王 梅，方 莉

(西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西 西安 710127)

可壓縮Navier-Stokes方程的球?qū)ΨQ經(jīng)典解

王 梅，方 莉

(西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西 西安 710127)

可壓縮Navier-Stokes方程反映著流體力學(xué)研究的前沿，為了對其Vaigant-Kazhikhov模型的解進(jìn)行深入研究，借鑒并推廣了相關(guān)文獻(xiàn)關(guān)于二維方程密度估計(jì)的方法到三維球?qū)ΨQ情形，證明了外區(qū)域中Cauchy問題的球?qū)ΨQ經(jīng)典解的適定性。 證得當(dāng)黏性系數(shù)λ(ρ)=ρβ時(shí)，β>14/5以及當(dāng)初始密度遠(yuǎn)離真空狀態(tài)時(shí)，解在有限時(shí)間段內(nèi)也不會(huì)出現(xiàn)真空狀態(tài)。

可壓縮Navier-Stokes方程; 三維球?qū)ΨQ; Cauchy問題; 全局適定性

三維球?qū)ΨQ等熵可壓Navier-Stokes方程

(1)

其中μ>0是常數(shù)，λ(ρ)=ρβ。給定初邊值條件：

u(a,t)=0。

Navier-Stokes方程是刻畫流體動(dòng)力學(xué)的一個(gè)基本模型,其解的一般性質(zhì)取決于其基本波的發(fā)展和相互作用，這些基本波包括激波、疏散波、擴(kuò)散波、渦面、孤立子和邊界層等。 有關(guān)可壓Navier-Stokes方程的理論研究是近代數(shù)學(xué)物理研究的熱門課題，吸引了許多學(xué)者從事這方面的研究[1-8]，至今有許多問題仍未解決。

黏性系數(shù)依賴于密度的可壓Navier-Stokes方程中的一維問題大部分已解決，這主要?dú)w功于拉格朗日坐標(biāo)將方程形式的簡化。然而,針對高維的Navier-Stokes方程，目前得到的結(jié)果卻很少。當(dāng)黏性系數(shù)依賴于密度時(shí)，要證明可壓縮Navier-Stokes方程解的存在性，主要困難在于密度趨于真空時(shí)，流體的速度無法定義。其證明的關(guān)鍵是要估計(jì)密度的下界。Vaigant-Kazhikhov模型在文獻(xiàn)[2]中被首次提出，該文證明了二維周期問題經(jīng)典解的適定性;文獻(xiàn)[3]建立了弱解的全局存在性以及解的大時(shí)間性態(tài); 近年來，文獻(xiàn)[4-6]研究了二維全空間中解的適定性問題。

不同于二維問題的計(jì)算，本文難點(diǎn)在于關(guān)于‖u‖∞的估計(jì)，本文充分利用球?qū)ΨQ解的無旋性以及H1嵌入到L∞研究了當(dāng)初值任意大并且在無窮遠(yuǎn)處非真空時(shí)外區(qū)域中解的適定性問題。

1 主要定理

定義勢能函數(shù)

區(qū)域Ω={r∈R|r≥a,a>0}。

0

其中q、c、C是正常數(shù)滿足q>2,00,方程(1)的Cauchy問題存在唯一的全局經(jīng)典解(ρ,u)(t,r)滿足0

C([0,T];W2,q(Ω)),

H2(Ω))∩L2(0,T;H3(Ω))。

(2)

在下文中定義f∈Lp(Ω)?∫Ωfpr2dr<+∞。

2 先驗(yàn)估計(jì)及主要結(jié)果的證明

定義有效黏性通量

渦度

2.1 基本能量估計(jì)

引理1假設(shè)(ρ0,u0)滿足初值條件，則存在常數(shù)C依賴于(ρ0,u0),使得

2.2 密度估計(jì)

給動(dòng)量方程(1)2作用div算子，則有

[div(ρu)]t+div[div(ρu?u)]=ΔF。

(3)

在區(qū)域Ω上，考慮下面3個(gè)橢圓方程:

(4)

(5)

-Δη=div[div(ρu?u)]。

(6)

這3個(gè)方程都具有邊界條件ξ1、ξ2、η→0(r→∞)。

特別地,

(7)

引理3區(qū)域Ω上成立下列估計(jì):

(1) ‖u‖2m≤C(‖u‖2+1),?m≥1;

(4) ‖ξ2‖2m≤C,?m≥3;

結(jié)合上面(3)—(6)以及邊界條件則有

ξ1t+ξ2t+η+F=0。

由有效黏性通量F的定義

ξ1t+ξ2t+(2μ+λ(ρ))divu-

結(jié)合質(zhì)量方程(1)1,

定義

因此，得到一個(gè)新的輸運(yùn)方程

(Λ(ρ)-ξ1-ξ2)t+u·(Λ(ρ)-ξ1-ξ2)+

(8)

引理4對任意的k≥2,β>1且r>a,有

(9)

