費淑晶

一、 比較路線的長短

圖1是某游樂場示意圖，AF∥BC，EC⊥BC，BA∥DE，BD∥AE. 甲、乙兩人同時從B處勻速走到F處，甲路線是B→A→E→F；乙路線是B→D→C→F. 假設(shè)兩人速度相同，途中耽誤時間相同，那么誰先到達F處？請說明理由.

【分析】要判斷甲、乙兩人誰先到達F處，就是要計算二人所行走的路徑，即要比較兩條路徑的長短. 首先我們可以把本題的實際問題構(gòu)建成數(shù)學模型——比較兩條線段的長短的問題，其次，把線路用線段分別表示為BA+AE+EF和BD+DC+CF，最后，再比較BA+AE+EF和BD+DC+CF的大小關(guān)系.

解：甲、乙兩人同時到達. 理由如下：

延長ED交BC于點G，因為BA∥DE，AF∥BC，所以四邊形ABGD是平行四邊形，所以AB=DG. 因為BA∥DE，BD∥AE，所以四邊形ABDE是平行四邊形，所以BD=AE，AB=DE，所以DE=DG. 因為EC⊥BC，所以CD是Rt△ECG的中線，所以CD=DE. 因為AF∥BC，所以F是EC的中點，所以FC=EF，所以DE=DG=AB=CD.

故BA+AE+EF=BD+DC+CF，即B→A→E→F與B→D→C→F相等，因此，甲、乙兩人同時到達.

二、 設(shè)計方案

如圖2所示，某村有一個四邊形花壇，在它四個角A、B、C、D處均有一棵桃樹，該村準備擴建花壇，既想使花壇的面積擴大一倍，又想保留原來的四棵桃樹不動，使挖過的花壇更美觀，想挖成一個平行四邊形，請問能否實現(xiàn)？若能，請設(shè)計；若不能，請說明理由.

【分析】由于四棵桃樹分別在四邊形的頂點上，所以要想把花壇挖成一個平行四邊形，并且使花壇的面積擴大一倍，那么這四棵桃樹應(yīng)在平行四邊形的邊上，且每個邊上應(yīng)該都有一棵桃樹，所以我們可以經(jīng)過四個頂點分別作對角線的平行線，如圖3所示，就能夠解決此問題.

解：能夠?qū)崿F(xiàn). 理由如下：

連接AC、BD，二者相交于點H，再分別過點B、D、C、A作MN∥AC，PQ∥AC，MQ∥BD，NP∥BD，那么，四邊形ANBH、BMCH、CQDH、DPAH分別都是平行四邊形，所以，

S△ABH=S平行四邊形ANBH；

S△BCH=S平行四邊形BMCH；

S△CDH=S平行四邊形CQDH；

S△ADH=S平行四邊形APDH .

因為S四邊形ABCD=S△ABH+S△BCH+S△CDH+S△ADH=S平行四邊形ANBH+S平行四邊形BMCH+S平行四邊形CQDH+S平行四邊形APDH=（S平行四邊形ANBH+S平行四邊形BMCH+S平行四邊形CQDH+S平行四邊形APDH）=S平行四邊形MQPN .

因此，平行四邊形MQPN的面積比四邊形ABCD的面積擴大了一倍.

（作者單位：江蘇省連云港市贛榆區(qū)外國語學校）