吳 娜,司偉建,焦淑紅,吳 迪

(哈爾濱工程大學信息與通信工程學院,黑龍江哈爾濱150001)

基于去特征處理的信源數(shù)估計算法

吳 娜,司偉建,焦淑紅,吳 迪

(哈爾濱工程大學信息與通信工程學院,黑龍江哈爾濱150001)

在實際測向系統(tǒng)中,由于陣列中各陣元的相互干擾,陣列接收的噪聲為空域相關色噪聲,由于系統(tǒng)熱噪聲和散彈噪聲的存在,導致陣列接收的噪聲同時包含空域相關色噪聲與白噪聲。傳統(tǒng)針對空域相關色噪聲的信源數(shù)估計算法在白噪聲背景下的估計性能往往下降。針對這一問題,提出了一種基于去特征處理的信源數(shù)估計方法。該方法對數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣進行去特征處理,得到一組與特征值相對應的新數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣,利用新數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣在信號和噪聲子空間上的投影矩陣構造判決函數(shù),進而實現(xiàn)信源數(shù)估計。仿真實驗及對比數(shù)據(jù)表明該方法在包含有白噪聲成分的色噪聲背景下能夠有效進行信源數(shù)估計,其突出優(yōu)勢表現(xiàn)在小快拍數(shù)、低信噪比條件下仍能準確估計信源數(shù),而沒有明顯增加算法的運算量。

信源數(shù)估計;色噪聲;去特征處理;判決函數(shù)

0 引 言

空間譜估計技術是陣列信號處理領域的一個重要分支,一直以來因其優(yōu)越的空域參數(shù)特性而備受學者青睞。然而,當信源數(shù)與實際信源數(shù)不符時,大多數(shù)空間譜估計算法的測向性能嚴重下降甚至失效。因此信源數(shù)的準確估計是空間譜估計算法實現(xiàn)其高分辨性能的必要前提。

目前比較有代表性的信源數(shù)估計算法有信息論方法[12]、蓋氏圓(Gerschgorin’s disk estimation,GDE)方法[3]、平滑秩法[4]、矩陣分解法[5]及正則相關技術(canonical correlate technology,CCT)[67]等方法?；谛畔⒄摰姆椒òˋkaike信息論(Akaike’s information crilerion, AIC)準則、最小描述長度(minimum description length, MDL)準則等方法,這類方法的優(yōu)點在于計算量較小,但是低信噪比條件下存在欠估計問題、高信噪比條件下存在過估計問題,且在色噪聲背景下算法失效。為了將信息論準則推廣應用到色噪聲背景下,文獻[8]提出一種對角加載技術平滑色噪聲背景下的信源數(shù)估計方法,即MAIC法。文獻[9]提出一種基于對角加載的MDL準則信源數(shù)估計方法,即MMDL法。這些修正的信息論方法可以在一定程度上有效克服這些缺點。GDE方法在色噪聲背景下能夠準確估計信源數(shù),但是該方法在低信噪比小快拍數(shù)條件下效果較差,且該方法在求解過程中得到的數(shù)據(jù)不能應用于后續(xù)處理而造成運算效率較低。CCT在低信噪比及色噪聲背景下可以有效估計信源數(shù)目,但該算法需要兩個相互獨立的空間分離陣列,降低了陣列有效孔徑,進而限制了該算法的實際推廣應用[10- 19]。

本文提出一種基于去特征處理的信源數(shù)估計方法,該方法對數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣進行特征分解,然后對其進行去特征值處理,構造新的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣,將新的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣分別投影到信號子空間和噪聲子空間,對投影得到的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分類,最后根據(jù)判據(jù)函數(shù)值的大小來判定信源個數(shù)。計算機仿真實驗表明本文算法可以實現(xiàn)空域相關色噪聲[10]及白噪聲并存背景下的信源數(shù)估計,并且在低信噪比、低快拍數(shù)條件下該算法的信源數(shù)估計準確率仍然很高。

1 信號模型

本節(jié)以均勻線陣為例假設D個相互獨立的遠場窄帶信號入射到空間M元均勻線陣,各信號源的到達方向角分別為(θ1,θ2,…,θD),則天線陣的接收數(shù)據(jù)的矢量形式為

式中,X(t)=[x1(t),x2(t),…,xM(t)]T為陣列的M×1維接收數(shù)據(jù)矢量;S(t)=[s1(t),s2(t),…,sD(t)]T為信號的D×1維矢量;N(t)=[n1(t),n2(t),…,nM(t)]T為M×1維噪聲矢量;A=[a(θ1),a(θ2),…,a(θD)]為陣列的M×D維導向矢量陣,其中a(θi)(i=1,2,…,D)為導向矢量,具體表達式如下:

