張強(qiáng)勝

蘇科版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)（下）第69頁：

已知：如圖1，在?ABCD中，點(diǎn)E、F在AC上，且AE=CF.

求證：四邊形EBFD是平行四邊形.

【分析】

一問：已知條件有哪些？這些條件有什么作用？

（1）由“?ABCD”知AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，AO=OC，BO=OD等.

（2）由AE=CF，結(jié)合（1）所得可知OE=OF，△BOE≌△DOF等.

二問：求證什么？有哪些方法？

要證明四邊形EBFD是平行四邊形，有以下方法：

（1）證明四邊形EBFD兩組對(duì)邊分別平行；

（2）證明四邊形EBFD一組對(duì)邊平行且相等；

（3）證明四邊形EBFD兩組對(duì)邊分別相等；

（4）證明四邊形EBFD兩條對(duì)角線互相平分.

三問：結(jié)合已知和求證，我們選擇哪種方法？

證明：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OA=OC，OB=OD，

∵AE=CF，

∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF.

∴四邊形EBFD是平行四邊形.

四問：還有其他證明方法嗎？

平行四邊形的判定與性質(zhì)的作用：平行四邊形對(duì)邊相等，對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分及它的判定，是我們證明直線平行、線段相等、角相等的重要方法. 若要證明兩直線平行和兩線段相等、兩角相等，可考慮將要證的直線、線段、角分別置于一個(gè)四邊形的對(duì)邊或?qū)堑奈恢蒙?，通過證明四邊形是平行四邊形達(dá)到上述目的.

判定四邊形是平行四邊形，常用上述四種方法，根據(jù)題中的條件恰當(dāng)選擇判定方法，把題中的間接條件轉(zhuǎn)化為直接條件即可.

凡是可以用平行四邊形知識(shí)證明的問題，不需要再用三角形全等證明，應(yīng)直接運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和判定去解決問題.

五問：還能得出其他的結(jié)論嗎？

（1）BE=DF；

（2）BF=DE；

（3）BE∥DF；

（4）BF∥DE.

六問：條件可以換嗎？

（1）“AE=CF”換為“AF=CE”；（可以）

（2）“AE=CF”換為“BE∥DF”；（可以）

（3）“AE=CF”換為“BE=DF”；（不可以）

（4）“AE=CF ”換為“BF⊥AC，DE⊥AC”；（可以）

（5）“點(diǎn)E、F在AC上，且AE=CF”換為“∠ABC和∠ADC的角平分線分別交AC于E、F”；（可以）

（6）“點(diǎn)E、F在AC上”換為“點(diǎn)E在CA延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在AC延長(zhǎng)線上”，如圖2所示. （可以）

七問：題目改為“已知：如圖3，在?ABCD中，點(diǎn)E、F在AC上，且AE=CF，點(diǎn)G、H在BD上，且BG=DH.

求證：四邊形EGFH是平行四邊形.

證明：在?ABCD中，OA=OC，OB=OD，

又∵AE=CF，∴OA-AE=OC-CF.

即OE=OF.

又∵BG=DH，∴OB-BG=OD-DH.

即OG=OH.

∴四邊形EGFH為平行四邊形.

八問：對(duì)于上一題，你可以提出更多的問題嗎？

【總結(jié)】做一道數(shù)學(xué)題，多一些“問”，會(huì)讓我們更深刻地理解數(shù)學(xué)問題，提高解題能力，舉一反三.

（作者單位：江蘇省連云港市贛榆區(qū)外國(guó)語學(xué)校）