錢(qián)建華 (通州區(qū)興仁中學(xué) 江蘇南通 226371)

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巧用數(shù)形結(jié)合 提升教學(xué)智慧
——一道課標(biāo)習(xí)題的教學(xué)與思考

錢(qián)建華 (通州區(qū)興仁中學(xué) 江蘇南通 226371)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(下稱(chēng)《課標(biāo)》)指出：在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)發(fā)展學(xué)生的幾何直觀.而幾何直觀教學(xué)的關(guān)鍵點(diǎn)是能夠運(yùn)用形象的幾何圖形解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，這里就蘊(yùn)涵了一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想——數(shù)形結(jié)合.偉大的數(shù)學(xué)家華羅庚對(duì)數(shù)形結(jié)合在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的作用作了這樣的闡述：“數(shù)與形本是相倚依，焉能分作兩邊飛，數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非，切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)相聯(lián)系，切莫分離.”這段分析精辟地闡述了數(shù)與形之間的密切關(guān)系和相互作用.下面筆者以一道《課標(biāo)》習(xí)題的教學(xué)為例談?wù)剛€(gè)人的一點(diǎn)思考，以求拋磚引玉.

1 問(wèn)題再現(xiàn)

《課標(biāo)》課程內(nèi)容及實(shí)施建議中的實(shí)例第79例：利用幾何圖形研究代數(shù)問(wèn)題.

例1[1]對(duì)于給定的2個(gè)數(shù)x和y，求使得(x-b)2+(y-b)2達(dá)到最小的b，也就是說(shuō)要找到一個(gè)b0，使得對(duì)任意的b有

(x-b0)2+(y-b0)2≤(x-b)2+(y-b)2.

(此題作為前一天的作業(yè)布置給學(xué)生，要求學(xué)生思考并盡量完成.)

2 解法探究

2.1 代數(shù)方法

生1：我用了“列舉法”，先取x=2,y=3，得

(x-b)2+(y-b)2=(2-b)2+(3-b)2=

2b2-10b+13=

師：不錯(cuò)，課后認(rèn)真思考過(guò)！但有個(gè)問(wèn)題，僅取了3組數(shù)得到的結(jié)論能說(shuō)明其正確性嗎？是否有以特殊代替一般，以偏概全之嫌？

生：……

(x-b)2+(y-b)2=

(x-b0+b0-b)2+(y-b0+b0-b)2=

(x-b0)2+(y-b0)2+

2[(x-b0)+(y-b0)](b0-b)+

2(b0-b)2,

(x-b)2+(y-b)2=(x-b0)2+(y-b0)2+

2(b0-b)2，

而(b0-b)2≥0，于是

(x-b0)2+(y-b0)2≤(x-b)2+(y-b)2.

師：很好！能想到這一點(diǎn)說(shuō)明你數(shù)學(xué)基本功非常扎實(shí).但如何想到這一方法呢？

師：此方法是有它的特殊性，一般不容易入手，其他同學(xué)有更好的方法嗎？

2.2 數(shù)形結(jié)合

(見(jiàn)學(xué)生個(gè)個(gè)眉頭緊鎖)師生一起回憶關(guān)于兩點(diǎn)間的距離、平面直角坐標(biāo)系、直線的學(xué)習(xí)，教師引導(dǎo)學(xué)生走向數(shù)形結(jié)合(經(jīng)過(guò)思索、提示、討論后見(jiàn)學(xué)生思維還是沒(méi)跟上).

師：我們不妨先來(lái)解決例2.

例2 如圖1,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1，0)，點(diǎn)B在直線y=x上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AB最短時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為

( )

(2012年四川省廣元市數(shù)學(xué)中考試題)

生4：選B.

