崔冰波，陳熙源，龔政仰

（1. 東南大學(xué) 儀器科學(xué)與工程學(xué)院 微慣性儀表與先進導(dǎo)航技術(shù)教育部重點實驗室，南京 210096；2. 重慶延鋒彼歐富維汽車外飾有限公司，重慶 401120）

基于經(jīng)驗?zāi)B(tài)概率分布的光纖陀螺信號處理

崔冰波1，陳熙源1，龔政仰2

（1. 東南大學(xué) 儀器科學(xué)與工程學(xué)院 微慣性儀表與先進導(dǎo)航技術(shù)教育部重點實驗室，南京 210096；2. 重慶延鋒彼歐富維汽車外飾有限公司，重慶 401120）

為了抑制光纖陀螺隨機漂移，基于改進的經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(EMD)和新型模態(tài)篩選標(biāo)準(zhǔn)提出了一種自適應(yīng)的區(qū)間閾值濾波方法。首先分析加入高斯噪聲對EMD分解結(jié)果的影響，提出有界噪聲輔助以改善EMD分解質(zhì)量，然后針對本征模態(tài)函數(shù)的概率分布特征提出了基于樣本熵的模態(tài)篩選標(biāo)準(zhǔn)，最后采用數(shù)據(jù)驅(qū)動的閾值選擇方法實現(xiàn)自適應(yīng)的區(qū)間閾值濾波。為了驗證算法的有效性，采集一款干涉型光纖陀螺靜態(tài)漂移信號進行實驗分析，結(jié)果表明本文方法較基于平穩(wěn)小波變換和EMD的閾值濾波有更好的去噪效果。仿真分析表明該去噪算法減小了捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的航向角誤差，均方根誤差較平穩(wěn)小波變換去噪算法改善了約78.6%。

光纖陀螺；經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解；概率密度函數(shù)；樣本熵

光纖陀螺(FOG)是一種基于Sagnac效應(yīng)的光學(xué)器件，具有易集成、動態(tài)范圍廣以及測量精度高等特點，已成為捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)(SINS)的理想器件。受信號檢測電路中分布電子的影響，F(xiàn)OG測量數(shù)據(jù)常常包含大量的非線性、非平穩(wěn)性噪聲，由于非旋轉(zhuǎn)所致的非互易性相移非常微弱，使得受載體狀態(tài)和環(huán)境因素影響產(chǎn)生的重復(fù)性漂移信號常常淹沒在噪聲中。對于影響 SINS系統(tǒng)短期精度的隨機噪聲和隨機游走系數(shù)，多采用去噪算法直接去除，而長期緩慢漂移誤差常淹沒在噪聲中，需要對其預(yù)處理才能軟件建模補償，因此研究適用于非平穩(wěn)信號的自適應(yīng)去噪方法具有重要意義。同時，受載體狀態(tài)和溫度環(huán)境的影響，準(zhǔn)確估計FOG噪聲的先驗統(tǒng)計信息非常困難[1]，參數(shù)化的去噪方法存在收斂速度慢、參數(shù)確定繁瑣等缺點，因此有必要研究FOG的非參數(shù)化去噪方法。

近年來小波分析因其良好的時頻特性和多分辨率能力，在非平穩(wěn)信號的去噪中獲得廣泛應(yīng)用，但由于預(yù)定義的小波分解參數(shù)具有非自適應(yīng)性，無法保證時變信號小波去噪的效果。經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(EMD)是一種數(shù)據(jù)驅(qū)動的時域自適應(yīng)分解算法，能根據(jù)信號成分的震蕩特性和幅值大小自適應(yīng)生成有限個物理意義明確的本征模態(tài)函數(shù)(IMFs)[2]。研究表明，EMD較小波分析方法更適合于處理非線性序列[3]，且基于部分IMFs集合進行信號重構(gòu)等同于自適應(yīng)時域濾波[4]。由于缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚摽蚣埽珽MD存在許多待解決的問題，其中模態(tài)混疊和端點效應(yīng)最為突出，Wu等人提出的整體經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(EEMD)顯著改善了EMD的實用性[5]，但是噪聲的加入使其在低頻IMFs中產(chǎn)生了虛假的模態(tài)，降低了EMD的數(shù)據(jù)驅(qū)動特性，且顯著增加了運算量。文獻[6]分析了隨機噪聲對非線性信號EMD分解的影響，結(jié)果表明其主要影響低階模態(tài)的分解精度，因此改善低階模態(tài)的精度可以顯著抑制噪聲對信號有效成分分解的影響。此外，Kopsinis提出基于模態(tài)單元極值大小的區(qū)間閾值濾波(EMD-IT)[7]，解決了基于幅值的閾值縮放破壞信號連續(xù)性的問題，但其濾波效果受分解精度和模態(tài)篩選結(jié)果影響較大，且沒有建立針對高斯分形噪聲的閾值選擇規(guī)則。文獻[8]基于高斯噪聲EMD分解的方差傳播特性，建立了適用于高斯分形噪聲的閾值選擇方法，但其同樣沒有明確提出模態(tài)集合的篩選標(biāo)準(zhǔn)。在我們之前的工作中[9-[10]，完成了對EMD分解方法的改進，但沒有詳細(xì)描述其作用機理，受信號信噪比和長度影響較大。

