王秀玉，　李　琳

(長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué) 基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院， 吉林 長(zhǎng)春　130012)

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P*-型非線性互補(bǔ)問題解的存在性

王秀玉，李琳

(長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué) 基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院， 吉林 長(zhǎng)春130012)

摘要：首先利用Poincare-Bohl定理給出擇一性定理，然后用該定理證明非線性互補(bǔ)問題解的存在性，并獲得互補(bǔ)問題有解的充分條件。

關(guān)鍵詞：互補(bǔ)問題； 擇一性定理；P-型映射；P*-型映射

0引言

互補(bǔ)問題首先由著名運(yùn)籌學(xué)家、數(shù)學(xué)規(guī)劃的創(chuàng)始人G.B.Dantzig教授和他的學(xué)生R.W.Cottle于1963年提出，由于互補(bǔ)問題在數(shù)學(xué)規(guī)劃、對(duì)策論及經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用[1-2]，受到極大關(guān)注。判定互補(bǔ)問題是否有解及獲得互補(bǔ)問題有解的充分或必要條件是研究互補(bǔ)問題的重要問題之一。求解互補(bǔ)問題的方法之一為構(gòu)造一個(gè)擇一性定理，即對(duì)連續(xù)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的互補(bǔ)問題構(gòu)造適當(dāng)?shù)睦獯?，互補(bǔ)問題或者存在例外簇，或者有解，然后給出互補(bǔ)問題沒有例外簇的條件，進(jìn)而得到互補(bǔ)問題有解。文獻(xiàn)[3]比較全面地論述了互補(bǔ)問題的基礎(chǔ)理論和求解的幾種重要方法；文獻(xiàn)[4]給出了一種例外簇的具體形式，文獻(xiàn)[5]利用文獻(xiàn)[4]的擇一性定理，獲得了一些非單調(diào)互補(bǔ)問題存在解的條件;王秀玉[6]等討論了水平互補(bǔ)問題。其它的互補(bǔ)問題是否存在解，利用文獻(xiàn)[4]的擇一性定理能否判定，還未有結(jié)論。

文中討論如下非線性互補(bǔ)問題(NCP(f)):求x≥0，使得y=f(x)≥0，且xTy=0，其中f:Rn→Rn為連續(xù)映射。文中利用NCP函數(shù)構(gòu)造與文獻(xiàn)[4]類似的例外族，并證明了P*-型映射所對(duì)應(yīng)的互補(bǔ)問題的可解性。

1擇一性定理

首先介紹在拓?fù)鋵W(xué)中廣泛運(yùn)用的兩個(gè)基本結(jié)論。

下面是文中給出的例外簇的定義。

則稱序列{x(r)}為NCP(f)的例外簇。

利用極小函數(shù)及Poincare-Bohl定理,首先證明一個(gè)擇一性定理。

定理1設(shè)f:Rn→Rn是一連續(xù)映射，則互補(bǔ)問題(NCP)或者有解或者存在例外簇。

證明因互補(bǔ)問題(NCP)等價(jià)于

若式(1)無解，記

考慮同倫方程：

則對(duì)?r>0,?tr∈[0,1]及存在x(r)∈?Dr，使得

否則，?r*>0，對(duì)?x∈?Dr*，?t∈[0,1]，有

因此

由引理1知

再由引理2知，φ(x)=0有解，與題設(shè)矛盾，從而式(3)成立，且式(3)中的tr∈(0,1)。

若tr=0，則有φ(x(r))=0，與證明開始假設(shè)互補(bǔ)問題無解矛盾。

若tr=1，則有x(r)=0，這與x(r)∈?Dr矛盾。

因?yàn)閤(r)∈?Dr，故有

式(3)的分量形式為：

整理式(5)得：

式(6)兩邊平方得：

化簡(jiǎn)式(7)得：

即

由式(9)得：

由式(4) ‖x(r)‖→+∞，(r→+∞)，從而{x(r)}是互補(bǔ)問題NCP(f)的例外簇。

由定理1立即可得

推論1設(shè)f:Rn→Rn是連續(xù)函數(shù)，且互補(bǔ)問題NCP(f)無例外簇，則互補(bǔ)問題NCP(f)有解。

2互補(bǔ)問題的解的存在性

利用定理1證明一些互補(bǔ)問題有解。

定理2若f為連續(xù)的P-型映射，則互補(bǔ)問題NCP(f)有解。

證明只需證明互補(bǔ)問題無例外簇即可。

定理3若f為連續(xù)的P*-型映射，則互補(bǔ)問題NCP(f)有解。

上式與P*-型映射矛盾，因此，互補(bǔ)問題NCP(f)有解。

下面給出P*-型映射的推廣。

定義4設(shè)映射f:Rn→Rn，若?τ≥0，α≥0，β∈(0,1)對(duì)?x∈Rn，有

則稱f為P(τ,α,β)-型映射。

定理4若f為P(τ,α,β)-型映射，且互補(bǔ)問題沒有無窮遠(yuǎn)解，則互補(bǔ)問題NCP(f)有解。

證明由定理1知只需證明互補(bǔ)問題無例外簇即可。

即

整理得

將式(12)代入上式得

參考文獻(xiàn)：

[1]Dantzig G B, Cottle R W. Positive (semi-definite) matrices and mathematical programming [D]: [Ph D Thesis]. Colifornia: University of Berkeley,1963.

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[6]王秀玉，申海明，李琳.水平線性互補(bǔ)問題中常用矩陣對(duì)及其性質(zhì)[J].長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013，34(2)：121-126.

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Existence of the solution ofP*- type nonlinear complementarity problem

WANG Xiu-yu,LI Lin

(School of Basic Science, Changchun University of Technology, Changchun 130012， China)

Abstract：An alternative theorem is proposed by using Poincare-Bohl theorem to prove the existence of the solution of some nonlinear complementarity problems and obtain the sufficient conditions this kinds of problem.

Key words：complementarity problem; alternative theorem;P- type mapping;P*- type mapping.

中圖分類號(hào)：O 224

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1674-1374(2015)02-0121-04

DOI:10.15923/j.cnki.cn22-1382/t.2015.2.01

作者簡(jiǎn)介：王秀玉(1965-)，女，漢族，吉林長(zhǎng)春人，長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)教授,碩士，主要從事最優(yōu)化的理論與算法研究,E-mail:wangxiuyu.000@163.com.

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10071020)； 吉林省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(201215128,20101597)

收稿日期：2014-10-20