師：你能說(shuō)說(shuō)為什么嗎？

圖1 圖2

生4：如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AB′⊥OB，垂足為點(diǎn)B′，過(guò)點(diǎn)B′作B′C⊥x軸，垂足為C.由垂線段最短可知，當(dāng)B′與點(diǎn)B重合時(shí)，AB最短.因?yàn)辄c(diǎn)B在直線y=x上運(yùn)動(dòng)，所以△AOB′是等腰直角三角形，△B′CO也是等腰直角三角形.又因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1，0)，所以

師：非常好！同學(xué)們發(fā)現(xiàn)此題和例1之間的聯(lián)系了嗎？由此能想到解題思路嗎？

生5：如圖3，可以把給定的2個(gè)數(shù)看作數(shù)對(duì)，對(duì)應(yīng)于坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)，用A(x,y)表示.對(duì)于任意數(shù)b也可以看作數(shù)對(duì)(b,b)，用點(diǎn)B(b,b)表示.易知點(diǎn)B(b,b)是在經(jīng)過(guò)原點(diǎn)、與橫坐標(biāo)軸所交銳角為45°的直線上.這樣本題就變?yōu)椋涸谶@條直線上找一點(diǎn)，使得這一點(diǎn)到給定點(diǎn)A(x,y)的距離最短.根據(jù)“直線外一點(diǎn)與這條直線上各點(diǎn)的所有連線段中，垂線段最短”，這一點(diǎn)應(yīng)當(dāng)是點(diǎn)A(x,y)到直線的垂足，設(shè)其為B′(b0,b0),則

AB′2=(x-b0)2+(y-b0)2.

師：一點(diǎn)就通，跟老師想的完全一樣！生5受到例2的啟發(fā)，巧妙地將此代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了幾何問(wèn)題！實(shí)際上，利用直角坐標(biāo)系，不僅能夠推導(dǎo)出幾何圖形的代數(shù)表達(dá)式，還能夠利用幾何圖形來(lái)研究代數(shù)問(wèn)題，這充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要思想.

2.3 拓展延伸

2.3.1 從特殊到一般的延伸

師：如果將例1改成：對(duì)于給定的2個(gè)數(shù)x和y，求使得(x-b)2+(y-a)2達(dá)到最小的b.那又該如何解決呢？請(qǐng)同學(xué)們小組討論后交流.

圖3 圖4

生6：可設(shè)a=kb，題目即變成要求使得(x-b)2+(y-kb)2達(dá)到最小的b.如圖4，仍然利用直角坐標(biāo)系，可得

從而

第二，從形成審計(jì)結(jié)論所需要的審計(jì)證據(jù)來(lái)看，審計(jì)證據(jù)的來(lái)源不僅僅包括審計(jì)對(duì)象的財(cái)務(wù)信息，還包括審計(jì)人員通過(guò)審計(jì)程序獲取的非財(cái)務(wù)信息。另外，審計(jì)人員在審計(jì)過(guò)程中通過(guò)合理推斷得到的結(jié)論以及審計(jì)人員從供應(yīng)商、銷(xiāo)售商等方面獲得的外部資料和憑證也是審計(jì)證據(jù)的重要組成部分。

AB′2=(x-b0)2+(y-kb0)2.

師：太好了，能觸類(lèi)旁通！我們已經(jīng)能夠解決一般情況，熟悉利用數(shù)形結(jié)合解決這種最值問(wèn)題.其實(shí)這種最值問(wèn)題和統(tǒng)計(jì)與概率也緊密相連，我們來(lái)了解一下.

2.3.2 從“最值問(wèn)題”到“統(tǒng)計(jì)與概率”的延伸

3 教后思考

3.1 加強(qiáng)教學(xué)預(yù)設(shè)

