陳 勇，鄧 坤

(湖南大學(xué) 金融與統(tǒng)計學(xué)院，湖南 長沙 410079)

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Hull-White利率模型仿真與債券估值

陳 勇，鄧 坤

(湖南大學(xué) 金融與統(tǒng)計學(xué)院，湖南 長沙 410079)

應(yīng)用Vasicek模型和Nelson-Siegel模型估計Hull-White利率模型的參數(shù)，運用蒙特卡洛方法模擬利率路徑，根據(jù)利率路徑估計中國國債的價值，并進行敏感性分析.結(jié)果表明，運用蒙特卡洛方法模擬Hull-White利率模型，具有計算簡單和運算速度快的特點，且債券估值的結(jié)果較為精確.該方法可廣泛地應(yīng)用于債券及其衍生品的定價分析.

利率期限結(jié)構(gòu)；Hull-White模型；蒙特卡洛

1 引 言

利率期限結(jié)構(gòu)是某個時點上債券的到期期限與收益率之間的關(guān)系.利率期限結(jié)構(gòu)模型是資產(chǎn)定價、衍生品設(shè)計和利率風(fēng)險管理的基礎(chǔ)性問題.在利率市場化背景下，對利率期限結(jié)構(gòu)的研究可以為債券的定價提供理論依據(jù)，促進債券及其衍生品的發(fā)行和交易，并為度量和管理利率風(fēng)險提供工具和手段.

利率期限結(jié)構(gòu)模型可以分為靜態(tài)模型和動態(tài)模型.靜態(tài)模型考慮某個時點上不同到期期限的債券收益率，應(yīng)用樣條函數(shù)擬合整條利率曲線.動態(tài)模型應(yīng)用隨機過程刻畫利率波動.動態(tài)模型根據(jù)隨機因子的個數(shù)可以分為單因子模型、雙因子模型和多因子模型.單因子模型應(yīng)用單因子擴散過程刻畫即期利率的動態(tài)變化.由于單因子模型的參數(shù)估計簡單，往往可以求出解析解，應(yīng)用最為廣泛.

Vasicek(1977)[1]應(yīng)用均值回歸的擴散過程描述即期利率的波動，是最早的單因子模型.為了克服Vasicek模型名義利率可能為負的缺點，Cox、Ingersoll & Ross(1985)[2]提出了均值回歸的平方根擴散過程CIR模型.后來，Chan et al(1992)[3]將各種形式的單因子模型歸納為CKLS模型.

各種單因子擴散模型在很大程度上揭示了利率波動的水平效應(yīng)和均值回歸特征，但是不能反映初始時期利率曲線的形狀對未來即期利率的影響.Hull & White(1990)在Vasicek模型中引入了初始時期的利率曲線，反映了初始時期經(jīng)濟環(huán)境對未來即期利率的影響[4].

由于Hull-White模型的參數(shù)包含初始時期的利率曲線，數(shù)值模擬的難度較大，相關(guān)研究成果較少.已有文獻主要應(yīng)用三叉樹方法對Hull-White模型進行離散化處理，并對債券及其衍生品進行定價分析.Hull & White(1994，1996)提出了分解Hull-White模型的三叉樹方法[5，6].宋逢明和石峰(2006)應(yīng)用三叉樹方法模擬了銀行間債券市場的利率波動[7].石峰(2008)應(yīng)用三叉樹方法對信用衍生品進行定價分析[8].

已有文獻主要采用三叉樹方法分解Hull--White模型，缺乏應(yīng)用蒙特卡洛方法的研究成果.本文首先估計Hull-White模型的參數(shù)，然后應(yīng)用蒙特卡洛方法模擬Hull-White模型下的利率波動，并根據(jù)利率路徑估計無風(fēng)險債券價格，最后進行了敏感性分析.

2 研究思路

Hull-White模型的隨機微分方程為

drt=k(θt-rt)dt+σdBt，

其中，rt是即期利率，k是即期利率向長期平均水平收斂的速度，σ為即期利率波動的標準差，Bt是標準的維納過程，θt是長期平均即期利率，且

其中，f(0,t)是初始時期的利率曲線隱含的t時刻之后的遠期利率.

