劉 佳，柳成林，王艷杰

(交通運輸部水運科學研究院，北京100088)

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兩船距離與轉(zhuǎn)向避讓難度關(guān)系量化研究

劉 佳，柳成林，王艷杰

(交通運輸部水運科學研究院，北京100088)

轉(zhuǎn)向避讓是航海上最為常用也最有效的解除碰撞危險方法，但轉(zhuǎn)向避讓行動的幅度和難度會受到避讓行動采取時機的極大影響。從船舶運動的數(shù)學模型出發(fā)，提出了轉(zhuǎn)向難度、最小轉(zhuǎn)向角度等概念并建立了相應的數(shù)學模型，并進一步推理出本船施舵時兩船距離與最小轉(zhuǎn)向角和轉(zhuǎn)向難度的關(guān)系，定量解釋了隨著兩船間距離的不斷減小，轉(zhuǎn)向難度急劇增大、最小轉(zhuǎn)向角急劇增大的原因，并通過著名學者S.Lenart的實例進行計算驗證。

交通運輸工程；兩船距離；轉(zhuǎn)向避讓難度；最小轉(zhuǎn)向角

航海上避免船舶碰撞通常采用轉(zhuǎn)向避讓、變速避讓及二者相結(jié)合的方法，考慮到船舶主機性能及換車響應時間對船舶避碰的影響，在開闊水域，單憑轉(zhuǎn)向往往是避免碰撞最為常用也最為有效的方式[1]。兩船的會遇是一個從遠到近、從沒有碰撞危險到危險逐漸增加的過程，當判定兩船存在碰撞危險且本船為《1972年國際海上避碰規(guī)則》中指明的讓路船時，本船負有采取避碰行動以“使它船安全通過”的責任，且明確指出該避碰行動應是“及早的”，但并未對“及早”的原因給出一個定量的解釋[2]。在參考著名學者S.Lenart最近會遇距離一定情況下，船舶航向和速度相互關(guān)系算法的基礎(chǔ)上引入轉(zhuǎn)向難度和最小轉(zhuǎn)向角的概念，并推理出最終的計算結(jié)果，該計算結(jié)果對提高對碰撞危險的理解和轉(zhuǎn)向避讓措施的采取有一定的指導作用。

1 建模假設(shè)和定義

研究和推理過程中，本船和目標船均被假設(shè)為一個理想化的質(zhì)點，本船僅采取轉(zhuǎn)向避讓且無時間延時，該轉(zhuǎn)向避讓行動對船舶速度無任何影響。

最小轉(zhuǎn)向角Δφ：當目標船與本船形成碰撞危險后，本船通過轉(zhuǎn)向能使與目標船在安全的距離上駛過的最小轉(zhuǎn)向角度[3]。

不可轉(zhuǎn)向角度θ：采取轉(zhuǎn)向避讓行動時，本船航向所不能轉(zhuǎn)到的航向值的累積。不可轉(zhuǎn)向角度越大，船舶可航行的航向越少；相反，則越大。

轉(zhuǎn)向難度f(d)：反映了本船可以采取轉(zhuǎn)向避碰行為的難易程度，與采取行動時兩船的距離有關(guān)，其值為不可轉(zhuǎn)向角度與圓周360°的比值。其值越大，說明阻擋角度越大，轉(zhuǎn)向越困難；相反，轉(zhuǎn)向越容易。

2 建模與方程推理

2.1 安全避讓措施計算

以本船中心為坐標原點，以正北方向為y軸，以正東方向為x軸建立平面直角坐標系[4-6]。本船速度為Vo，航向為φ，目標船速度為Vt，目標船相對速度為Vr，它們之間存在式(1)、式(2)所示關(guān)系：

Vo+Vr=Vt

(1)

(2)

式中：Vox，Voy分別為本船速度矢量在x軸和y軸方向上的分量；Vtx，Vty分別為目標船的速度矢量在x軸和y軸方向的分量；Vrx，Vry分別為相對速度矢量在x軸和y軸的速度分量。

假設(shè)(X,Y)為目標船在坐標系上的位置坐標，(X0，Y0)為目標船的初始位置，有式(3)所示關(guān)系：

(3)

假設(shè)D(t)為本船和目標船之間的距離，則有

(4)

對D(t)求導，運算可得

(5)

Dmin即為本船與目標船的最近會遇距離(DCPA或CPA)，為了保證本船和目標船能夠在安全的距離Ds上駛過，需使得Dmin≥Ds。

對式(4)進行平方

Dmin2(Vrx+Vry)2=(XVry-YVrx)2

(6)

整理得

Vrx=AVry

(7)

其中

(8)

由式(1)、式(2)、式(7)可得，

整理得：

Voy=AVox-B

(9)

B=AVtx-Vty

(10)

將速度關(guān)系轉(zhuǎn)化為距離關(guān)系，式(10)兩邊同乘以一個時間單位Δt：

y=Ax-BΔt

(11)

影響碰撞危險的兩個重要因素是最小會遇距離DCPA和會遇時間TCPA。TCPA<0時，本船和目標船漸行漸遠，沒有碰撞危險；只有DCPA0的情況才會存在碰撞危險。

如圖1，式(11)所對應的直線為兩船DCPA=Ds時，本船航向與航速之間的關(guān)系，兩直線交點的左側(cè)為TCPA<0時的情況，對本船航行安全無影響，是可以接受的安全范圍；交點右側(cè)為TCPA>0的情況，陰影部分區(qū)域為本船不能保證目標船以安全距離駛過的區(qū)域，只要本船的速度矢量的終端不落在該陰影區(qū)域，則可以保證兩船以大于Ds的最小會遇距離相互駛過。

