吳雯婷，梁忠誠，仉 樂

(南京郵電大學光電工程學院,江蘇南京 210023)

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微流道瞬態(tài)響應特性的仿真與研究

吳雯婷，梁忠誠，仉 樂

(南京郵電大學光電工程學院,江蘇南京 210023)

主要研究在無彈性直流管道中由等效流阻與等效流感所引起的瞬態(tài)響應特性，驗證電路理論與微流體系統(tǒng)在瞬態(tài)條件下的一致性。利用COMSOL仿真軟件分別模擬了直流管道與T型管道中流體的運動，得到了液體從啟動到達穩(wěn)態(tài)的整個時間響應過程。理論推導了T型管道的阻抗值與時間常量。從仿真結(jié)果可以知道，流路的瞬態(tài)響應與等效RL電路的零狀態(tài)響應完全類同，時間常量為系統(tǒng)總流感與總流阻的比值，證實了等效電路理論在微流控系統(tǒng)瞬態(tài)響應器件的設(shè)計中是準確可行的。對典型的T型流道的分析表明，時間常量與流道的長度參數(shù)無關(guān)，只與流體屬性以及流道的橫截面尺寸有關(guān)。

微流控系統(tǒng)；等效電路理論；流感；流阻；COMSOL；瞬態(tài)響應

0 引言

微流控系統(tǒng)目前已經(jīng)有很多成熟的應用[1-3]，但是往往在設(shè)計和研究時并不會用流體物理基本方程來直接計算，而是借助于計算流體動力學(CFD)這樣的計算機仿真。但是CFD的使用在人力資源以及硬件資源方面要求甚高，對于很多復雜的微流體系統(tǒng)并不實用[4]。為了降低微流控系統(tǒng)的設(shè)計難度，提高設(shè)計效率，很多研究者利用流體方程與電路方程類比的方法，得出了流體屬性間的簡單關(guān)系式[5]。流阻Rh等于施加壓力(電壓)與所得體積流量(電流)的比值，是在驅(qū)動流體流動中平衡總剪切應力時消耗的能量，即所施加的壓力梯度等同于克服流體摩擦損失所需的能量[6-7]。除了流阻，其他一些基本的流體屬性也可以與電器件參數(shù)相對應，比如流路中的容性儲能元件(流容Ch)等效于電容Ce，流路中的感性儲能元件(流感Lh)等效于電感Le，液體壓強差Δp等效于電壓差ΔV，液體流量Q等效于電流I等。

這些等效電路的方法已經(jīng)成功地被用來設(shè)計微流控系統(tǒng)，優(yōu)化應用的性能，如流體動態(tài)粒子俘獲、黏度測量和流量控制[8-10]。最近，電路的等效理論已經(jīng)被進一步用于研究更復雜的功能，如使用脈沖空氣流控制流體邏輯門等[11-12]。國內(nèi)對于微流控的研究起步稍晚，目前研究較多的是電潤濕效應(EWOD)[13]、液體變焦透鏡及陣列[14]、光開關(guān)及陣列[15]以及離子液體[16]等，對于等效電路理論在流體邏輯器件方面的應用較少。

目前對等效電路理論的分析和研究，大多數(shù)都是在液體達到穩(wěn)態(tài)，忽略瞬態(tài)效應的前提下。這樣的微流體系統(tǒng)變得十分簡單，應用電路的知識就可以很快分析出流體系統(tǒng)的某些屬性。但是，液體從靜止到注滿系統(tǒng)的過程中的瞬態(tài)特性被忽略了，而這一瞬態(tài)特性與流感緊密相關(guān)[17]。本文重點研究了簡單的微流體系統(tǒng)從開始到達到穩(wěn)態(tài)的過程，即無彈性微流體系統(tǒng)的瞬態(tài)響應特性，驗證電路理論與微流體系統(tǒng)在瞬態(tài)條件下的一致性，證實了等效電路理論在微流控系統(tǒng)瞬態(tài)響應器件的設(shè)計中是準確可行的。