本文針對上述問題，提出了基于有界EEMD (BEEMD)分解和新型模態(tài)篩選規(guī)則的區(qū)間閾值濾波 (BEEMD-IT)，其主要特征包括：① 采用有界的噪聲輔助分析(NADA)方法，增強低頻模態(tài)分解的數(shù)據(jù)驅(qū)動特性；② 針對含高斯噪聲信號EMD分解的特性，提出了基于信號模態(tài)概率密度函數(shù)(PDF)和樣本熵(SE)的模態(tài)篩選規(guī)則；③ 建立了適用于高斯分形噪聲的自適應(yīng)閾值選擇策略。實驗和仿真結(jié)果表明，BEEMD-IT較EMD-IT和基于平穩(wěn)小波變換(SWT)的閾值濾波有明顯優(yōu)勢。

1 EEMD原理

EMD是一種基于信號局部震蕩特性的分解方法，信號中的間歇性振蕩成分易產(chǎn)生模態(tài)混疊現(xiàn)象，同時EMD易受極值點分布影響導(dǎo)致其對異常(如隨機噪聲)出現(xiàn)位置敏感。為了消除這種由于極值點變動引起的分解不穩(wěn)定現(xiàn)象，Wu和Huang基于高斯噪聲EMD分解后呈出的二進濾波特性[11]和隨機共振理論提出了EEMD。設(shè)待分析信號為x(t)，白噪聲加入的次數(shù)為I，噪聲的幅值為β，EEMD的實現(xiàn)過程描述如下[5]：

步驟2：對yi(t)分解得到重復(fù)步驟1、步驟2共i次，每次均隨機生成新的以保證每次分解得到IMFs的統(tǒng)計獨立性；

由 EEMD算法描述可知，其分解精度受β大小和 i次數(shù)的影響較大，Wu等人建議一般β可取 0.2倍的x(t)的標(biāo)準(zhǔn)差。仿真實驗表明，通過增大I可以減弱噪聲引入對EMD分解影響，然而這將顯著增加算法的運算量。

2 改進的噪聲輔助

2.1 噪聲輔助特征

Huang認(rèn)為造成模態(tài)混疊的原因是信號中存在間歇性，強化各包絡(luò)極值點序列的連續(xù)性可以改善模態(tài)混疊。然而由于模態(tài)的過零點對噪聲非常敏感，基于有限次噪聲輔助實驗的樣本集合，無法適應(yīng)于高斯分布的大數(shù)定律，即對得到的 IMFs集合求平均無法消除不同噪聲輔助產(chǎn)生的差異性。雖然增大實驗次數(shù)可以降低該誤差，但將導(dǎo)致 EEMD整體運算量顯著增加。如果僅對噪聲主導(dǎo)的模態(tài)進行輔助分析，殘余噪聲存在的模態(tài)會在信號重構(gòu)中直接舍去。此外，EEMD中使用的 NADA存在不同隨機高斯白噪聲與信號的累加，由于EMD分解對隨機噪聲非常敏感，可能導(dǎo)致每次分解會生成不同個數(shù)的IMFs。實驗研究表明，高斯白噪聲EMD分解的各階IMFs能量譜呈現(xiàn)出二進濾波器的特性，IMFs幅值具有穩(wěn)定的連續(xù)性特征，但這種能量傳播特性在低頻 IMFs中誤差較大[5]。由于EMD總是依次篩選出信號中的高頻信息，而基于EMD的濾波過程主要是濾除存在于低階IMFs中的高頻噪聲，所以如果能正確地選擇出含噪聲的IMFs，即使是不完全的EMD分解同樣能提取出信號的低頻特征。