圖1 θ與Δφ示意

2.2 轉(zhuǎn)向難度計算

本船采取轉(zhuǎn)向避讓行動，可駛的速度矢量的末端為以本船中心為原點，以VoΔt為半徑的一個圓，該圓與上述直線所圍成的陰影部分相交，相交弧長部分為本船速度矢量所不能駛向的航向，即前面所定義的不可轉(zhuǎn)向角度θ。對圖1進行分析，圓的方程為：

x2+y2=(VoΔt)2

(12)

聯(lián)立方程(11)、方程(12)，解得：

(13)

式(8)中A存在兩個值，故B也存在對應的兩個值，式(13)會有4個解，為(xi,yi) (i=1,2,3,4)，分別為式(11)所對應的兩條直線與方程(12)所對應的圓的4個交點，其中兩個交點在TCPA<0所在的區(qū)間內(nèi)，對航行安全無影響，另外兩個交點在TCPA>0的區(qū)間范圍內(nèi)，其兩點間的圓弧正是文中所述的不可轉(zhuǎn)向角度所對應的范圍，依據(jù)弧長的計算公式(14)：

(14)

對應圓弧角度為：

(15)

θ即為本船的不可轉(zhuǎn)向角度，本船航向可轉(zhuǎn)向的角度范圍為360～θ；根據(jù)定義，本船的轉(zhuǎn)向難度由式(16)得出：

(16)

f(d)越大，表示本船的可轉(zhuǎn)向范圍越小，轉(zhuǎn)向難度越大；f(d)越小，表示本船的可轉(zhuǎn)向范圍越大，轉(zhuǎn)向難度越小。

2.3 最小轉(zhuǎn)向角度計算

依據(jù)式(13)，求取在TCPA>0一側(cè)的兩個坐標值(x1,y1)和(x3,y3),依據(jù)避碰規(guī)則，兩船互見中，不論是對遇局面還是交叉相遇局面，本船作為讓路船都應該按照規(guī)則要求向右轉(zhuǎn)向，則本船速度矢量終點右側(cè)的那個坐標即為本船向右轉(zhuǎn)向所應轉(zhuǎn)到的位置點，其角度為新航向值，故最小轉(zhuǎn)向角度Δφ可由式(17)求出[7-8]：

(17)

3 實例計算結(jié)果

以S.Lenart的一個實例進行計算。目標船相對本船的初始位置為(5nmile,5nmile)，本船和目標船的速度情況如表1。

表1 本船和目標船速度矢量

隨著兩船距離的不斷接近，不可轉(zhuǎn)向角度、最小轉(zhuǎn)向角度和轉(zhuǎn)向難度的計算結(jié)果如表2。

表2 θ，Δφ和f(d)的值

(續(xù)表2)

距離D/nmile不可轉(zhuǎn)向角度θ/(°)最小轉(zhuǎn)向角Δφ/(°)轉(zhuǎn)向難度f(d)3．038．9453122．662570．1081812．547．1598328．183700．1310002．060．0044237．241500．1666791．583．6267955．008270．2322971．491．1760960．927890．2532671．3100．5771368．429340．2793891．2112．893678．439950．3135931．1130．7696793．251320．3632491．0180．00000135．000000．500000

4 結(jié) 語

從計算結(jié)果可以看出，在兩船相距較遠時，轉(zhuǎn)向難度和最小轉(zhuǎn)向角增長緩慢，基本呈線性增長狀態(tài)；當兩船距離接近到安全會遇距離的2倍以內(nèi)時，轉(zhuǎn)向難度和最小轉(zhuǎn)向角呈指數(shù)級增長。航海中錯過了較早的轉(zhuǎn)向時機或發(fā)現(xiàn)目標太晚都會導致急迫局面的發(fā)生，且實際的航海過程中，由于舵的響應時間以及轉(zhuǎn)向所帶來的速降等原因，讓路船應該更加“及早的”避讓來船，確保兩船在安全的距離上駛過。

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Quantitative Relationship of the Distance between Ships and Difficulty to Avoid Collision by Altering Course

Liu Jia, Liu Chenglin, Wang Yanjie

(China Waterborne Transport Research Institute, Beijing 100088, China)

Altering course is the most common and effective method of collision avoidance, but the extent and effectiveness of altering course is significantly influenced by the time choice of avoidance. Starting from the ships’ maneuvering mathematics model, the difficulty to avoid collision by altering course and minimum alter angle were proposed and the corresponding mathematics model was established. Furthermore, the relationship between the distance between ships and the difficulty to avoid collision by altering course was deduced. The quantitative explanation why the difficulty of altering course and the minimum alter angle increased sharply with the decrease of the distance between ships was given. And the proposed point view is verified with the case study of famous scholar S.Lenart.

traffic and transportation engineering; distance between ships; difficulty to avoid collision by altering course; minimum alter angle

10.3969/j.issn.1674-0696.2015.04.27

2013-06-01；

2014-08-11

劉 佳(1983—)，女，黑龍江哈爾濱人，工程師，碩士，主要從事水運科學規(guī)劃方面的研究。E-mail: liujia@wti.ac.cn。

U675.96

A

1674-0696(2015)04-140-03