先估計Hull-White模型的參數(shù)，再應(yīng)用蒙特卡洛方法模擬Hull-White模型下的利率波動，并估計債券價值.分兩步估計Hull-White模型的參數(shù)：

1)應(yīng)用Vasicek模型估計參數(shù)k和σ；

2)應(yīng)用Nelson-Siegel模型(NS模型)估計初始時期的遠期利率f(0,t)和θt.蒙特卡洛模擬和債券估值分為以下步驟：

1)對Hull-White模型進行變量變換并模擬利率路徑rt；

2)應(yīng)用利率路徑rt對債券的現(xiàn)金流進行貼現(xiàn)，從而可以得到債券的價格；

3)敏感性分析.分析債券估值結(jié)果對參數(shù)k和σ的敏感性.

3 Hull-White模型及其參數(shù)估計

先應(yīng)用Vasicek模型估計參數(shù)k和σ，再應(yīng)用NS模型估計初始時期的利率曲線參數(shù)f(0,t)和θt.

3.1 Vasicek模型求解及其參數(shù)估計

Vasicek模型的隨機微分方程為

其中，rt是即期利率，k表示即期利率向長期平均水平收斂的速度，θ表示長期平均即期利率，σ為即期利率波動的標準差，Bt是標準的維納過程.

將Vasicek模型轉(zhuǎn)換為OU過程，再對OU過程求解.令xt=rt-θ，代入Vasicek模型，可以得到標準OU過程

dxt=-kxtdt+σdBt.

OU過程的解為

(1)

將xt=rt-θ代入式(1)，整理可得

(2)

rt+Δt=u+vrt+ωη，η～N(0,1)．

(3)

搜集銀行間債券市場的相關(guān)數(shù)據(jù)，應(yīng)用普通最小二乘方法進行回歸分析，可以得到參數(shù)u，v和ω的估計值，再得到Vasicek模型的參數(shù)估計值k和σ.

3.2 遠期利率估計

NS模型設(shè)定的遠期利率公式為

(4)

從而得到即期利率為

(5)

已知即期利率rt，貼現(xiàn)因子D(t)可以表示成D(t)=e-rtt.設(shè)Ci，ti分別為無風(fēng)險債券的第i筆現(xiàn)金流的金額和到期期限，則債券價格

可以得到β0，β1，β2和τ的估計值.

4 Hull-White模型仿真

dxt=-kxtdt+σdBt.

先應(yīng)用蒙特卡洛方法模擬得到xt，再根據(jù)rt=xt+at得到利率路徑rt，最后應(yīng)用利率路徑rt對債券的現(xiàn)金流進行貼現(xiàn)，從而可以得到無風(fēng)險債券的價格.

5 參數(shù)估計和債券估值

5.1 Hull-White模型參數(shù)估計結(jié)果

選取期限為1個月的上海銀行間同業(yè)拆借利率估計Vasicek模型的參數(shù).樣本期間從2008年1月至2013年11月，共71個月度數(shù)據(jù).由于均值回歸過程屬于平穩(wěn)過程，先檢驗樣本數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性.ADF檢驗結(jié)果顯示樣本數(shù)據(jù)為平穩(wěn)過程，再依據(jù)式(3)進行回歸分析.回歸結(jié)果如表1所示.

表1 Vasicek模型的參數(shù)估計結(jié)果

應(yīng)用NS模型擬合2013年11月1日的交易所的國債利率曲線.搜集了2013年11月1日有交易價格的14只樣本債券，應(yīng)用高斯牛頓迭代法估計NS模型，最小化樣本債券的理論價格與市場價格的差額的平方和.NS模型的參數(shù)估計結(jié)果如表2所示.

表2 2013年11月1日NS模型的參數(shù)

5.2 債券估值結(jié)果與敏感性分析

我們選取2013年11月1月在上海證券交易所流通的八只附息票國債作為研究對象，債券代碼分別為019307、010501、010603、019315、010512、010107、010303、010706.用蒙特卡洛方法模擬利率路徑，再用利率路徑對債券的現(xiàn)金流進行貼現(xiàn)，并將債券的估計價格和當(dāng)天的實際收盤價進行比較.利率模擬的次數(shù)為1 000次.8只債券的估值結(jié)果如表3所示.