證明給方程(8)乘以

ρ[Λ(ρ)-ξ1-ξ2)+]2m-1r2,其中m為任意大的正數(shù),(…)+定義了(…)的正部。得到

(10)

定義

經(jīng)過計(jì)算有,

將上面的不等式關(guān)于[0,t]積分,

(11)

(12)

經(jīng)過計(jì)算,

(13)

結(jié)合不等式(12),有

Cδ‖‖‖,

因此，引理4對任意的k≥2成立。

2.3 速度的一階導(dǎo)數(shù)估計(jì)

引理5對任意的β≥1，有

(14)

因此，得到

2.4 上下界估計(jì)

引理7存在常數(shù)C1和c1,使得

c1≤ρ(t,x)≤C1,?(t,x)∈[0,T]×Ω。

證明對任意p>2和q>1滿足

有

CΦT(‖u‖。

(15)

通過方程(4)和(5)中ξi的定義，有

u·(ξ1+ξ2)-η=[u,RiRj](ρu),

(16)

因此由方程(8)可以得到

[u,RiRj](ρu)=0,

(17)

其中物質(zhì)導(dǎo)數(shù)Dt∶=?t+u·。定義質(zhì)子軌道

因此,成立常微分方程

故

在[0,t]上積分上面的不等式,有

(18)

C[‖u‖BMO‖ρu‖4]12≤

并且由無旋性知，

因此，

(19)

又因?yàn)?/p>

‖ξ1+ξ2‖∞≤C(‖ξ1+ξ2‖2m+‖(ξ1+

(20)

將(19)和(20)式帶入方程(18),有

(21)

ρ(t,x)≥c1>0,?(t,x)∈[0,T]×Ω。

3 主要結(jié)果的證明

在定理1的假設(shè)下, 經(jīng)典解的局部存在性可以類似文獻(xiàn)[7-8]的證明。對于可壓縮Navier-Stokes方程這樣一個(gè)橢圓-拋物耦合系統(tǒng), 可用標(biāo)準(zhǔn)的延拓準(zhǔn)則[4-5]通過第二部分中得到的密度上下界估計(jì), 高階的先驗(yàn)估計(jì)將局部解延拓到全局解, 從而得到定理1的證明。

[1] Jiu Q S,Wang Y,Xin Z P.Global classical solutions to the two-dimensional compressible Navier-Stokes equations in R2[EB/OL].http://arxiv.org/abs/1209.0157.

[2] Vaigant V A, Kazhikhov A V.On the existence of global solutions of two-dimensional Navier-Stokes equations of a compressible viscous fluid[J].Siberian Mathematical Journal, 1995,36(6):1108-1141.

[3] Perepelitsa M.On the global existence of weak solutions for the Navier-Stokes equations of a compressible fluid flows[J].SIAM Journal on Mathematical Analysis,2006,38(4):1126-1153.

[4] Jiu Q S, Wang Y,Xin Z P.Global well-posedness of 2D compressible Navier-Stokes equations with large data and vacuum[EB/OL].http://arxiv.org/abs/1202.1382.

[5] Jiu Q S, Wang Y, Xin Z P.Global well-posedness of the Cauchy problem of 2D compressible Navier-Stokes equations in weighted spaces[EB/OL].http://arxiv.org/abs/1207.5874.

[6] Jiu Q S,Wang Y,Xin Z P.Global classical solutions to the two-dimensional compressible Navier-Stokes equations in R2[EB/OL].http://arxiv.org/abs/1209.0157.

[7] Luo Z.Local existence of classical solutions to the two-dimensional viscous compressible flows with vacuum[J].Communications in Mathematical Sciences, 2012, 10(2): 527-554.

[8] Solonnikov V A.On the solvability of the initial-boundary value problem for the equations motion of a viscous compressible fluid[J].Zapiski Nauchnykh Seminarov LOMI,1976,56:128-142.

〔責(zé)任編輯 宋軼文〕

The classical solutions to the spherically symmetric compressible Navier-Stokes equations

WANG Mei, FANG Li

(School of Mathematics, Northwest University, Xi′an 710127, Shaanxi, China)

The compressible Navier-Stokes equations has an important position in the progress of fluid mechanics.In order to research the Vaigant-Kazhikhow model,the methods of related articles in 2D are referenced and the results of the 3D spherically symmetric situation are obtained.It is proved that the global well-posedness of the classical solution to the Cauchy problem of spherically symmetric compressible Navier-Stokes equations in an exterior domain.When the bulk viscosityλ(ρ)=ρβ，β>14/5,it is shown that the solution will not develop the vacuum states in any finite time provided the initial density is uniformly away from vacuum.

compressible Navier-Stokes equations; 3D spherically symmetric; Cauchy problem; global well-posedness

35Q30

1672-4291(2015)04-0001-05

10.15983/j.cnki.jsnu.2015.04.141

2014-12-14

陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計(jì)劃(2012JQ1020)

王梅，女，博士研究生，主要研究方向?yàn)榱黧w力學(xué)中的偏微分方程理論。E-mail:wangmei0439@163.com

O175

A