EEMD存在的主要問題包括：① 平均處理的對象是含噪的IMFs，而不是通過加入噪聲使過零點改變的包絡(luò)線均值，這使得有限次平均后的 IMFs中殘留較多的噪聲；② 由隨機共振理論可知[12]，NADA類似于對信號低通濾波，從而能分離出信號中的弱特征信息，其對處理高頻成分的模態(tài)混疊非常有效，然而受分解時端點效應(yīng)和非理想包絡(luò)擬合等因素影響，低頻IMFs進行 NADA會生成虛假模態(tài)；③ 高斯噪聲分解的這種二進濾波特性在低階 IMFs中誤差較大，有限次加噪分解得到的同一階 IMFs的差異性無法通過平均消除。文獻[13]提出一種迭代加噪篩選 IMFs的方法(CEEMDAN)，其篩選出1階IMFs后停止此次加噪篩選，然后對余項再進行類似處理得到下1階IMFs。該方法有效地解決了由于 EEMD不同隨機噪聲輔助分解后IMFs個數(shù)不一致問題。由于CEEMDAN基于NADA生成全部 IMFs，其運算量依然較大，且受有限次平均處理的影響，信噪比較高時低頻 IMFs中易產(chǎn)生分解誤差。

2.2 有界噪聲輔助分析

采用EMD和CEEMDAN軟件包分析信號y(t)的模態(tài)組成，其中EMD算法采用工具箱中的默認(rèn)設(shè)置，CEEMDAN和BEEMD的噪聲輔助次數(shù)分別為100次和50次，α均為0.2，其中BEEMD僅噪聲輔助產(chǎn)生第1階IMFs，其分解結(jié)果如圖1所示。

圖1 仿真信號經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解Fig.1 Empirical mode decomposition of simulated signal

由圖1知，EMD存在明顯的模態(tài)混疊，無法直接判斷出信號中的模態(tài)成分。CEEMDAN清晰地分解出了3種頻率信號，分別位于第1階、第3階以及第6階，但其產(chǎn)生了大量的虛假模態(tài)，混淆了信號成分的物理意義。BEEMD準(zhǔn)確地篩選出3個信號分量且沒有產(chǎn)生虛假分量，其運算量顯著小于CEEMDAN。此外，EEMD、CEEMDAN和BEEMD的NADA引入的殘余噪聲均方根分別為4.6e-4、2.0e-32和5.5e-33，可以認(rèn)為迭代加噪篩選方式顯著改善了 EEMD算法存在的噪聲殘留問題。

3 自適應(yīng)閾值濾波

在基于EMD的閾值濾波中，閾值縮放對象以及閾值的選擇顯著影響其去噪結(jié)果，本文提出了基于PDF和能量估計的方法處理上述問題?；诜讲钬暙I率和相關(guān)系數(shù)的模態(tài)分量篩選受數(shù)據(jù)長度和信噪比影響較大，建立經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解效果的評價標(biāo)準(zhǔn)是 EMD工程實踐中的研究熱點。理想情況下，EMD分解得到的各模態(tài)都表征獨立的物理意義，如果能建立模態(tài)的特征函數(shù)并以其為標(biāo)準(zhǔn)篩選模態(tài)，必然能較好地篩選出具有不同震蕩特征的模態(tài)。然而由于EMD缺少嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚撝?，直接獲取解析形式的模態(tài)特征函數(shù)非常困難，考慮到概率密度函數(shù)(PDF)與特征函數(shù)為傅里葉變換對，基于模態(tài)的PDF建立模態(tài)篩選依據(jù)具有可行性。文獻[15]提出衡量兩PDF幾何形狀相似性的l2準(zhǔn)則，設(shè)P和Q分別為PDF序列，定義l2準(zhǔn)則為

則與式(1)對應(yīng)的相似度L可定義為

在篩選有效模態(tài)時，定義經(jīng)驗公式：

最后，基于kth重構(gòu)信號就得到了信號中的低頻有效信息。文獻[8]研究發(fā)現(xiàn)，式(6)不適合處理具有長期記憶性特征的陀螺漂移信號，針對不同的Hurst(H)指數(shù)的信號需要經(jīng)驗性的修正kth的選取。然而，在含噪信號的分解中，由于l2準(zhǔn)則對信號特征分量不加區(qū)分處理，并且有效信息篩選容易受特征分量數(shù)目影響，導(dǎo)致其信號重構(gòu)誤差較大。