表3 樣本國債價格的預(yù)測結(jié)果

從總體上看，Hull-White利率模型對8只債券的估值結(jié)果較為精確，特別是到期期限較短的債券，理論價格與實際價格誤差不超過0.9%.究其原因，債券的到期期限越短，交易越活躍，債券的流動性越好，實際價格的波動越小.與三叉樹方法相比，蒙特卡洛方法具有實現(xiàn)過程簡單和運算速度快的特點，并且不存在模型偏誤.

選取代碼為010603的債券分析估值結(jié)果對參數(shù)k和σ的敏感性.從總體上看，債券價格與參數(shù)k和σ的變動方向符合預(yù)期，但是債券價格對參數(shù)變動不敏感.首先，當(dāng)均值回歸速度k上升時，債券的價格上漲.當(dāng)k增長時，即期利率向較高的遠期利率的收斂速度加快，導(dǎo)致即期利率水平上升，債券的價值趨向于下降.同時，當(dāng)k增長時，在其他參數(shù)不變的情況下，即期利率的波動方差上升，由于債券價格是即期利率波動方差的增函數(shù)，債券的價值趨向于上升.由于兩種作用相互抵消，導(dǎo)致債券價值對k的變動不敏感.其次，當(dāng)即期利率的波動標準差σ上升時，債券的價格上升.由于債券價格是即期利率的凸函數(shù)，因此，即期利率的波動越大，債券的價格越高.

6 結(jié) 論

分別應(yīng)用Vasicek模型和NS模型估計Hull-White利率模型的參數(shù)，再對即期利率進行變量變換，并運用蒙特卡洛方法模擬利率路徑，最后應(yīng)用利率路徑貼現(xiàn)債券的現(xiàn)金流，并分析債券估值對Hull-White模型參數(shù)的敏感性.結(jié)果表明，運用蒙特卡洛方法模擬Hull-White利率模型，具有計算簡單和運算速度快的特點，且債券估值的結(jié)果較為精確.由于Hull-White模型既考慮利率波動的特征，又反映初始時期利率曲線的影響，該方法可廣泛地應(yīng)用于債券及其衍生品的定價分析.

[1]OVASICEK.Anequilibriumcharacterizationofthetermstructure[J].JournalofFinancialEconomics, 1977,5 (2): 177-188.

[2]JCCOX,JEINGERSOLL,SAROSS.Atheoryofthetermstructureofinterestrates[J].Econometrica, 1985, 53(2): 385-407.

[3]KCCHAN,GAKAROLY,FALONGSTAF,etal. An empirical comparison of alternative models of the short term interest rate[J]. Journal of Finance, 1992, 47(3): 423-455.

[4] J HULL, A WHITE. Pricing interest rate derivative securities[J]. Review of Financial Studies, 1990, 3(4): 573-592.

[5] J HULL, A WHITE. Numerical procedures for implementing term structure models: single-factor models[J]. Journal of derivatives, 1994 (1): 7-16.

[6] J HULL, A WHITE. Using hull-white interest rate trees[J]. Journal of Derivatives, 1996, 3(3): 26-36.

[7] 宋逢明，石峰．基于Hull-White模型的債券市場利率期限結(jié)構(gòu)研究[J]．運籌與管理，2006(3)：34-36．

[8] 石峰．Hull-White模型在次級債定價中的應(yīng)用研究[J]．運籌與管理，2008(5)：108-122．

Simulation of Hull-White Model and Bond Pricing

CHEN Yong, DENG Kun

(College of Finance and Statistics, Hunan University, Changsha, Hunan 410079, China)

This paper used the Vasicek model and the Nelson-Siegel model to estimate the parameters of Hull-White model,and simulated the Hull-White term structure model. The theoretical prices of sample bonds were priced through the Monte Carlo simulation methods. We conducted a sensitivity analysis. It is shown that simulation-based method is more precise than the three-tree one to price bonds.

term structure of interest rates; Hull-white model; Monte Carlo simulation

2015-10-15

湖南省自然科學(xué)基金資助項目(14JJ2054)

陳 勇(1972—)，男，湖南醴陵人，副教授，博士

E-mail: leochen007@hotmail.com

F830.91

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