趙麗霞

（山西大學(xué)商務(wù)學(xué)院，山西 太原 030031）

0 引 言

風(fēng)險(xiǎn)模型是精算學(xué)研究的一個(gè)熱門(mén)話題，國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)模型中的破產(chǎn)概率問(wèn)題進(jìn)行了探討，得出了破產(chǎn)概率的顯式通解或漸近分布［1－8］。文中考慮了帶有常數(shù)保險(xiǎn)費(fèi)率、常數(shù)利息力的復(fù)合Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型，在次指數(shù)分布下推導(dǎo)出了破產(chǎn)概率的漸近公式。

1 模型描述

給定概率空間（Ω，F(xiàn)，P），假定理賠次數(shù)過(guò)程｛N（t），t≥0｝服從強(qiáng)度參數(shù)為λ的Possion過(guò)程，其中，N（t）為時(shí)間間隔［0，t］中的索賠次數(shù)；｛Yj，j≥1｝為獨(dú)立同分布的理賠額隨機(jī)變量序列，其中Yj表示第j次理賠額，其分布函數(shù)為F，滿足進(jìn)一步假 定｛N（t），t≥0｝與｛Yj，j≥1｝相互獨(dú)立。

記

文中假定H為次指數(shù)分布，在此基礎(chǔ)上研究風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率問(wèn)題。

總理賠額過(guò)程｛X（t），t≥0｝定義為

考慮經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型

式中：｛Uγ（t），t≥0｝——保險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)備金；

P——常數(shù)保險(xiǎn)費(fèi)率；

γ——常數(shù)利息力。

在以上假定條件下，由文獻(xiàn)［1］可知，風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)備金｛Uγ（t），t≥0｝滿足方程

其中v＝Uγ（0）≥0為保險(xiǎn)公司的初始盈余。定義，稱為該盈余過(guò)程的終極破產(chǎn)概率。

為研究方便，文中給定以下變量記號(hào)：

記ρ＝λμ：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)的期望理賠額數(shù)量；

φγ（v）＝1－Ψγ（v）：生存概率；

Gγ（v）＝1－Ψγ（v）／Ψγ（0）：輔助分布函數(shù)；

2 輔助關(guān)系

假設(shè)安全載負(fù)ρ＜c成立，由文獻(xiàn)［1］可知

其中，Hn＊為Stieltjes卷積，

文中將利用Gγ（v）討論保險(xiǎn)公司的破產(chǎn)概率問(wèn)題。

由Beekman卷積公式，破產(chǎn)概率Ψ0（v）可表示為

由式（1）和式（2）可得

即

由Laplace－Stieltjes轉(zhuǎn)換，并結(jié)合式（2）得

3 主要結(jié)論及證明

我們將要在H為次指數(shù)分布的假定條件下，通過(guò)估計(jì)eγ（v）的上、下界進(jìn)而得到eγ（v）的漸近公式。

定理1 若ρ＜p，則

證明：顯然eγ（v）≥v（1－Gγ（v）），將其代入式（4），得

又

得

定理2 對(duì)于次指數(shù)分布H及ρ＜p，有

證明：由于

又

則

定理3 若H為次指數(shù)分布，則

證明：

情形1：ρ＜p。

由定理2可知，

情形2：ρ≥p。

由破產(chǎn)概率的表達(dá)式可知，若p≤p′，則Ψγ（v，p）≥Ψγ（v，p′）。若ρ＜p′，則由情形1可知，，并且對(duì)于任意的且，有

另v′滿足ρ＜p＋γv′，則由情形1可知

因此，Ψγ（v）上、下界表達(dá)式相同，則

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