對于含高斯噪聲的陀螺信號分解，受高斯噪聲分解二進濾波特性的影響，低信噪比模態(tài)的分解結(jié)果仍近似為規(guī)則的高斯分布。為了篩選出有效的模態(tài)信息，本文基于樣本熵(sample entropy, SE)理論評價模態(tài)序列的復(fù)雜性，SE（記為Esample）是評價時間序列復(fù)雜性的有效工具，值越小說明序列自相似性越高，限于篇幅，樣本熵的計算步驟見文獻[16]。當(dāng)模態(tài)成分為噪聲主導(dǎo)時，其PDF近似為形狀規(guī)則的高斯分布，即其Esample值較?。浑S著模態(tài)中低頻成分的出現(xiàn)，其統(tǒng)計特征發(fā)生變化，進而使得其 PDF形狀變的不規(guī)則，導(dǎo)致Esample值逐漸增大。因此可以基于Esample值的變化確定信號中的低頻成分，修改式(6)為

EMD分解結(jié)果中必定存在噪聲和有效信息共存的模態(tài)，即需要采用閾值濾波提取含噪模態(tài)中的有效信息。為了建立魯棒的閾值選擇策略，采用周期圖法估計陀螺漂移信號的H指數(shù)，并建立該H值下高斯噪聲EMD分解的方差傳播模型。設(shè)SH(f)為零均值高斯平穩(wěn)過程的能量譜密度(PSD)，其表現(xiàn)形式如下[17]：

式中，c為常數(shù)，通過擬合陀螺輸出信號的PSD雙對數(shù)周期圖得1-2H。由于采用NADA改進了EMD算法，其第1階IMFs為噪聲的假設(shè)可信度更高。根據(jù)EMD分解特點，可以將與第1階模態(tài)具有相近Esample和相似度L的模態(tài)定義為噪聲主導(dǎo)模態(tài)。設(shè)m+1為噪聲主導(dǎo)模態(tài)的邊界，則第m階IMFs的標(biāo)準(zhǔn)差σ?(m)的魯棒估計為

4 實驗仿真

分別采用BEEMD-IT、EMD-IT以及基于SWT的閾值濾波對FOG輸出信號進行去噪處理，其中SWT的分解層數(shù)為4，小波基為sym4，采用整體閾值方法，BEEMD-IT、EMD-IT采用相同的閾值策略，三種方法均采用硬閾值濾波。在30℃恒溫環(huán)境下，采集一款干涉型FOG的靜態(tài)漂移數(shù)據(jù)驗證BEEMD-T方法的有效性。將FOG安裝在靜止的溫度控制實驗箱中，溫度傳感器安裝在陀螺外殼上，調(diào)整溫控箱溫度為30℃。為了消除陀螺啟動誤差影響，陀螺開機后恒溫2 h后采集陀螺數(shù)據(jù)，采樣頻率為100 Hz，實驗時長4 h。為了方便EMD分析，對FOG數(shù)據(jù)進行長度為100的平滑，使得數(shù)據(jù)更新間隔為1 s。BEEMD的加噪次數(shù)為50，輔助階數(shù)為1，α=0.2。

圖2為30 min陀螺靜態(tài)漂移數(shù)據(jù)的特征相關(guān)分析歸一化計算結(jié)果，分別采用l2準(zhǔn)則和SE分析BEEMD和EMD分解后的模態(tài)。由圖2可知，在信噪比較低情況下，l2準(zhǔn)則無法分離出漂移信號的趨勢項，而采用基于SE的方法仍然可以找到低頻特征拐點。信號的前4階IMFs近似為規(guī)則的PDF分布，可將它們定性為噪聲主導(dǎo)模態(tài)，第5～7階為噪聲混合模態(tài)。同時，BEEMD比EMD分解減少2個模態(tài)，特征變化尖峰形狀更加尖銳，說明其各模態(tài)的物理意義較EMD分解結(jié)果更加獨立。

圖2 FOG隨機漂移信號分析Fig.2 Analysis of FOG random drift signal

對 FOG靜態(tài)漂移數(shù)據(jù)雙對數(shù)周期圖采用線性擬合，得其 H值約為 0.74，根據(jù)式(8)～(10)可以確定BEEMD-IT閾值，漂移數(shù)據(jù)去噪結(jié)果如圖3和表1所示。三種方法對 FOG輸出表現(xiàn)為白噪聲的量化誤差(Q)和隨機游走系數(shù)(N)具有良好的抑制效果，但是受小波濾波的帶通濾波特性制約，SWT無法抑制零偏不穩(wěn)定性(B)。由于采用改進的噪聲輔助分解，BEEMD-IT較EMD-IT在濾除短期噪聲上性能更優(yōu)。SWT和EMD-IT在濾除具有長期記憶性特征的速率隨機游走(K)效果不明顯，由于 BEEMD-IT的閾值選擇考慮到了不同H值數(shù)據(jù)的特征，其抑制分形噪聲效果優(yōu)于兩者。速率斜坡(R)產(chǎn)生原因可能是光源強度的單調(diào)變化或者檢測電路中受溫度影響電子漂移導(dǎo)致的單項緩慢變化，即其是一種確定性單向信號，可以在去噪后建立數(shù)學(xué)建模進行補償。

