袁震宇 鐘志通 張 林 張 宇

（海軍大連艦艇學(xué)院 大連 116018）

導(dǎo)彈末端彈道擬合方法研究＊

袁震宇 鐘志通 張 林 張 宇

（海軍大連艦艇學(xué)院 大連 116018）

導(dǎo)彈末端彈道估計(jì)問(wèn)題可轉(zhuǎn)換為空間直線擬合問(wèn)題，通過(guò)比較解決空間直線擬合問(wèn)題的一般最小二乘算法、整體最小二乘算法和主成分分析法，得出使用主成分分析法進(jìn)行空間直線擬合，理論嚴(yán)密，使用冪法對(duì)主成分分析法進(jìn)行求解，計(jì)算簡(jiǎn)單。算例分析結(jié)果表明了主成分分析法求解空間直線擬合問(wèn)題的可行性和有效性。

末端彈道擬合；主成分分析法；冪法

Class NumberE927

1 引言

導(dǎo)彈末端彈道擬合是導(dǎo)彈作戰(zhàn)效能精確評(píng)估的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。由于導(dǎo)彈末端彈道距離短，導(dǎo)彈速度高，可能的機(jī)動(dòng)小，因此可以看成是一條直線。從而導(dǎo)彈末端彈道擬合可視為將導(dǎo)彈末端彈道測(cè)量點(diǎn)擬合成一條直線的過(guò)程，即空間直線擬合。

2 空間直線擬合問(wèn)題

空間直線擬合問(wèn)題［1～4］可以描述為：在三維空間給定n個(gè)點(diǎn)P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2），…，Pn（xn，yn，zn），設(shè)每個(gè)點(diǎn)在x，y，z三個(gè)方向上的測(cè)量誤差服從相同且相互獨(dú)立的正態(tài)分布，求空間直線L的方程：

其中P0（x0，y0，z0）為直線上已知一點(diǎn)，→v＝（X，Y，Z）為直線的方向向量，使得直線滿足構(gòu)造的某種意義下的準(zhǔn)則。

空間直線擬合相關(guān)研究較多，比較典型的方法有最小二乘算法、主成分分析算法等［2～3，5～7］。

3 最小二乘算法

對(duì)于直線方程（1），不妨設(shè)Y＝1（若Y＝0，則必然有X≠0或者Z≠0），則直線方程經(jīng)過(guò)整理可以表示為

其中未知參數(shù)為x0，z0，X，Z，表示為方程組的形式如下：

寫(xiě)成矩陣形式為

當(dāng)有n個(gè)測(cè)量點(diǎn)時(shí)，將第i個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程得：

聯(lián)立n個(gè)方程有

余下工作即是通過(guò)已知的觀測(cè)量xi、yi和zi，估計(jì)未知參數(shù)x0，z0，X，Z，進(jìn)而求得直線方程。

1）一般最小二乘算法

類(lèi)似平面直線擬合問(wèn)題，將式（4）引入觀測(cè)誤差，表示為

根據(jù)最小二乘原理，在如下準(zhǔn)則下：

解得：

化簡(jiǎn)得：

通過(guò)簡(jiǎn)單一個(gè)算例驗(yàn)證：設(shè)四個(gè)測(cè)量點(diǎn)為（－10，－6，2）、（1，1，4.2）、（9，4.6，5.9）和（21，9.5，8.1），對(duì)以上四個(gè)空間測(cè)量點(diǎn)擬合空間直線，使用前述一般最小二乘算法，根據(jù)式（9）解得：

即直線方程為

將空間的測(cè)量點(diǎn)及擬合直線如圖1所示。

圖1 測(cè)量點(diǎn)及擬合直線

圖中“正方形”點(diǎn)為空間中待擬合的點(diǎn)，“圈形”點(diǎn)為空間點(diǎn)在各個(gè)坐標(biāo)平面的投影，“正方形”點(diǎn)旁邊的直線為空間擬合直線，而各“圈形”點(diǎn)旁邊的直線則為空間擬合直線在各坐標(biāo)平面上的投影，從圖1可以看出，在XZ平面上，直線有較好的擬合效果，而在XY平面和YZ平面上，擬合直線與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)存在明顯偏差。產(chǎn)生以上偏差的主要原因在于一般最小二乘算法使用的準(zhǔn)則式（8）沒(méi)有考慮觀測(cè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的誤差。

2）整體最小二乘算法

整體最小二乘算法［1～3，8］相比一般最小二乘算法，綜合考慮了坐標(biāo)點(diǎn)的誤差，構(gòu)造新的準(zhǔn)則函數(shù)，如構(gòu)造準(zhǔn)則函數(shù)：

其中＾yi為觀測(cè)點(diǎn)縱坐標(biāo)的估計(jì)值，yi－＾yi為觀測(cè)點(diǎn)縱坐標(biāo)存在的誤差。

整體最小二乘算法相比經(jīng)典最小二乘算法，理論上更加嚴(yán)密，參數(shù)估計(jì)結(jié)果為最優(yōu)解，但是求解過(guò)程更加復(fù)雜，不能直接獲得顯式的結(jié)果，必須通過(guò)迭代或者SVD算法等進(jìn)行求解，求解過(guò)程較為繁瑣，使用性不佳［2，9～11］。

4 主成分分析算法

將三維空間中的點(diǎn)擬合成一條直線，其本質(zhì)是降維，即將三維分布的點(diǎn)降為一維，即直線。依據(jù)主成分的思想，對(duì)三維空間的點(diǎn)集數(shù)據(jù)進(jìn)行主成分分析，則其第一主成分可作為擬合直線的方向向量［1］。文獻(xiàn)［7］證明了在最小二乘準(zhǔn)則下，空間直線必通過(guò)點(diǎn)集的數(shù)據(jù)中心，因此可以由點(diǎn)向式確定空間直線方程。據(jù)此給出直線擬合算法步驟如下：

