□ 楊 萍 □ 樊 迪

蘭州理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院 蘭州 730050

21世紀(jì)以來，國(guó)內(nèi)外對(duì)機(jī)器人技術(shù)的發(fā)展越來越重視，機(jī)器人技術(shù)被認(rèn)為是對(duì)未來新興產(chǎn)業(yè)發(fā)展具有重要意義的高端技術(shù)之一［1］。雙足機(jī)器人是機(jī)器人領(lǐng)域最活躍的研究熱點(diǎn)之一，因其外形和功能形似人類，適合在人類生活和工作的環(huán)境中與人類協(xié)同工作［2，3］，還可以代替人類在危險(xiǎn)環(huán)境中作業(yè)，拓寬人類的活動(dòng)空間［4］，有高度的適應(yīng)性與靈活性。實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定步行是雙足機(jī)器人研究的首要任務(wù)［5］，合理的步態(tài)規(guī)劃是機(jī)器人穩(wěn)定步行的基礎(chǔ)。因此，步態(tài)規(guī)劃是雙足機(jī)器人研究的關(guān)鍵技術(shù)之一，對(duì)其研究具有重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。筆者建立雙足機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，根據(jù)步行要求，采用三次樣條插值方法規(guī)劃出雙足機(jī)器人各關(guān)節(jié)在整個(gè)步行周期內(nèi)的平滑運(yùn)動(dòng)軌跡。

1 雙足機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

建立雙足機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型是步態(tài)規(guī)劃、穩(wěn)定性分析的基礎(chǔ)。筆者研究的對(duì)象是SHR-8S小型雙足機(jī)器人，該機(jī)器人共有17個(gè)自由度，全部為轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，每條腿有5個(gè)自由度。其中，髖關(guān)節(jié)有2個(gè)自由度，1個(gè)負(fù)責(zé)前向運(yùn)動(dòng)，用于移動(dòng)兩腿實(shí)現(xiàn)邁步，使上半身前傾或后仰，1個(gè)負(fù)責(zé)側(cè)向運(yùn)動(dòng)，使上半身側(cè)傾；膝關(guān)節(jié)有1個(gè)自由度，負(fù)責(zé)前向運(yùn)動(dòng)，用于完成小腿的屈、伸動(dòng)作；踝關(guān)節(jié)有2個(gè)自由度，1個(gè)負(fù)責(zé)前向運(yùn)動(dòng)，1個(gè)負(fù)責(zé)側(cè)向運(yùn)動(dòng)，用于與髖關(guān)節(jié)配合并調(diào)整腳掌與地面的接觸狀態(tài)，完成步行過程。用Denavit-Hartenberg運(yùn)動(dòng)學(xué)表示法［6］建立機(jī)器人下肢坐標(biāo)系，如圖1所示，關(guān)節(jié)i的軸線與Zi+1軸重合，Xi+1軸與從Zi+1軸指向Zi+2軸的公共法線重合，Yi+1軸按照右手法則確定，坐標(biāo)原點(diǎn)取Xi+1和Zi+1的交點(diǎn)。將機(jī)器人步行的起點(diǎn)位置設(shè)為世界坐標(biāo)系［7］的原點(diǎn)，規(guī)定：X軸為機(jī)器人前向運(yùn)動(dòng)的方向，Z軸垂直向上，Y軸根據(jù)右手法則得到。為方便計(jì)算，將踝關(guān)節(jié)的兩個(gè)坐標(biāo)系、髖關(guān)節(jié)的兩個(gè)坐標(biāo)系分別建立在同一點(diǎn)；在左右腳分別以踝關(guān)節(jié)中心在地面的投影為坐標(biāo)系原點(diǎn)固連一個(gè)參考坐標(biāo)系；將兩髖關(guān)節(jié)中心設(shè)為輔助坐標(biāo)系的原點(diǎn)，運(yùn)用輔助坐標(biāo)系可以獲得下肢各關(guān)節(jié)與軀干位置的聯(lián)系，并且可以把上肢與下肢聯(lián)系起來。

▲圖1 機(jī)器人下肢坐標(biāo)系圖

表1 D-H參數(shù)表

確定各連桿的關(guān)節(jié)變量和D-H參數(shù)，由于所有關(guān)節(jié)均為轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，所以關(guān)節(jié)角θi為關(guān)節(jié)變量，其它3個(gè)連桿參數(shù)即連桿扭角αi-1、連桿長(zhǎng)度ai-1、連桿偏距di為固定值，雙足機(jī)器人下肢的D-H參數(shù)見表1。

雙足機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)是基于齊次變換矩陣的方法，根據(jù)機(jī)器人各關(guān)節(jié)的位置，求解擺動(dòng)腳相對(duì)于參考坐標(biāo)系的位姿。根據(jù)齊次變換理論，坐標(biāo)系｛i｝與它相鄰的坐標(biāo)系｛i-1｝之間的連桿變換矩陣［8］為：