式中,ω為信號源載波角頻率;d為相鄰陣元的間距;c為光速。

設信號與噪聲相互獨立,陣列輸出的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣為

式中,RS=E[S(t)SH(t)]為信號協(xié)方差矩陣;RN=E[N(t)· NH(t)]為噪聲協(xié)方差矩陣。

對數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣RX進行特征值分解,有

式中,Σ=diag(λ1,λ2,…,λM)為特征值組成的對角陣,且滿足λ1≥λ2≥…≥λM;U=[e1,e2,…,eM],ei(i=1,2,…,M)為特征值λi對應的特征向量;ΣS=diag(λ1,λ2,…,λD)是由前D個較大特征值組成的對角陣;US=[e1,e2,…,eD]是由前D個較大特征值對應的特征向量張成的信號子空間;ΣN= diag(λD+1,λD+2,…,λM)是由后M-D個較小的特征值組成的對角陣;UN=[eD+1,eD+2,…,eM]是由后M-D個較小特征值對應的特征向量張成的噪聲子空間。

將陣列導向矢量陣按行分塊可以得到A的另一種形式:

式中

式中,T表示矩陣轉置。

則陣列輸出的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣可以表示為

已知各信號源相互獨立,則RS為滿秩對角陣,因此有

2 算法原理

本節(jié)首先給出了去特征處理的定義。數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的特征值可以分為對應信號子空間的特征值和對應噪聲子空間的特征值,根據(jù)這一劃分,將本文去特征處理得到的新數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣分為兩類進行討論,對應每一個新的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣構造了一個函數(shù),同理得到了兩組不同性質的函數(shù),有這兩組函數(shù)構造判據(jù)函數(shù),進而對信源數(shù)進行估計。本節(jié)最后總結給出了算法的具體步驟,對原理進行分析,進而將算法擴展到色噪聲情況下。

2.1 去特征處理

定義1 矩陣B減去其特征值與單位陣的乘積稱為這個特征值對矩陣B進行了去特征處理。

用數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣RX的M個特征值分別對其進行去特征處理,可以得到M個新的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣R'Xi:

當噪聲為空間平穩(wěn)高斯白噪聲時,噪聲協(xié)方差矩陣為

式中,σ2為噪聲功率,將式(9)代入式(7),則數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣為

由式(7)可得下面分兩種情況進行討論。

2.1.1 M≥i≥M-D

當M≥i≥M-D時,即λi為噪聲子空間對應的特征向量時,σ2=λi,則

可以證明,R'Xi與RX的特征向量相同,即U也為R'Xi的特征向量矩陣,即

求R'Xi在U中的投影,有

定義函數(shù):

式中,i為在構成新的協(xié)方差矩陣時所減去的特征值對應的編號。由以上的分析可知,當(1≤k≤D)時,fi(k)的值較大,當D+1≤k≤M時,fi(k)的值較小,接近于0。

2.1.2 1≤i≤D

當1≤i≤D時,即λi為信號子空間對應的特征值時,σ2?λi,根據(jù)第2.1.1節(jié)的推導過程,同理可得到

式中,uk(k=1,2,…,M)為單位矩陣對應第k列向量。則

與式(13)類似,定義函數(shù):當1≤k≤D時,ek為信號子空間對應的特征向量,則(λi-σ2)I}為一個接近于0的值。因此,fi(k)的值為一個接近于0的數(shù)。

當D+1≤k≤M時,ek為噪聲子空間對應的特征向量,則

當1≤i≤D時,fi(k)對應信號子空間的特征值,與fM(k)的取值規(guī)律相反,則g(i)取值較大。

當M≥i≥M-D時,fi(k)對應信號子空間的特征值,與fM(k)的取值規(guī)律相同,則g(i)取值較小。

據(jù)此,可利用GDE判別準則對g(i)取值大小進行區(qū)分,進而實現(xiàn)信源數(shù)的估計,只不過這里需要對GDE判別準則稍作修正即可。即是一個絕對值較大(接近于λi-σ2)的負數(shù),取模后為一個較大的數(shù)值,即fi(k)為一個較大值。

由以上分析可知,當1≤k≤D時,fi(k)的值較小;當D+1≤k≤M時,fi(k)的值較大。

對比M≥i≥M-D和1≤i≤D兩種情況可知,在兩種情況下,f(k)的取值規(guī)律剛好相反,本文即根據(jù)這一區(qū)別來判斷信源數(shù)目。

2.2 由fi(k)構造統(tǒng)計量——判決函數(shù)

