杜建祥,宗肖穎

(北京空間機電研究所,北京 100190)

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軸對稱二次非球面鏡面幾何參數(shù)的算法

杜建祥,宗肖穎

(北京空間機電研究所,北京 100190)

在現(xiàn)代的空間光學(xué)遙感器中，越來越多地使用二次非球面光學(xué)元件代替以往的球面光學(xué)元件，消除球面鏡不能消除的像差。二次非球面的幾何參數(shù)包括其頂點曲率半徑和非球面系數(shù)，它們對相機的性能有著重要的影響。三座標(biāo)儀的使用使得二次非球面幾何參數(shù)的測量變得方便快捷。在三坐標(biāo)測量數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，給出了一種新型的二次非球面幾何參數(shù)計算方法，通過采集座標(biāo)點、尋找旋轉(zhuǎn)軸、計算法線像差等步驟求解出頂點曲率半徑和非球面系數(shù)。通過仿真分析和實驗驗證，頂點曲率半徑的計算精度可達0.01%，非球面系數(shù)的精度可達0.0002。

光學(xué)測試；幾何參數(shù)；非球面系數(shù)；頂點曲率半徑；二次曲面

引言

隨著現(xiàn)代光學(xué)遙感器的發(fā)展，大口徑、長焦距、高像質(zhì)成為了發(fā)展趨勢，這使得光學(xué)元件的光學(xué)面從原來的球面向二次非球面轉(zhuǎn)變。使用二次非球面的光學(xué)元件表面能夠有效地防止軸外像差的產(chǎn)生，對提高光學(xué)鏡頭的像質(zhì)有著重要的作用?，F(xiàn)在二次非球面的加工技術(shù)已經(jīng)非常成熟，其使用已經(jīng)非常廣泛。二次非球面的幾何參數(shù)檢測主要包括頂點曲率半徑的檢測和二次非球面系數(shù)的檢測，幾何參數(shù)對光學(xué)鏡頭的焦距、像質(zhì)有著重要的影響。現(xiàn)在國內(nèi)對此最常用的方法是無像差法，就是在無像差法面形測試光路中使用標(biāo)準(zhǔn)的量桿加刀口的方法實現(xiàn)二次非球面2個焦點距離及長軸或者短軸的測試，這種方法有較高的精度，但是對操作人員的要求較高，對刀口的定位、對量桿操作的把握會引起測量誤差，如果測試環(huán)境有較大的氣流，會影響無像差法面形測試光路的調(diào)整，這也會帶來測試誤差。使用三坐標(biāo)測量儀測試二次非球面鏡面的點座標(biāo)，根據(jù)這些座標(biāo)計算其頂點曲率半徑和非球面系數(shù)，這樣在實現(xiàn)穩(wěn)定的高精度測試的同時，對人員要求及操作環(huán)境的要求也降低了，提高了測試效率。本文介紹了基于三座標(biāo)測試數(shù)據(jù)的計算頂點曲率半徑和非球面系數(shù)的算法。包括采集座標(biāo)點、擬合曲面、尋找旋轉(zhuǎn)軸、求解頂點曲率半徑和非球面系數(shù)e2的步驟。根據(jù)仿真和實驗數(shù)據(jù)，本算法能夠滿足多數(shù)情況下的測試精度要求。

1 算法介紹

1.1 最小二乘曲面擬合

根據(jù)三坐標(biāo)測量儀得到的坐標(biāo)數(shù)據(jù)，適用最小二乘曲面擬合算法計算出二次非球面一般方程的系數(shù)，二次非球面的一般三維曲面方程為

F(x,y,z)=x2+a2y2+a3z2+a4xy+

a5xz+a6yz+a7x+a8y+a9z+a10=0

(1)

由此可得到誤差函數(shù)：

(2)

為了使得E達到最小，它應(yīng)滿足下列極值的必要條件：

(3)

由這個必要條件得到了關(guān)于aj(j=2,3,4,5,6,7,8,9,10)的一組包含9個方程的線性方程組，由此就能解出各個aj的值。

1.2 頂點曲率半徑和二次非球面系數(shù)的計算

在二維情形中，關(guān)于二次曲線有一個重要的性質(zhì)[1]：

圖1 二次曲線示意圖Fig.1 Conic curve

圖1中，P(x,y)是二次曲線上的任意一點，C為P點法線和x軸的交點，C0是曲線頂點的曲率中心，R0為曲線的頂點曲率半徑，φ為P點法線和x軸的夾角,有：

(4)

再回到三維情形中，圖1中的x軸就是二次曲面的頂點法線，也是曲面的旋轉(zhuǎn)對稱軸。φ就是二次曲面上一點P(x,y,z)的法線和其旋轉(zhuǎn)對稱軸的夾角，由(4)式可知，只要知道二次曲面上任意2個點的φ值，就能夠求出R0和e2。由此可進行以下步驟：

1) 獲得曲面F(x,y,z)的旋轉(zhuǎn)對稱軸

在曲面F(x,y,z)的包含其頂點的有限區(qū)間里任意取一點P0(x0,y0,z0)，其法向量為

(5)