1 原理及模型的建立

1.1 流感

流體從靜止開始啟動到達到穩(wěn)態(tài)的過程是一個隨著時間成指數(shù)變化的函數(shù)[18]；而不可壓縮管道中的瞬態(tài)影響則是因流路中流感的存在引起的[17]。在一根沒有彈性變形的管道中，假設(shè)截面積為A、管長為l、液體密度為ρ，僅有壓力差Δp驅(qū)動液體流動；忽略黏性阻力(因為黏性阻力的作用已經(jīng)在計算流阻時考慮了)，則流感Lh為

(1)

流感與壓力差以及流量的關(guān)系為

(2)

1.2 流阻

對于一個橫截面為矩形的微流道，層流條件下的流阻計算公式[5]為

(3)

式中:w為流道寬度；h為流道高度；μ為液體黏性系數(shù)。

1.3 模型建立

現(xiàn)有的等效電路模型[4]均是將直流流道等效成流阻，如圖1(a)、圖1(b)所示，僅考慮流路在穩(wěn)態(tài)條件下的情況，忽略了瞬態(tài)變化；而微流體邏輯器件的工作過程是動態(tài)的過程。為了研究系統(tǒng)的動態(tài)特性，就需要將流道等效成RL電路模型，如圖1(c)所示。完整的等效RL電路圖如圖1(d)所示。

(a)矩形截面直管道

(b)等效電阻模型

(c)等效電阻和電感模型

(d)完整的等效RL電路圖

2 仿真與分析

2.1 仿真參數(shù)設(shè)置

本文使用COMSOL仿真軟件進行直流管道的模擬。模型方法驗證時采用層流模塊中的迭代線性求解器(GMRES)來求解三維的不可壓縮N-S方程，參數(shù)掃描求解器用來改變?nèi)肟趬毫in，本文測量范圍為1～500 Pa；等效RL電路模型求解時采用瞬態(tài)求解器求解三維的不可壓縮N-S方程，入口壓力設(shè)為20 Pa，時間步長為0.1 ms。出口壓力設(shè)為0，無滑移邊界，收斂殘差設(shè)定為0.001，自由四面體網(wǎng)格進行剖分，在模擬中沒有反轉(zhuǎn)單元。液體材料為水(ρ=1000 kg/m3，μ=0.001 Pa·s)，流道出口處的法向速度的面積分作為流量的測量值。

2.2 模型方法驗證

利用有限元差分法模擬流體時，網(wǎng)格的剖分對結(jié)果的精確度有很大的影響。為了確保仿真結(jié)果的可靠性，消除網(wǎng)格剖分對結(jié)果的影響，對于網(wǎng)格的幾種剖分方法進行了比較(圖2和表1)。從4種網(wǎng)格剖分方法的結(jié)果可以看出，隨著網(wǎng)格的細化計算結(jié)果越精確，與理論值越吻合，但是方法Ⅱ～Ⅵ的結(jié)果已經(jīng)沒有明顯的變化，在圖2中已經(jīng)重疊在一起。在保證準確性的同時兼顧較高的運行效率，因此后面的仿真都是采用方法Ⅱ的網(wǎng)格剖分方法進行。圖2和表1中的幾何模型參數(shù)為l=1 mm，h=80 μm，w=100 μ m。圖2中流感和流阻的理論值Lh=1.25×108kg/m4和Rh=4.73×1011kg/m4·s分別是根據(jù)式(1)和式(3)得到。

圖2 4種仿真方案對比圖

表1 仿真方案的網(wǎng)格剖分設(shè)置

2.3 時間常量的測量方法

以直流管道為例，利用完整的等效電路模型[圖1(d)]，計算出RL電路的零狀態(tài)響應為

(4)

式中：Ve為恒電壓源；Re為電阻；τe=Le/Re。

根據(jù)等效理論，微流體系統(tǒng)中的時間常量理論值應是τh=Lh/Rh，根據(jù)上面給出的參數(shù)計算得τh=0.264 ms。

COMSOL軟件根據(jù)模型(圖1(a))仿真出了出口流量的瞬態(tài)變化圖(圖3)。依據(jù)時間常量的描述：RL電路中，時間常量τ表示任意時刻衰減到原來值的e-1(約為63.2%)所需的時間，或者增加到最大值的36.8%所需的時間。利用等效電路理論的思想，流路中的時間常量τ與流量的關(guān)系為：Q(τ)=63.2%×Qmaz=2.78×10-11m3/s，由圖3中的數(shù)據(jù)擬合得到τ=0.275 ms，由此可知τ≈τh。因此在誤差范圍內(nèi)可以確定，等效電路理論中流感與流阻的結(jié)合可以很好地解釋不可壓縮直流管道的瞬態(tài)響應過程。