筆者通過(guò)批閱學(xué)生作業(yè)發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)此問(wèn)題存在疑惑，有些學(xué)生甚至根本無(wú)從下手，于是筆者在教學(xué)時(shí)沒(méi)有急于直接向?qū)W生講解，而是先讓學(xué)生思考、討論，合作分析，發(fā)揮集體智慧，然后“反其道而行之”，再插入“引例”，為解決問(wèn)題鋪好道路，進(jìn)而引發(fā)了學(xué)生對(duì)于問(wèn)題的思考.正如預(yù)設(shè)那樣，有了“數(shù)形結(jié)合”，順利得到“智慧”的“生成”.蘇霍姆林斯基在講“如何獲取知識(shí)”時(shí)說(shuō)過(guò)：“在我看來(lái),教給學(xué)生能借助已有知識(shí)去獲取知識(shí),這是最高的教學(xué)技巧之所在.”課堂教學(xué)總是在“預(yù)設(shè)”與“生成”間交融進(jìn)行的，教師應(yīng)在了解學(xué)情的基礎(chǔ)上加強(qiáng)教學(xué)預(yù)設(shè)，對(duì)可能出現(xiàn)的問(wèn)題盡可能地預(yù)設(shè)解決措施，引導(dǎo)學(xué)生的思維逐步步入正軌.學(xué)生從接觸問(wèn)題到解決問(wèn)題有一個(gè)較長(zhǎng)的過(guò)程，這是由學(xué)生的認(rèn)知水平和問(wèn)題本身的難度所決定的.教師要明了其間的巨大落差，給學(xué)生充分的思考與討論時(shí)間，在原有認(rèn)知和現(xiàn)存問(wèn)題之間合理設(shè)置階梯，架設(shè)橋梁，幫助學(xué)生搭建解決問(wèn)題的“腳手架”，讓學(xué)生“跳一跳，就能摘到桃子”，在“最近發(fā)展區(qū)”不斷完善自己的認(rèn)知水平，提升思維品質(zhì)[2].

3.2 注重?cái)?shù)形結(jié)合

解決本題的關(guān)鍵就是“數(shù)形結(jié)合”，數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)就是代數(shù)問(wèn)題幾何化，也就是“以形解數(shù)”.在解題中，對(duì)于解決抽象的“數(shù)”的問(wèn)題，可充分挖掘其條件的幾何意義，進(jìn)而構(gòu)造數(shù)軸、平面直角坐標(biāo)系、三角形、四邊形、圓等幾何圖形并利用它們的有關(guān)性質(zhì)、定理，借助“形”的直觀進(jìn)行解題，不僅可使問(wèn)題獲得避繁就簡(jiǎn)、化難為易的新穎解法，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，同時(shí)對(duì)創(chuàng)造性思維的開(kāi)發(fā)與培養(yǎng)也很有益處.因此，在教學(xué)中要注意培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合意識(shí)，爭(zhēng)取做到胸中有圖、見(jiàn)數(shù)思圖，學(xué)會(huì)從“數(shù)”和“形”2個(gè)角度思考和解決問(wèn)題，這也是幫助學(xué)生建立幾何直觀的極為有效的途徑之一.數(shù)形結(jié)合不僅能培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間觀念及幾何直觀能力，而且能培養(yǎng)學(xué)生形象思維與抽象思維的交叉運(yùn)用，從而有助于培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力.

3.3 適當(dāng)拓展延伸

首先，在教學(xué)中，適當(dāng)?shù)貙?duì)問(wèn)題進(jìn)行拓展延伸、借題發(fā)揮，就是讓學(xué)生在已解決問(wèn)題的基礎(chǔ)上進(jìn)一步看清實(shí)質(zhì)，根據(jù)問(wèn)題中的條件與結(jié)論進(jìn)行再探究的過(guò)程，是一個(gè)思維提升的過(guò)程；其次，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就應(yīng)該理解其本質(zhì)、掌握其方法與規(guī)律，從而做到會(huì)一題通一類(lèi)；再次，對(duì)問(wèn)題的拓展延伸，能讓學(xué)生認(rèn)識(shí)問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，歸納出每一類(lèi)題的特征，這樣在獨(dú)立解題時(shí)才能得心應(yīng)手，真正提高數(shù)學(xué)能力.

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中巧妙地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些類(lèi)似于本例的抽象代數(shù)問(wèn)題，可以起到事半功倍的效果，適時(shí)、適當(dāng)?shù)貙?duì)問(wèn)題進(jìn)行拓展延伸有助于學(xué)生思維層次的提升.我們不僅要提升學(xué)生的學(xué)習(xí)智慧，而且要提升教師的教學(xué)智慧.

[1] 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社，2012:126-127.

[2] 錢(qián)建華.注重方法形成過(guò)程 促進(jìn)課堂智慧生成[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2014(11)：28-30.