式中：s表示sin，c表示cos。將機(jī)器人下肢的D-H參數(shù)（表1）代入式（1），即可得到相應(yīng)的齊次變換矩陣：

右腳踝關(guān)節(jié)中心的坐標(biāo)系1到右腳踝關(guān)節(jié)中心在地面的投影點(diǎn)處的坐標(biāo)系0之間的齊次變換矩陣為：

髖關(guān)節(jié)中心的坐標(biāo)系13到右髖關(guān)節(jié)中心的坐標(biāo)系6之間的齊次變換矩陣為：

綜上所述，軀干任意時(shí)刻相對(duì)于右腳參考坐標(biāo)系的位姿為：0T13=0T11T22T33T44T55T66T13；左腳相對(duì)右腳參考坐標(biāo)系的位姿為：0T12=0T11T22T33T44T55T66T77T88T99T1010T1111T12。雙足機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)是給定擺動(dòng)腳相對(duì)于基坐標(biāo)系的位姿，求解各關(guān)節(jié)對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)角度。

2 三次樣條插值函數(shù)

早期工程師制圖時(shí)，將富有彈性的細(xì)長(zhǎng)條（樣條）在樣點(diǎn)上固定，其它地方讓它自由彎曲，然后沿樣條邊緣畫出的曲線稱為樣條曲線。樣條插值是一種常用的得到平滑曲線的插值方法，三次樣條插值（Cubic Spline Interpolation）是其中應(yīng)用較為廣泛的一種。

設(shè)機(jī)器人某一關(guān)節(jié)在初始時(shí)刻ts的運(yùn)動(dòng)角度為θs，設(shè)計(jì)該關(guān)節(jié)在tf時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)角度為θf。用待定系數(shù)法列出如下三次多項(xiàng)式方程：

對(duì)式（5）求一階導(dǎo)數(shù)，得出如下方程：

將初始和末端時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)角度 θ （ts）=θs、θ （tf）=θf代入式（5），將初始和末端時(shí)刻的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)速度 θ˙（ts）=βs，θ˙（tf）=βf， 代入式（6），得到：

聯(lián)立求解式（7）方程組，可解出式中 b0、b1、b2、b34個(gè)系數(shù)的值，只要將三次多項(xiàng)式的自變量即時(shí)間值代入式中，就可求得對(duì)應(yīng)時(shí)刻的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)角度。

3 雙足機(jī)器人關(guān)節(jié)軌跡規(guī)劃

雙足機(jī)器人一個(gè)完整的步行過程可分為3個(gè)階段，分別是：起步階段、周期步行階段和止步階段。本文重點(diǎn)研究雙足機(jī)器人的周期步行階段，步行過程如圖2所示。圖中右腿為支撐腿，用虛線表示；左腿為擺動(dòng)腿，用實(shí)線表示。一個(gè)步行周期包含雙腿支撐周期和單腿支撐周期，圖2中A→B、C→D階段為雙腿支撐周期，指的是從擺動(dòng)腿腳跟接觸地面到支撐腿腳尖離開地面的時(shí)間段，在此期間，雙足機(jī)器人完成重心的轉(zhuǎn)移，雙腿支撐周期一般占整個(gè)步行周期的20%左右［9］；圖2中B→C→D階段為單腿支撐周期，指的是擺動(dòng)腿的腳離開地面到再次著地的時(shí)間段。

SHR-8S雙足機(jī)器人的前向步行過程為：雙腿支撐→右腿支撐→左腿擺動(dòng)→雙腿支撐→左腿支撐→...只要將圖2中A→E階段的步態(tài)確定，則左腿為支撐腿，右腿為擺動(dòng)腿的步態(tài)可由A→E階段的步態(tài)延時(shí)一個(gè)步行周期即可得到，雙足機(jī)器人的步態(tài)完全確定。

筆者在前向平面內(nèi)分別對(duì)擺動(dòng)腿的腳掌、踝關(guān)節(jié)、髖關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行規(guī)劃，并根據(jù)幾何關(guān)系算出膝關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)軌跡，其它關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)角度可通過求解逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程得到。

▲圖2 雙足機(jī)器人周期步行階段步行過程圖

3.1 腳掌傾角規(guī)劃

在圖2所示的周期步行階段，設(shè)步行周期為Tc，其中雙腿支撐周期為Td，單腿支撐周期為Ts，第k步的時(shí)間為從kTc到（k+1）Tc，k為正整數(shù)，腳掌與地面傾角的變化如圖3所示。在腳底始終平行于地面的情況下，腳底突然與地面接觸時(shí)沖擊力過大，非常容易導(dǎo)致步行失敗，所以設(shè)擺動(dòng)腳腳掌離地時(shí)與地面的夾角為qb，擺動(dòng)腳腳掌著地時(shí)與地面的夾角為qf。