此法向量的直線方程為

(6)

在曲面上取一點P1(x1,y1,z1)，可求得P1關(guān)于P0點法線的對稱點P2(x2,y2,z2)。

假設(shè)：

(7)

則有：

x2=2(x0+nαt)-x1

y2=2(y0+nβt)-y1

z2=2(z0+nγt)-z1

(8)

再將P2(x2,y2,z2)帶入曲面方程F(x,y,z)=0，可得到

ε=|F(x2,y2,z2)|>0

(9)

可設(shè)定一個允許的ε值，如果|F(x2,y2,z2)|小于這個允許值，就可以認(rèn)為P2(x2,y2,z2)在曲面上，此時應(yīng)該再選擇一點P3(x3,y3,z3)，過P1點做P0點法線的垂線L1，過P3點做P0點法線的垂線L2，L1和L2垂直，因為此時的ε值對是否旋轉(zhuǎn)對稱最為敏感，同理求得P3的關(guān)于P0點法線的對稱點P4，得到|F(x4,y4,z4)|，如果|F(x2,y2,z2)|和|F(x4,y4,z4)|有一個大于最大允許的ε值，那就繼續(xù)計算下一個P0點。如果|F(x2,y2,z2)|和|F(x4,y4,z4)|同時小于最大允許的ε值，那么P0就為此曲面的頂點，其法線就是曲面的頂點法線，也是曲面的旋轉(zhuǎn)軸。

2) 計算頂點曲率半徑和二次非球面系數(shù)e2

確定了曲面頂點P0(x0,y0,z0)和頂點法線n=(nα,nβ,nγ)后，在曲面上再取兩點A(xa,ya,za)和B(xb,yb,zb)，可得到A、B兩點的法線向量分別為

(10)

得到na、nb和n的夾角正切值為

(11)

(12)

計算A、B兩點在P0法線上的垂足，設(shè)

(13)

則兩垂足分別為

(14)

得到A、B兩點關(guān)于P0的軸向和徑向距離分別為

軸向：

(15)

徑向：

(16)

最后可得此二次曲面的頂點曲率半徑e2和R0分別為

(17)

(18)

2 算法仿真結(jié)果

旋轉(zhuǎn)對稱二次非球面無平移和傾斜量時的三維方程為

x2+y2=2R0z-(1-e2)z2

(19)

將其延x和y方向分別平移3 mm和2 mm，并且繞x軸旋轉(zhuǎn)0.1°，參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 二次非球面參數(shù)設(shè)置

用matlab進行采樣取點，采樣數(shù)為1 600個。使用第2節(jié)中的算法進行計算，得到結(jié)果如表2所示。

表2 通過采樣點計算得到的二次非球面參數(shù)

Table 2 Conic aspheric surface parameters calculated with sample points

參數(shù)計算值頂點曲率半徑R0/mm1000．199999e20．499996x向平移量/mm3y向平移量/mm2

計算得到的參數(shù)值和實際值相差很小，在使用過程中已經(jīng)完全可以忽略，驗證了此算法的可行性。

3 實驗驗證

使用本算法對下列5塊凹非球面鏡S1-S5進行驗證測試。其參數(shù)如表3所示。

表3 被測凹二次非球面鏡參數(shù)

Table 3 Parameters of concave conic aspheric surface under test

參數(shù)S1S2S3S4S5R0/mm1385．2685．71132．5423．3850．0e20．968750．524790．984271．634590．99998

首先使用三座標(biāo)儀進行這些鏡面進行采點，采點范圍為口徑100 mm的鏡面點，采點數(shù)500個。根據(jù)這些座標(biāo)點，通過本算法計算得到非球面頂點曲率半徑R0和非球面系數(shù)e2分別如表4所示。

表4 通過本算法計算得到的被測凹二次非球面鏡參數(shù)

Table 4 Parameters of concave conic aspheric surface calculated with our algorithm

參數(shù)S1S2S3S4S5R0/mm11385．10685．731132．45423．32850．0321385．13685．751132．47423．31850．0231385．15685．711132．51423．31850．02e210．968960．524940．984451．634451．0000820．968930．524910．984401．634490．9999030．968950．524850．984351．634401．00005

表5 凹二次非球面鏡參數(shù)測試誤差

Table 5 Test errors of parameters of concave conic aspheric surface

參數(shù)S1S2S3S4S5ΔR0/mm1-0．10．03-0．050．020．032-0．070．05-0．030．010．023-0．050．010．010．010．02Δe210．000210．000150．00018-0．000140．0001020．000180．000120．00013-0．00010-0．0000830．000200．000060．00008-0．000190．00005

從表5中可看出頂點曲率半徑R0和二次曲面系數(shù)e2的測試精度已經(jīng)很高，測試誤差主要包含了三座標(biāo)儀測試誤差和本算法中的一些近似處理帶來的誤差。二次曲面系數(shù)e2對鏡面點座標(biāo)的測試誤差比較敏感，需要多次測量才能夠達到比較好的重復(fù)性。綜合來說，頂點曲率半徑R0測試精度可達到0.01%，非球面系數(shù)測試精度可達到0.000 2。

