董亞瑩，屈改珠，2

(1 西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西 西安710127；2 渭南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 渭南 714000)

Hamilton-Jacobi方程的條件Lie-B?cklund對(duì)稱和不變子空間

董亞瑩1，屈改珠1，2

(1 西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西 西安710127；2 渭南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 渭南 714000)

利用不變子空間方法和條件Lie-B?cklund對(duì)稱研究Hamilton-Jacobi方程。得到方程允許的不變子空間等價(jià)于方程的高階條件Lie-B?cklund對(duì)稱。最后給出一些例子構(gòu)造出Hamilton-Jacobi方程的廣義泛函分離變量解。

Hamilton-Jacobi方程；不變子空間；條件Lie-B?cklund對(duì)稱；廣義泛函分離變量解

文獻(xiàn)[1-2]引入了條件Lie-B?cklund對(duì)稱方法。條件Lie-B?cklund對(duì)稱方法是對(duì)非古典對(duì)稱方法的推廣。計(jì)算條件Lie-B?cklund對(duì)稱的過程和計(jì)算非古典對(duì)稱的過程類似,關(guān)鍵是先給定條件Lie-B?cklund對(duì)稱的形式。條件Lie-B?cklund對(duì)稱方法是對(duì)非線性擴(kuò)散方程進(jìn)行對(duì)稱約化的有效方法之一[3-5],并且還能解釋分離變量[6-7]和不變子空間[8]。

本文考慮Hamilton-Jacobi方程

(1)

的條件Lie-B?cklund對(duì)稱和不變子空間及其廣義泛函分離變量解。該方程可以用于描述非線性擴(kuò)散方程的長時(shí)行為[9-11]。

1 預(yù)備知識(shí)

下面給出條件Lie-B?cklund對(duì)稱的基本定義和命題。令

(2)

是具有特征η的演化向量場,且

ut=E(r,t,u,u1,…,un),t∈R+,r∈R

(3)

是一非線性演化方程,其中

定義1演化向量場(2)稱作方程(3)的Lie-B?cklund對(duì)稱當(dāng)且僅當(dāng)

V(ut-E)|L∩M=0,

其中L表示ut-E=0關(guān)于r、t的所有微分序列，M表示η=0關(guān)于r的所有微分序列。

命題1[1-2]方程(3)允許條件Lie-B?cklund對(duì)稱(2)的充分條件是存在W(t,r,u,η)使得

(4)

顯然,若

Dtη|L∩M=0,

(5)

則方程(3)允許具有特征η的條件Lie-B?cklund對(duì)稱。

下面介紹不變子空間方法[12]。一個(gè)有限維線性空間

Wl=L{f1(x),f2(x),…,fl(x)}=

如果線性子空間Wl在給定算子F作用下不變,那么方程(3)有廣義分離變量解

L[y]=y(l)+al-1(x)y(l-1)+…+a1(x)y′+a0(x)y=0

(6)

L[F[u]]|[H]=0,

(7)

其中[H]表示L[u]=0及其關(guān)于x的微分序列。由不變條件(7)知不變子空間與條件Lie-B?cklund對(duì)稱有關(guān)[4,7-8]。

定理1[12-13]如果方程(6)的解空間定義的l維子空間Wl在一個(gè)k階非線性微分算子F作用下不變,那么l≤2k+1。

現(xiàn)在考慮方程(1)的條件Lie-B?cklund對(duì)稱

η=[g(u)]lx+a1(x)[g(u)](l-1)x+…+al(x)g(u)。

(8)

若方程(1)允許條件Lie-B?cklund對(duì)稱(8),則

(9)

允許條件Lie-B?cklund對(duì)稱

σ=vlx+a1(x)v(l-1)x+…+al(x)v,

(10)

其中

A(v)=(f′(v))n,B(v)=D(f(v)),

C(v)=Q(f(v))/f′(v),

且u=f(v)是v=g(u)的反函數(shù)。

2 方程(9)的條件Lie-B?cklund 對(duì)稱和不變子空間

研究方程(1)的條件Lie-B?cklund對(duì)稱(8)等價(jià)于研究方程(9)的條件Lie-B?cklund對(duì)稱(10)。條件Lie-B?cklund對(duì)稱(10)定義的線性常微分方程σ=0的解空間即為方程允許的不變子空間Wl=L{f1(x),f2(x),…,fl(x)}。

當(dāng)l=2時(shí),由命題1知,方程(9)允許具有特征(10)的條件Lie-B?cklund對(duì)稱的充分條件是

C′a2v+a2C=0,

(11)

其中“′”表示對(duì)隱含變量的導(dǎo)數(shù),取上述關(guān)于vx的多項(xiàng)式系數(shù)為零可得方程(9)及其相應(yīng)的條件Lie-B?cklund對(duì)稱(10)中的未知函數(shù),它們滿足下面的決定方程組,即

由決定方程組(12)的第5個(gè)式子可得a2(x)=0,并且方程組(12)的第6個(gè)式子能得到B(v)=p1v+q1,其中p1、q1是任意實(shí)數(shù)。下面出現(xiàn)的c、d、ci、di、m、mi、pi和qi也是任意實(shí)數(shù)。因此,(12)式可以化簡為

解上面的常微分方程系統(tǒng)可得

(13)