1）將三維空間的n個(gè)點(diǎn)構(gòu)造矩陣Xn×3，求出均值ˉX＝（ˉx，ˉy，ˉz），則擬合直線必然經(jīng)過(guò)點(diǎn)集的數(shù)據(jù)中心（ˉx，ˉy，ˉz）。

2）求協(xié)方差矩陣為

3）使用冪法求協(xié)方差矩陣S最大特征值λ1對(duì)應(yīng)的特征向量；

（1）任取非零向量s0，歸一化得＾s0；

（2）求si＝S·si－1，歸一化得＾si，i＝1，2…；

（3）判斷｜＾si－＾si－1｜是否小于給定的誤差限ε，“是”則＾si為所求最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量→v＝（X，Y，Z），“否”則重復(fù)（2）、（3）兩個(gè)步驟。

由主成分的意義，各測(cè)量點(diǎn)到直線距離平方和為n（λ2＋λ3），其中λ2和λ3為S的其余兩個(gè)特征值，與式（10）物理意義相同［1］。

4）由點(diǎn)向式確定直線方程為

5 算例分析

表1為空間直線的一組實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，已知其中含有的模型誤差為δ＝±0.005。

表1 空間直線實(shí)測(cè)樣本數(shù)據(jù)

按照主成分分析算法步驟，計(jì)算擬合直線必然經(jīng)過(guò)的數(shù)據(jù)中心點(diǎn)為

（ˉx，ˉy，ˉz）＝（7.5014，11.9991，16.5011）

通過(guò)冪法求得擬合直線的方向向量為

因此擬合直線的方程可以表示為

確定直線后可以容易地得到空間各點(diǎn)到擬合直線的距離，即擬合誤差Δi，具體值列于表1中。擬合總誤差∑Δi＝0.0307，誤差最大值0.0086，誤差最小值0.0009。與文獻(xiàn)［2，6］結(jié)果非常接近，如表2所示，說(shuō)明本文方法的有效性。

表2 各種方法計(jì)算結(jié)果比較

6 結(jié)語(yǔ)

空間直線擬合不同于平面直線擬合，可以將直線擬合問(wèn)題表示為簡(jiǎn)單的線性形式，如果類(lèi)似平面直線擬合進(jìn)行簡(jiǎn)化，則會(huì)因?yàn)槟Ｐ秃?jiǎn)化產(chǎn)生的誤差而使得擬合的直線存在較大的誤差；對(duì)于空間直線擬合使用整體最小二乘算法可以解決使用一般最小二乘方法產(chǎn)生模型誤差的問(wèn)題，但是算法的求解過(guò)程較為繁瑣；本文采用主成分分析法解決空間直線擬合問(wèn)題，理論嚴(yán)密，等價(jià)于整體最小二乘算法，求解過(guò)程中采用冪法求解協(xié)方差矩陣的最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，相比整體最小二乘算法計(jì)算簡(jiǎn)單，算例分析表明，使用主成分分析法運(yùn)算簡(jiǎn)單，運(yùn)算結(jié)果與其他文獻(xiàn)基本相同，證明了本文方法的可行性和有效性，因此在實(shí)際工程應(yīng)用中可使用主成分分析法進(jìn)行導(dǎo)彈末端彈道的估計(jì)。

［1］曹慧榮，王福昌.全最小二乘和全加權(quán)最小一乘準(zhǔn)則下的空間直線擬合［J］.計(jì)算機(jī)應(yīng)用與軟件，2010，27（9）：111－113.

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［5］潘國(guó)榮，唐杭.特征分解與選權(quán)迭代在空間直線擬合中的應(yīng)用［J］.東南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2013，43（SupⅡ）：250－255.

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［10］王玥，趙振學(xué)，王江榮.基于空間直線擬合的古塔變形趨勢(shì)研究［J］.蘭州文理學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2014，28（3）：32－36.

［11］陳天立，趙建勛，高揚(yáng).基于三維空間直線擬合的衛(wèi)星天線動(dòng)態(tài)精密校準(zhǔn)方法研究［J］.電子測(cè)量技術(shù)，2011，34（3）：99－102.

Missile Terminal Ballistic Curve FittingMethods

YUAN Zhenyu ZHONG Zhitong ZHANG Lin ZHANG Yu
（Dalian Naval Academy，Dalian 116018）

The missile terminal ballistic curve estimation can be transferred to be a linear fitting problem.Based on the comparison of general least square algorithm，total least square algorithm and principle component analysis，it is concluded that linear fitting using principle analysis is rigid reasoning，and solving the principle analysis by power method computation cost less.At the end，an example solving result indicates the feasibility and validity of the principle analysis method which is used to solve the 3－dimention linear fitting.

terminal ballistic curve fitting，principle component analysis，power method

E927DOI：10.3969／j.issn.1672－9730.2015.11.015

2015年5月7日，

2015年6月23日

學(xué)院科研發(fā)展基金資助。

袁震宇，男，碩士，講師，研究方向：艦載導(dǎo)彈戰(zhàn)斗使用、數(shù)據(jù)分析等。鐘志通，男，博士，副教授，研究方向：艦載導(dǎo)彈戰(zhàn)斗使用。張林，男，博士，講師，研究方向：艦載導(dǎo)彈戰(zhàn)斗使用。張宇，男，博士，講師，研究方向：數(shù)字圖像處理。