設構造R'Xi時減去最小特征值所對應的函數(shù)為fM(k),定義判決函數(shù):

k=1

其中,α(L,SNR)是關于快拍數(shù)L及信噪比SNR有關的調整因子,通過計算機仿真統(tǒng)計可知,其取值范圍為0到1。值得注意的是,快拍數(shù)L對調整因子影響權重較大,當快拍數(shù)逐漸趨于無窮大時,調整因子的數(shù)值逐漸趨于1。當i在1～M中取值,所有使Δ(i)＞0的g(i)個數(shù)即為所求信源數(shù)目。

2.3 本文算法描述

總結本文算法步驟如下:

步驟1 對數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣RX進行特征值分解,求得對應特征值從大到小排列的特征空間U;

步驟2 根據(jù)式(7)構造M個新的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣R'Xi;

步驟3 分別求R'Xi在特征空間U上的投影矩陣;

步驟4 根據(jù)式(13)得到M個函數(shù)fi(k)(i=1,2,…,M);

步驟5 根據(jù)式(19)求得g(i),(i=1,2,…,M-1);

步驟6 設置調整因子α(L,SNR),根據(jù)式(20)進行信源數(shù)估計。

2.4 算法原理分析

<1)，且各件產品是否為不合格品相互獨立．

構造R'Xi時減去的λi為對應噪聲子空間的特征值時,相當于對原數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣進行了去噪聲處理,此時得到的新數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣中信號的貢獻變大,也就是說新協(xié)方差矩陣在信號子空間上的投影值較大,而在噪聲子空間上的投影值較小;而構造R'Xi時減去的λi為對應信號子空間的特征值時,相當于對原數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣進行了去信號處理,此時得到的新數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣中信號的貢獻相對變小,新協(xié)方差矩陣在信號子空間上的投影值較小,而在噪聲子空間上的投影值較大。由以上分析可知,根據(jù)新協(xié)方差矩陣在信號子空間和噪聲子空間上的投影值的不同,可將經過去特征處理得到的新協(xié)方差矩陣分為對應于信號和噪聲的兩類,而對應于信號的新協(xié)方差矩陣的個數(shù)即為信源數(shù)。本文算法就是利用這一思想增大了協(xié)方差矩陣在特征向量上的投影值的差異,構造統(tǒng)計量fi(k)及判據(jù)函數(shù)g(i),從而判斷出信源數(shù)。

2.5 算法復雜度分析

本文算法的計算量主要集中在協(xié)方差矩陣的構造、特征值分解及投影運算上。由M×1維的向量構造協(xié)方差矩陣的計算量為C1=M2,構造的協(xié)方差矩陣的維數(shù)為M× M,對該M×M維矩陣進行特征分解,采用文獻[20]的快速子空間分解技術可將計算量降低至C2=M(L+2)2,求R'Xi在特征空間U上的投影矩陣的計算量為C31=M3,算法共有M次該投影運算,則求投影矩陣運算的計算量為C3= MC31=M4,則本文算法總計算量為C=C1+C2+C3= M2+M(L+2)2+M4,而經典AIC算法和MDL算法僅需要進行協(xié)方差矩陣的構造和協(xié)方差矩陣特征分解,本文算法的投影矩陣運算引入了一定的計算量,導致最終算法的復雜度增加。但是復雜度的增加換來的是算法在兩種噪聲背景下及白噪聲和空域相關色噪聲并存背景下的估計性能的提升。

表1將本文算法與信息論類算法(AIC算法和MDL算法)的算法復雜度進行了對比。

表1 算法復雜度對比

3 仿真實驗及結果分析

為了驗證本文提出算法的性能,利用Matlab進行了計算機仿真實驗。實驗分別驗證了本文算法在白噪聲背景下及空域相關色噪聲背景下的測向性能,為了驗證本文算法使用于白噪聲和空域相關色噪聲成分同時存在的情況,還對算法在這兩種背景條件下的測向性能進行了對比,仿真條件如下:3個相互獨立的遠場窄帶信號入射到8陣元均勻線陣,陣元間距為半波長,3個信源的方向角為[15°30°40°]。在白噪聲情況下,將本文算法與AIC準則、MDL準則、m AIC準則、m MDL準則及GDE準則進行對比。由于在空域相關色噪聲背景下AIC準則和MDL準則失效,故在色噪聲背景下僅對本文算法、mAIC準則、m MDL準則及GDE準則進行對比。每個實驗均進行200次Monte Carlo仿真。算法的評價標準為成功檢測概率,即200次Monte Carlo仿真實驗中能夠成功檢測出信源數(shù)的次數(shù)的百分比。