4 結(jié)論

為了提高二次非球面幾何參數(shù)的測試效率，本文提出了基于三座標(biāo)測試數(shù)據(jù)的幾何參數(shù)計算算法，并詳細(xì)給出了算法實現(xiàn)過程，再通過仿真及實測數(shù)據(jù)，表明了算法的可行性。實驗數(shù)據(jù)表明，頂點曲率半徑測試精度為0.01%，非球面系數(shù)測試精度為0.000 2，該測試精度已經(jīng)能夠滿足使用要求。

[1] Pan Junhua. The design,manufacture and test of the aspherical optical surfaces[M]. Suzhou:Suzhou University Press,2004:5-6. 潘君驊.光學(xué)非球面的設(shè)計、加工與檢驗[M].蘇州：蘇州大學(xué)出版社，2004:5-6.

[2] Sha Dingguo, Quan Shuxue, Zhu Qiudong, et al. An optical asphericity definition and its accurate calculation[J].Acta Photonica Sinica, 1995, 24(1):91-95. 沙定國，全書學(xué)，朱秋東，等.光學(xué)非球面度的定義及其準(zhǔn)確計算[J].光子學(xué)報，1995，24(1):91-95.

[3] Liu Huilan,Sha Dingguo,Hao Qun,et al. A method of high order asphericity definition[J].Opto-Electronic Engineering, 2004, 31(6):44-47. 劉惠蘭，沙定國，郝群，等.一種高次光學(xué)非球面度的計算方法[J].光電工程，2004，31(6):44-47.

[4] Mathematics Department of Tongji Univercity. Higher mathematics[M]. Beijing: Higher Education Press,2004:95-125. 同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2004:95-125.

[5] Shi Wanming, Yang Huafei, Wu Yushu, et al. Numerical analysis[M]. Beijing: Beijing Institute of Technology Press,2002:30-65. 史萬明，楊驊飛，吳裕樹, 等.數(shù)值分析[M].北京：北京理工大學(xué)出版社，2002:30-65.

[6] Chen Qinfang,Xu Changjie. Coaxial measurement of axisymmetric aspheric lens[J].Journal of Applied Optics,2008,29,(6):870-873. 陳欽芳,徐昌杰.軸對稱非球面透鏡光軸共軸度的測量研究[J]. 應(yīng)用光學(xué)，2008,29(6):870-873.

[7] Wang Shengyun,Zheng Xue,Zhang Mei. Testing technology for aspheric wavefront aberration[J]. Journal of Applied Optics, 2006,27(sup.): 65-67. 王生云,鄭雪,張玫.非球面波像差的檢測技術(shù)[J]. 應(yīng)用光學(xué), 2006,27(增刊): 65-67.

[8] Wang Hongjun,Tian Ailing,Du Yujun. Determination of aspheric reference sphere by tri-point method[J]. Journal of Applied Optics,2004,25(4):63-65. 王紅軍,田愛玲,杜玉軍. 非球面最適球面的確定方法——三點法[J]. 應(yīng)用光學(xué),2004, 25(4):63-65.

[9] Duan Cunli,Tian Ailing,Chen Zhichao. Simulation calculation of measuring optical aspheric surface based on light pattern projection[J]. Journal of Applied Optics, 2004,25(5): 62-66. 段存麗,田愛玲,陳志超.光學(xué)非球面器件檢測新方法探究[J].應(yīng)用光學(xué), 2004,25(5): 62-66.

[10]Yang Pengli. Elimination method of adjustment error in measurement of aspheric optical elements[J]. Journal of Applied Optics, 2006,27(sup.):58-60. 楊朋利. 非球面光學(xué)零件測量中調(diào)整誤差消除方法[J]. 應(yīng)用光學(xué),2006,27(增刊):58-60.

Algorithm for calculating geometric parameter of axial symmetry conic surface

Du Jianxiang，Zong Xiaoying

(Beijing Institute of Space Mechanics & Electricity,Beijing 100190,China)

Modern space telescopes use conic surfaces rather than sphere surfaces in optical systems to avoid the unnecessary aberration brought by sphere surfaces. Geometric parameters of conic surfaces include the vertex radius and aspheric coefficient (e2), they are significant to the performance of the telescopes. As the coordinate measuring machine (CMM) is widely used, the measurement for the geometric parameters of conic surface is much more convenient. We introduced a new algorithm for calculating vertex radius ande2based on the data measured by the CMM through a few steps: measuring the coordinates, finding the axis and calculating the normal aberration theory. According to the simulation and experiment, the error of vertex radius is less than 0.01%, the error ofe2is less than 0.0002,which can meet the demands for most measurements.

optical test; geometric parameters; aspheric coefficient; vertex radius; conic surface

1002-2082(2015)06-0900-05

2015-05-12；

2015-09-17

杜建祥(1984-)，男，浙江嵊州人，碩士，工程師，主要從事光學(xué)裝調(diào)測試工作。E-mail：13911017584@163.com

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A

10.5768/JAO201536.0602004