表1 當(dāng)l=2方程(9)的條件Lie-B?cklund對(duì)稱(10)和不變子空間WlTab.1 Conditional Lie-B?cklund symmetries (10) and invariant subspaces Wl with l=2 of equation (9)

表2 當(dāng)l=2對(duì)某些n方程(9)的條件Lie-B?cklund對(duì)稱(10)和不變子空間WlTab.2 Conditional Lie-B?cklund symmetries (10) and invariant subspaces Wl with l=2 of equation (9) for some special n

表3 當(dāng)l=3方程(9)的條件Lie-B?cklund對(duì)稱(10)和不變子空間WlTab.3 Conditional Lie-B?cklund symmetries (10) and invariant subspaces Wl with l=3 of equation (9)

3 方程(1)的廣義泛函分離變量解

變換v=g(u)不僅將方程(9)允許的條件Lie-B?cklund對(duì)稱(10)變換為方程(1)允許的條件Lie-B?cklund對(duì)稱(8),還將方程定義在不變子空間Wl=L{f1(x),f2(x),…,fl(x)}上的廣義分離變量解v(x,t)=C1(t)f1(x)+C2(t)f2(x)+…+Cn(t)fn(x)變換為方程(1)的廣義泛函分離變量解g(u)=C1(t)f1(x)+C2(t)f2(x)+…+Cn(t)fn(x)。這兩個(gè)解中的未知函數(shù)Ci(t)滿足有限維動(dòng)力系統(tǒng),該動(dòng)力系統(tǒng)是將廣義分離變量解v(x,t)代入方程(9)后取fi(x)左右兩邊的系數(shù)相等而得。下面構(gòu)造幾個(gè)例子解釋這個(gè)過程。

例1方程

(14)

允許的二階條件Lie-B?cklund對(duì)稱是η=vxx。方程(14)建立在不變子空間W{x,1}上的廣義分離變量解是v(x,t)=α(t)x+β(t),其中α(t)和β(t)滿足下面的二維動(dòng)力系統(tǒng):

α′=c1αn+2+p1α2+c1α,

β′=cαn+1β+dαn+1+p1αβ+q1α+c1β+d1。

其中

α(t)和β(t)滿足上面的二維動(dòng)力系統(tǒng)。

例2方程

(15)

例3方程

(16)

允許的三階條件Lie-B?cklund對(duì)稱是η=vxxx+m5vxxx。該方程相應(yīng)的廣義分變量解是v(x,t)=α(t)+β(t)x+γ(t)exp(-m5x)，其中α(t)、β(t)和γ(t)滿足以下三維動(dòng)力系統(tǒng)

2m5c15βγ2exp(-2m5x)+

m5c16γ2exp(-2m5x)+c17α+

c17γexp(m5x)+d17,

β′=c15β3-2m5c15β2γexp(-m5x)+

m5c16βγexp(-m5x)+c17β,

γ′=-2m5c15αβγ+c15β2γ+c16βγ-c16m5αγ。

其中

例4方程

(17)

允許的三階條件Lie-B?cklund對(duì)稱是η=vxxx。方程(17)定義在不變子空間W{x2,x,1}上的廣義分離變量解是v(x,t)=α(t)+β(t)x+γ(t)x2,其中α(t)、β(t)和γ(t)滿足動(dòng)力系統(tǒng)

α′=m6β2+m7β+c18α+d18,

β′=4m6βγ+2mγγ+c18β,

γ′=4m6γ2+c18γ。

4 結(jié)論

本文用條件Lie-B?cklund對(duì)稱方法對(duì)Hamilton-Jacobi方程進(jìn)行了分類。研究方程非線性條件Lie-B?cklund對(duì)稱(8)等價(jià)于研究該方程由變換v=g(u)而得的新方程的線性條件Lie-B?cklund對(duì)稱(10)。由σ=0和相應(yīng)方程的相容性構(gòu)造了分類所得方程的廣義分離變量解。這些結(jié)果可以由變換v=g(u)轉(zhuǎn)化為非線性擴(kuò)散方程允許的非線性條件Lie-B?cklund對(duì)稱η及其廣義泛函分離變量解。這些解可用來刻畫方程的長時(shí)行為等性態(tài)。

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〔責(zé)任編輯 宋軼文〕

Invariant subspaces and conditional Lie-B?cklund symmetries of the Hamilton-Jacobi equation

DONG Yaying1, QU Gaizhu1,2

(1 School of Mathematics,Northwest University,Xi′an 710127, Shaanxi, China;2 College of Mathematics and Information Science,Weinan Normal University,Weinan 714000, Shaanxi, China)

Invariant subspace (IS) method and conditional Lie-B?cklund symmetry (CLBS) are used to study the Hamilton-Jacobi equation.It is proved that the equations admit a class of invariant subspaces,which is equivalent to a kind of higher-order conditional Lie-B?cklund symmetries of the equations. As a consequence, some examples are given and the generalized functional separable solutions to the Hamilton-Jacobi equation are constructed explicitly.

Hamilton-Jacobi equation; invariant subspace;conditional Lie-B?cklund symmetry; generalized functional separable solution

35K55;37K05

1672-4291(2015)04-0006-04

10.15983/j.cnki.jsnu.2015.04.142

2014-12-20

國家自然科學(xué)基金(11371293);陜西省教育廳基金(14JK1246)

董亞瑩,女,博士研究生,研究方向?yàn)槠⒎址匠?。E-mail: sxsbjsying@163.com

O175.14

A