實驗1 白噪聲背景下成功檢測概率隨信噪比的變化

設置快拍數(shù)為200,信噪比從-14 dB變化到10 dB,在白噪聲背景下進行仿真,得到正確檢測概率隨信噪比的變化。

白噪聲背景下成功檢測概率隨信噪比的變化仿真結果如圖1所示。可以看出,6種算法的成功檢測概率均隨SNR取值的變大而變大。其中本文算法、AIC準則及MDL準則在信噪比大于-4dB時成功檢測概率為100%,而mAIC準則、m MDL準則和GDE準則在信噪比分別取-2 dB、0 dB和6 dB時成功檢測概率達到100%。可見,本文算法在低信噪比下估計信源數(shù)的成功概率與信息論準則算法相當而明顯優(yōu)于mAIC準則、m MDL準則及GDE準則。

圖1 白噪聲下正確信源數(shù)估計概率隨SNR變化

實驗2 空域相關色噪聲背景下成功檢測概率隨信噪比的變化

設置快拍數(shù)為200,信噪比以2 d B為步進值從-10 dB變化到10 dB。色噪聲采用文獻[10]給出的空域相關色噪聲模型。令該色噪聲表達式中空間相關系數(shù)ρ=0.5。將本文算法與mAIC準則、mMDL準則及GDE準則進行對比,得到空域相關色噪聲背景下成功檢測概率隨信噪比的變化。

空域相關色噪聲背景下成功檢測概率隨信噪比的變化如圖2所示?？梢钥闯?隨著信噪比的增加,以上4種算法的成功檢測概率均變大。其中本文算法的成功檢測概率要高于m AIC準則、m MDL準則及GDE準則對應的成功檢測概率。本文算法在信噪比大于-3 dB時成功檢測概率達到100%,而m AIC準則、m MDL準則的信噪比均需達到0 dB、GDE準則的信噪比需達到4 dB時,成功檢測概率才能達到100%?？梢?在色噪聲背景下本文算法的性能要優(yōu)于其他3種方法。

圖2 空域相關色噪聲下正確信源數(shù)估計概率隨SNR變化

實驗3 白噪聲背景下成功檢測概率隨快拍數(shù)的變化

設置信噪比為5 dB,快拍數(shù)以10為步進值從10變化到230。設置空間噪聲為白噪聲,對本文算法、AIC準則、MDL準則、改進mAIC準則、改進m MDL準則及GDE方法進行仿真,得到正確檢測概率隨快拍數(shù)的變化。

白噪聲背景下成功檢測概率隨快拍數(shù)的變化仿真結果如圖3所示,可以看出,6種方法的成功檢測概率均隨快拍數(shù)的增多而變大,本文算法在相同快拍數(shù)的情況下,較其他算法的成功檢測概率大,但其檢測性能較AIC準則和MDL準則差別不大。本文算法、AIC準則及MDL準則當快拍數(shù)增加到30時,成功檢測概率均達到100%,而m AIC準則、mMDL準則及GDE方法的檢測性能則要明顯差于以上3種方法?？梢姳疚乃惴ㄔ诎自肼暠尘跋碌臋z測性能并沒有下降,甚至在較低快拍數(shù)的情況下的性能要略優(yōu)于AIC準則和MDL準則。結合實驗1的仿真結果可知,本文算法適用于白噪聲背景條件下,且估計性能與傳統(tǒng)的信息論方法相當。

圖3 白噪聲下正確信源數(shù)估計概率隨快拍數(shù)變化

實驗4 空域相關色噪聲背景下成功檢測概率隨快拍數(shù)的變化

與實驗2的空域相關色噪聲背景相同,取信噪比為10 dB,快拍數(shù)從1依次變化到240。對4種方法的檢測成功概率進行仿真。

空域相關色噪聲背景下成功檢測概率隨快拍數(shù)的變化仿真結果如圖4所示?？梢钥闯?4種算法的成功檢測概率均隨著快拍數(shù)的增加而變大。在低快拍數(shù)的情況下,本文算法的成功檢測概率明顯高于其他兩種方法,在快拍數(shù)大于40時成功檢測概率達到100%,而其他3種算法則需要快拍數(shù)達到80、100甚至更大時,成功檢測概率才能達到100%?？梢?在空域相關色噪聲背景下,本文算法的性能優(yōu)于其他3種方法。結合實驗2的仿真結果可知,本文算法適用于色噪聲環(huán)境,且在一定條件下,性能優(yōu)于其他3種算法。