圖3 仿真中測得的流量隨時間的瞬態(tài)響應

2.4 T型結(jié)構(gòu)的仿真與分析

在微流控系統(tǒng)中，T型結(jié)構(gòu)的設(shè)計在混合器、微反應器中有著重要作用。

圖4(a)為T型結(jié)構(gòu)的俯視圖，圖4(b)為等效電路圖，其中L2=L3，R2=R3，那么各支路的阻抗分別為Z1=R1+iωL1，Z2=R2+iωL2，Z3=R3+iωL3，且Z2=Z3，式中i為虛數(shù)單位，ω為角頻率；則等效電路的總阻抗為

(5)

令ζ=l1/l2，γ=h/w，那么系統(tǒng)的總流阻為

(6)

總流感為

(7)

T型結(jié)構(gòu)的總時間常量為

(8)

由式(8)可以看出，時間常量只與流道的深和寬有關(guān)，與ζ無關(guān)。

(a)T型結(jié)構(gòu)示意圖

(b)等效電路圖

按照直流管道的仿真方法，在COMSOL中得出了T型結(jié)構(gòu)的ζ-τ曲線圖，見圖5(a)，在誤差范圍內(nèi)可以認為，時間常量不隨著ζ的變化而變化；取ζ=1.0，h=80 μm，只改變通道的寬度，做出γ與τ的關(guān)系圖,見圖5(b)，時間常量與γ成線性關(guān)系；取ζ=1.0，w=100 μm，改變通道高度，繪出h與τ的關(guān)系圖，見圖5(c)，時間常量與通道成非線性變化。綜上，在誤差范圍內(nèi)可以認為，仿真結(jié)果與式(8)給出的關(guān)系一致：時間常量與矩形通道的深和寬有關(guān)，與ζ無關(guān)。

(a) ζ-τ曲線圖

(b) γ-τ關(guān)系圖

(c) h-τ關(guān)系圖圖5 時間常量與各參數(shù)的關(guān)系圖

3 結(jié)束語

本文仿真了簡單的無彈性直流管道的瞬態(tài)響應過程。時間常量τ為系統(tǒng)總流感與總流阻的比值，且τ只與流體參數(shù)以及矩形流道的深和寬有關(guān)，與流道參數(shù)ζ無關(guān)。根據(jù)這一研究結(jié)果可知，流體系統(tǒng)的等效電路分析對瞬態(tài)響應過程完全適用。那么在設(shè)計復雜的動態(tài)微流體系統(tǒng)時，可以根據(jù)系統(tǒng)的功能先設(shè)計出等效電路圖，然后依據(jù)流阻、流感等參數(shù)值，結(jié)合流體參數(shù)以及流道截面參數(shù)，進而設(shè)計出完整的流體系統(tǒng)。

現(xiàn)有的很多應用等效電路理論進行分析與研究的方案[4]都是使用的穩(wěn)態(tài)下的流阻，而忽略了瞬態(tài)下流感的影響。在交變系統(tǒng)中，瞬態(tài)效應十分重要，流感這一影響因子將不可忽略。本文所研究的系統(tǒng)是無彈性的，若是在有彈性的系統(tǒng)下，流容這一因子也將影響整個系統(tǒng)的動態(tài)特性，那么分析時就需要同時考慮流容與流感，這樣的系統(tǒng)將變得更加復雜。

[1] YUSUF H A,BALDOCK S J.Optimization and analysis of microreactor designs for microfluidic gradient generation imaging.Lab Chip,2009,9(13):1882-1889.

[2] DERTINGER S K W,CHIU D T,JEON N L,et al.Generation of gradients having complex shapes using microfluidic networks.Analytical Chemistry,2001,73(6):1240-1246.

