第五河清

在一次高三練考中，一道試題引起大家的討論，試題是這樣的：對(duì)某籃球運(yùn)動(dòng)員在100場(chǎng)比賽中的得分情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得分統(tǒng)計(jì)表如下：

在所進(jìn)行的100場(chǎng)比賽中，按表格中各分值區(qū)間的場(chǎng)數(shù)分布采用分層抽樣法取出10場(chǎng)比賽，再?gòu)倪@10場(chǎng)比賽中隨機(jī)選出2場(chǎng)作進(jìn)一步分析，記這2場(chǎng)比賽中得分不低于30分的場(chǎng)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望。

考試中出現(xiàn)了兩種不同的解法：

解法一：按照分層抽樣法，在[0，10），[10，20），[20，30），[30，40）內(nèi)抽出的比賽場(chǎng)數(shù)分別為1，2，3，4，的取值為0，1，2，按超幾何分布建立的分布列，

求得E=0·+1·+2·=

解法二：的取值為0，1，2，按照二項(xiàng)分布的分布列，求得E=0·+1·+2·=

分布列不一樣，為什么期望卻一致？是巧合還是必然？我們嘗試改變數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)。

改變1：將隨機(jī)選出2場(chǎng)改為隨機(jī)選出3場(chǎng)，所得期望分別如下：

二項(xiàng)分布：=np=3×=，超幾何分布：

改變2：將隨機(jī)選出2場(chǎng)改為隨機(jī)選出4場(chǎng)，所得期望分別如下：

二項(xiàng)分布：E=，超幾何分布：E=

結(jié)果是期望依然相等，而且，隨著數(shù)據(jù)的增大，兩種不同分布列對(duì)應(yīng)概率之間的差距逐漸縮小，我們做出這樣的猜想：樣本個(gè)數(shù)越大二項(xiàng)分布和超幾何分布的對(duì)應(yīng)概率之間的差距越小，當(dāng)樣本個(gè)數(shù)無(wú)窮大時(shí)，二項(xiàng)分布和超幾何分布的對(duì)應(yīng)概率相等，換言之，超幾何分布的極限就是二項(xiàng)分布，即=Cnkpk（1-p）n-k。參考有關(guān)資料，證明我們的直觀思想正確，當(dāng)產(chǎn)品總數(shù)很大而抽出的產(chǎn)品較少時(shí)，每次抽出產(chǎn)品后，次品率近似不變。這樣就可以近似看成每次抽樣的結(jié)果是相互獨(dú)立的，抽出產(chǎn)品中的次品件數(shù)近似服從二項(xiàng)分布，人們?cè)趯?shí)際工作中常利用這一點(diǎn)，把抽取對(duì)象數(shù)量較大時(shí)的無(wú)放回抽樣（例如破壞性試驗(yàn)發(fā)射炮彈，產(chǎn)品的壽命試驗(yàn)等），當(dāng)作有放回來(lái)處理。

編輯 謝尾合