圖4 空域相關色噪聲下正確信源數(shù)估計概率隨快拍數(shù)變化

實驗5 在白噪聲和空域相關色噪聲兩種噪聲背景下的檢測性能對比

為了驗證本文算法可以適用于包含白噪聲成分的色噪聲環(huán)境,本文通過計算機仿真對白噪聲、空域相關色噪聲及包含有白噪聲成分的空域相關色噪聲3種噪聲背景下的檢測性能進行了對比仿真,對比情況如圖5和圖6所示。

本文算法在3種噪聲背景下的成功檢測概率隨SNR變化的對比情況如圖5所示?？梢钥闯?在白噪聲背景下,本文算法的成功檢測概率達到100%時的信噪比為-4 dB,色噪聲情況下則為-2 dB,二者僅相差2 dB,而在包含有白噪聲成分的色噪聲背景情況下,本文算法的成功檢測概率介于單純白噪聲和單純空域相關色噪聲背景之間,接近于白噪聲背景。

圖5 正確信源數(shù)估計概率隨SNR的變化

成功檢測概率在3種噪聲背景下隨快拍數(shù)變化對比情況如圖6所示?？梢钥闯?在快拍數(shù)大于50時,3種噪聲背景下的成功檢測概率均達到100%。

通過以上5個實驗結果可以看出,本文算法提高了色噪聲背景下的估計性能,在適用于空間色噪聲的同時,在白噪聲背景下的檢測性能也沒有明顯的下降。因此,本文算法可用于包含有白噪聲成分的空域相關色噪聲環(huán)境下進行信源數(shù)估計。

圖6 正確信源數(shù)估計概率隨快拍數(shù)的變化

4 結 論

實際測向系統(tǒng)中的背景噪聲均比較復雜,很難在理論上及工程上將實際環(huán)境中的噪聲單純的分為白噪聲或色噪聲,而往往是兩者并存的情況。本文針對這一現(xiàn)象提出一種基于去特征處理的信源數(shù)估計方法,仿真實驗結果驗證了該算法不僅提高了空域相關色噪聲背景下的估計性能,同樣在白噪聲背景下也具有較好的性能。通過對白噪聲、空域相關色噪聲及包含有白噪聲成分的空域相關色噪聲背景下算法的性能進行仿真對比,驗證了本文算法適用于包含有白噪聲成分的空域相關色噪聲環(huán)境,并且在低信噪比和小快拍數(shù)情況下且具有較好的估計性能。但是本文算法的計算復雜度要略高于傳統(tǒng)算法,并且在利用判決函數(shù)進行信源數(shù)估計時需要人工設置閾值參數(shù),因此如何適當?shù)慕档陀嬎銖碗s度及如何通過自適應算法來設置閾值參數(shù)將是下一步研究的重點。

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New source number estimation method based on feature eliminated process

WU Na,SI Wei-jian,JIAO Shu-hong,WU Di
(School of Information and Communication Engineering,Harbin Engineering University,Harbin 150001,China)

In actual direction-finding systems,the impinging noise is a mixture of white noise and colored noise.The estimation performance of the traditional algorithm used for colored noise tends to decline when it is used under the background of white noise.Accordingly,a new source number estimation method based on the feature eliminated process is proposed in this study.The method performs the feature eliminated process on data covariance firstly.A group of new covariance matrixes according to the eigen-values are obtained.Using the projection matrixes of signal subspace and noise subspace to construct the criterion function,then get the number of signals.Simulation results show that the method proposed can effectively estimate the number of signals under the white noise and colored noise background.The algorithm can estimate the number of sources with high accuracy rate under the condition of small snapshot and low SNR without obvious computation increase.

source number estimation;colored noise;feature eliminated process;decision function

TN 911.7

A

10.3969/j.issn.1001-506X.2015.03.06

吳 娜(1986-),女,博士研究生,主要研究方向為寬帶系統(tǒng)的信號檢測、處理與識別。

E-mail:wunahmc@163.com司偉建(1971-),男,研究員,博士,主要研究方向為寬帶系統(tǒng)的信號檢測、處理與識別。

E-mail:swj0418@263.com焦淑紅(1966-),女,教授,博士,主要研究方向為無源定位寬帶信號處理。E-mail:jiaoshuhong@hrbeu.edu.cn吳 迪(1987-),女,博士研究生,主要研究方向為寬帶系統(tǒng)的信號檢測、處理與識別。

E-mail:wudi7212@126.com

網(wǎng)址:www.sys-ele.com

1001-506X(2015)03-0509-06

2013 12 02;

2014 06 10;網(wǎng)絡優(yōu)先出版日期:2014 09 26。

網(wǎng)絡優(yōu)先出版地址:http:∥w ww.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20140926.1557.016.html

中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金項目(HEUCF140803)資助課題