[3] GOMEZ R S,LEYRAT A A,PIRONE D M,et al.Versatile,fully automated,microfluidic cell culture system.Anal Chem,2007,79(22):8557.

[4] OH K W,LEE K,AHN B,et al.Design of pressure-driven microfluidic networks using electric circuit analogy.Lab Chip,2012,12(3):515-545.

[5] BRUUS H.Theoretical microfluidics.New York:Oxford University Press,2008.

[6] KIM D,CHESLER N C,BEEBE D J.A method for dynamic system characterization using hydraulic series resistance.Lab Chip,2006,6(5):639-644.

[7] VEDEL S,OLESEN L H,BRUUS H.Pulsatile microfluidics as an analytical tool for determining the dynamic characteristics of microfluidic systems.J Micromech Microeng,2010,20(3):035026.

[8] ZEITOUN R I,CHANG D S,LANGELIER S M,et al.Selective arraying of complex particle patterns.Lab Chip,2010,10(9):1142-1147.

[9] TAN W H,TAKEUCHI S.A trap-and-release integrated microfluidic system for dynamic microarray applications.Proc Natl Acad Sci USA,2007,104(4):1146-1151.

[10] SRIVASTAVA N,BURNS M A.Electronic drop sensing in microfluidic devices: automated operation of a nanoliter viscometer.Lab Chip,2006,6(6):744-751.

[11] MOSADEGH B,KUO C H.Integrated elastomeric components for autonomous regulation of sequential and oscillatory flow switching in microfluidic devices.Nat Phys,2010,6(6):433-437.

[12] LESLIE D C,EASLEY C J.Frequency-specific flow control in microfluidic circuits with passive elastomeric features.Nat Phys.2009,5(3):231-235.

[13] 曾雪鋒，董良，吳建剛，等.介質(zhì)上電潤濕現(xiàn)象的研究.儀器儀表學報，2004,25(4):263-264.

[14] 梁忠誠，徐寧，涂興華，等.新穎的微流控光學變焦透鏡陣列集成器件.光電工程,2008(9): 32-35.

[15] 陳陶，梁忠誠，黃勇林，等.一種基于微流控技術(shù)的光開關(guān)陣列設(shè)計與研制.光電子·激光,2010(11): 1605-1608.

[16] 萬靜，梁忠誠.離子液體電磁驅(qū)動研究.南京郵電大學學報(自然科學版)，2012,32(2):97-102.

[17] BRUUS H.Millisecond dynamics in microfluidics: Equivalent circuit theory and experiment[Master Thesis],2009.

[18] WHITE F M.Viscous Fluid Flow.NY: McGraw-Hill,2006.

Simulation and Research of Transient Response Characteristics of Microfluidic Channels

WU Wen-ting,LIANG Zhong-cheng,ZHANG Le

(College of Photoelectric Engineering,Nanjing University of Posts and Telecommunications,Nanjing 210023,China)

The transient response characteristics of rigid pipes in microfluidic system caused by fluidic inertia and resistance were studied in this paper,verifying the consistency between circuit theory and microfluidic system under transient conditions. Using the simulation software COMSOL to imitate the transient response process,the transient response process of the fluid is similar to RL electrical circuit. Besides,the resistance and the time constant of T-shaped pipe were theoretically derived. The simulation results show the characteristics of transient response and the zero state response of the equivalent circuit of RL are completely similar and time constant for a system is the ratio of total flu and the total flow resistance,confirming that the equivalent circuit theory is feasible and accurate in the transient device design. The analysis of T-junction show that time constant has nothing to do with the length of the channels and just relates to fluid properties and cross sectional dimensions.

microfluidic system;electrical circuit analogy;fluidic inertia;fluidic resistance;COMSOL;transient response

江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計劃項目(CXZZ13_0465)

2015-01-22 收修改稿日期：2015-06-10

O357

A

1002-1841(2015)11-0093-04

吳雯婷(1988— )，博士研究生，主要從事微流控光學技術(shù)和器件的研究。E-mail：2012030229@njupt.edu.cn 梁忠誠(1958—)，教授，博士，主要從事光通信和微流控光學等方面的研究。E-mail：zcliang@njupt.edu.cn