▲圖3 腳掌與地面傾角變化圖

前向平面上腳掌傾角的約束條件為：

選取腳掌與地面的傾角q（t）為三次樣條插值函數(shù)，選取第一類邊界條件，即：

即認(rèn)為在kTc和（k+1）Tc+Td時(shí)刻，腳掌的速度為零。利用三次樣條插值函數(shù)規(guī)劃出的腳掌傾角角度如圖4所示。

▲圖4 腳掌傾角角度圖

3.2 踝關(guān)節(jié)規(guī)劃

設(shè)擺動(dòng)腳踝關(guān)節(jié)在kTc+Td+Ts/2時(shí)刻達(dá)到最高點(diǎn)，位置坐標(biāo)為（Lm，Hm）。 設(shè) Ds為步長(zhǎng)，Lh為踝關(guān)節(jié)到腳底的距離，Lf為踝關(guān)節(jié)在腳底的投影點(diǎn)到腳尖的距離，Lb為踝關(guān)節(jié)在腳底的投影點(diǎn)到腳跟的距離。前向方向上踝關(guān)節(jié)的約束條件為：

選取第一類邊界條件，即：

利用三次樣條插值函數(shù)規(guī)劃出的踝關(guān)節(jié)在X、Z方向的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖5所示。

▲圖5 踝關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡圖

3.3 髖關(guān)節(jié)規(guī)劃

髖關(guān)節(jié)的軌跡規(guī)劃在整個(gè)步態(tài)規(guī)劃中有關(guān)鍵的作用，影響整個(gè)機(jī)器人步行過程的穩(wěn)定性。設(shè)髖關(guān)節(jié)在雙腿支撐期的中間時(shí)刻達(dá)到最低點(diǎn)Hmin，在單腿支撐期的中間時(shí)刻達(dá)到最高點(diǎn)Hmax。則Z方向上髖關(guān)節(jié)的約束條件為：

設(shè)擺動(dòng)腳離地時(shí)支撐腳踝關(guān)節(jié)到髖關(guān)節(jié)在X方向上的距離為xf，擺動(dòng)腳著地時(shí)支撐腳踝關(guān)節(jié)到髖關(guān)節(jié)在X方向上的距離為xb。則X方向上髖關(guān)節(jié)的約束條件為：

髖關(guān)節(jié)應(yīng)滿足以下邊界條件：

利用三次樣條插值函數(shù)，根據(jù)式（14）、（15）的約束條件和式（16）、（17）的邊界條件，對(duì)Z方向上的髖關(guān)節(jié)軌跡進(jìn)行規(guī)劃。

3.4 膝關(guān)節(jié)規(guī)劃

已知踝關(guān)節(jié)、髖關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)軌跡，可以由幾何關(guān)系推導(dǎo)出膝關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)軌跡。如圖6 所 示 ，Ph、Pk、Pa分 別 表 示 髖 關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)和踝關(guān)節(jié)，膝關(guān)節(jié)的坐標(biāo)為Xk、Zk，髖關(guān)節(jié)的坐標(biāo)為Xh、Zh， 大腿L1= PhPk， 小腿L2=PkPa。

求得膝關(guān)節(jié)的坐標(biāo)為：

4 結(jié)束語

▲圖6 腿部各關(guān)節(jié)幾何關(guān)系圖

本文采用Denavit-Hartenberg運(yùn)動(dòng)學(xué)表示法建立了SHR-8S小型雙足機(jī)器人下肢的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，簡(jiǎn)要介紹了三次樣條插值函數(shù)，在前向平面內(nèi)利用三次樣條插值函數(shù)分別對(duì)擺動(dòng)腿腳掌、踝關(guān)節(jié)和髖關(guān)節(jié)進(jìn)行軌跡規(guī)劃，并由幾何關(guān)系推導(dǎo)出了膝關(guān)節(jié)的坐標(biāo)。Matlab的仿真結(jié)果表明，利用三次樣條插值方法規(guī)劃的步態(tài)，能保證規(guī)劃軌跡的平滑，是合理可行的。

［1］ 徐揚(yáng)生.智能機(jī)器人引領(lǐng)高新技術(shù)發(fā)展 ［N］.科學(xué)時(shí)報(bào)，2010-08-12.

［2］ Hirai K，Hirose M，Haikawa Y，et al.The Development of Honda Humanoid Robot ［C］.Proceedings of the IEEE InternationalConference on Robotics and Automation，Leuven，Belgium，1998.

［3］ Hirai K.Current and Future Perspective of Honda Humanoid Robot ［C］.Proceedings of the IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems， Grenoble，F(xiàn)rance，1997.

［4］ 陳懇，付成龍.仿人機(jī)器人理論與技術(shù)［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2010.

［5］ 劉志遠(yuǎn).雙足機(jī)器人動(dòng)態(tài)行走研究［D］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)，1991.

［6］ John J Craig.Introducion to Robotics:Mechanics and Control， Third Edition［M］.Beijing:China Machine Press， 2006.

［7］ 梶田秀司，管貽生，譯.仿人機(jī)器人［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2007.

［8］ 蔡自興.機(jī)器人學(xué)（第二版）［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2009.

［9］ Huang Q， Kajita S.A High Stability Smooth Walking Pattern for a Biped Robot ［C］.Proceedings of the IEEE InternationalConference on Roboticsand Automation，Detroit，1999.

［10］吳澤琦.仿人足球機(jī)器人步態(tài)規(guī)劃研究［D］.杭州：浙江工業(yè)大學(xué)，2013.