒能力強，但帶與輪齒間有嚙合干涉，沖擊噪聲大，如圖3（b）所示。Gates公司的G 型同步帶，帶齒高（節(jié)距8mm，齒高3.43mm），具有很好的抗爬齒特性；但嚙合無干涉，沖擊噪聲小，如圖3（c）所示，適合高速、重載、低噪聲傳動。

Westhoff［4］對帶與輪齒齒形與結構參數(shù)關系的研究模型存在兩個不足：一是模型忽略了傳動的多邊形效應；二是模型僅反映某位置帶與輪齒接觸狀態(tài)，沒有反映帶齒與輪齒嵌入過程中的情況。通常帶齒相對于輪齒做嚙入運動，形成的包絡齒廓隨輪的半徑變化，一般比實際帶齒廓寬。包絡齒廓與輪齒槽產生齒形干涉，可以判定帶齒與輪齒嚙合傳動就不會干涉。

新型人字齒同步帶與帶輪齒形特點：帶齒曲面與帶輪齒曲面在齒的法面齒側弧為共軛齒廓，其他曲線部分為非共軛齒廓。表1表示兩種帶與帶輪齒廓參數(shù)。為了便于研究齒形對干涉的影響，令齒側間隙為零。圖4表示新型人字齒同步帶節(jié)線與帶輪節(jié)圓相切條件下傳動模型。因側隙為零，帶齒根寬與輪齒槽頂相等，齒條（帶）嵌入帶輪齒槽中，沒有齒形干涉發(fā)生。

表1 同步帶和帶輪刀具基本參數(shù)Table 1 Basic parameters of synchronous belt and pulley mm

圖4 新型人字齒同步帶與輪嚙合傳動模型Fig.4 Meshing transmission model of double helical synchronous belt and pulley

為顯示斜齒帶與螺旋輪齒間沿齒向嚙合狀態(tài)，圖5表示斜齒帶與帶輪螺旋齒槽沿齒向不同截面的嚙合狀態(tài)。在齒向方向，帶齒逐漸嚙入輪齒槽，帶齒頂與輪齒槽底接觸，齒側無干涉。齒頂干涉是有益的，因為帶齒頂受力，可減緩齒根應力集中。

圖6是新型人字齒同步帶的共軛齒廓與帶輪齒廓三維齒形圖，帶輪齒槽包容帶的共軛齒廓，齒形無干涉。圖7是圖6端面剖面圖，齒側共軛部分齒形吻合，齒頂和齒根非共軛部分齒形無干涉。圖8是Eagle PD 帶共軛齒廓與帶輪齒槽三維圖，輪齒槽中下部陰影部分和齒槽底部與帶共軛齒廓干涉。

圖5 新型人字齒同步帶與輪嚙合傳動模型截面圖Fig.5 Section graph of meshing transmission model for double helical synchronous belt and pulley

圖6 新型人字齒同步帶共軛齒廓和帶輪齒槽齒廓Fig.6 Conjugate tooth profile and pulley groove profile of double helical synchronous belt

圖9 是圖8的端面剖面圖，實際嚙合中，帶齒觸及輪槽底就不會向下移動，因此會產生嚙合干涉。這是Eagle PD 齒形特點，帶齒頂受接觸力，可以減緩齒根應力集中。帶齒頂有較大干涉，帶齒嵌入到帶輪齒內部實際不可能發(fā)生，干涉量引起帶齒節(jié)線徑向偏移，影響傳動精度。

圖7 新型人字齒同步帶共軛齒廓和帶輪齒槽端面齒形Fig.7 Conjugate tooth profile and face profile of pulley groove for double helical synchronous belt

圖8 Eagle PD共軛齒廓和帶輪齒槽齒形Fig.8 Conjugate tooth profile and pulley groove profile of Eagle PD

圖9 Eagle PD共軛齒廓和帶輪齒槽端面齒形Fig.9 Conjugate tooth profile and face profile of pulley groove for Eagle PD

新型人字齒同步帶法向齒廓為圓弧齒，圖10（a）是圖1 法向剖面圖，帶齒2 與輪齒槽存在間隙。圖10（b）表示帶齒與輪齒側弧圓心過嚙合軸時，帶右側齒與輪齒槽形成的瞬時接觸線，因為側弧半徑比Eagle PD 側弧半徑大，瞬時嚙合線比Eagle PD 更長，提高了帶齒的接觸強度。

圖10 法截面上帶齒和帶輪嚙合關系與形成的瞬時接觸線Fig.10 Meshing relationship and instantaneous contact line of belt and pulley on normal plate

如圖11所示，新型人字齒同步帶齒比Eagle PD更高，齒廓截面積更大，因此帶齒可以承受更大的載荷和抗爬齒性能。

圖11 新型人字齒同步帶和Eagle PD的端面齒形Fig.11 Face profile of double helical synchronous belt and Eagle PD

3 結 論

（1）建立的以人字齒帶齒的包絡齒廓與帶輪齒槽不干涉作為評判帶與輪不產生嚙合干涉的新方法比Westhoff提出的干涉判據更合理和準確。

（2）消除傳動多邊形效應，帶齒與輪齒嚙合傳動更接近齒輪齒條傳動原理，為人字齒同步帶傳動齒形設計提供了理論依據。

（3）新型人字齒同步帶傳動和Eagle PD 進行的嚙合干涉對比分析表明，新型人字齒同步帶傳動嚙合更順滑，帶齒與輪齒廓無齒形干涉，高帶齒使齒廓陡峭，抗爬齒性能更好。

（4）新型人字齒同步帶傳動，齒廓的齒側齒形為圓弧齒廓，齒側半徑大，瞬時接觸線長，有助于提高兩齒廓瞬時接觸強度。采用零側隙設計帶齒與輪齒的法面齒廓齒形，嚙合傳動無干涉，表明帶齒與輪齒嚙合更順滑，可以實現(xiàn)比直齒同步帶更低的側隙傳動。

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