為了直觀地對比分析基于BEEMD和SWT的去噪方法對SINS精度的影響，建立戰(zhàn)術(shù)級陀螺數(shù)據(jù)的生成模型如下：

式中：ωz為理論的Z軸向陀螺輸出，bnull為3.5 (°)/h陀螺零漂，bbias為一階高斯馬爾科夫模型表示的陀螺偏置，其相關(guān)時間為300 s，標(biāo)準(zhǔn)差為0.05°，nz為標(biāo)準(zhǔn)差為0.1°的寬帶白噪聲。仿真時長為34 m，數(shù)據(jù)更新率為1 s，軌跡為恒定速度的北向正弦運動，SWT和BEEMD分解參數(shù)與FOG數(shù)據(jù)分析相同。值得注意的是，當(dāng)信噪比較高時，含周期性角速率信號模態(tài)的PDF函數(shù) SE值較小，此時選擇PDF的Esample值比第1階IMFs小的模態(tài)作為kth。

圖3 FOG靜態(tài)漂移信號的Allan方差分析Fig.3 Analysis on Allan deviations of FOG static drift signal

表1 FOG靜態(tài)漂移信號Allan誤差項對比分析Tab.1 Comparison analysis on Allan error terms for FOG static drift signal

圖4為基于仿真數(shù)據(jù)的航向角解算誤差，原始數(shù)據(jù)的航向角均方誤差為0.22°，SWT和BEEMD-IT處理后航向角均方誤差分別為 0.14° 和 0.03°，且BEEMD-IT較SWT能更好地抑制了長相關(guān)周期的噪聲對導(dǎo)航解算的影響。可以預(yù)見，隨著導(dǎo)航系統(tǒng)的運行，兩者的性能差別會逐漸增大。

圖4 捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)航向角誤差Fig.4 Heading error of strapdown inertial navigation system

5 結(jié) 論

綜上所述，BEEMD是一種有效的非平穩(wěn)信號處理方法，它降低了EEMD及CEEMDAN的運算量，增強了EMD低頻模態(tài)分量的物理意義，減少了虛假模態(tài)的生成。基于BEEMD-IT的陀螺信號處理結(jié)果表明，基于PDF樣本熵的模態(tài)評價標(biāo)準(zhǔn)能較好地篩選出復(fù)雜微弱信號的有效特征。SINS仿真實驗進一步驗證了BEEMD-IT處理長相關(guān)周期噪聲的有效性。然而，受模態(tài)均值求解速度的影響，BEEMD當(dāng)前主要適用于批處理形式的離線信號處理（如光纖陀螺的誤差建模、故障診斷等），研究進一步提高其分解速度的方法對其實時在線應(yīng)用具有重要意義。

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Fiber optic gyro signal processing based on empirical mode probability distribution

CUI Bing-bo1, CHEN Xi-yuan1, GONG Zheng-yang2
(1. Key Laboratory of Micro-Inertial Instrument and Advanced Navigation Technology, Ministry of Education, School of Instrument Science and Engineering, Southeast University, Nanjing 210096, China; 2. Chongqing Yanfeng Plastic Omnium Faway Automotive Exteriors Co., Ltd., Chongqing 401120, China)

Based on an improved empirical mode decomposition (EMD) and a newly proposed mode selection criterion, an adaptive interval threshold filtering method is developed to mitigate the random drift of fiber optic gyroscope. First, the effect of adding Gaussian noise to assist EMD decomposition is analyzed, and a bounded assist is developed to improve decomposition quality. Then, aiming at the probability distribution feature of intrinsic mode function, a novel mode selection criterion is proposed. Finally, an adaptive interval threshold filter is developed based on data-driven threshold selection. The experiment analysis, which employs static data detected from an interferometric FOG, is performed to verify the proposed algorithm, and the results show that, compared with threshold filtering methods based on stationary wavelet transform (SWT) and EMD, the proposed method significantly improves the denoising result. In addition, the simulation results show that, compared with SWT-based method, the proposed method improves the heading accuracy of strapdown inertial navigation system by 78.6% in term of mean square error.

fiber optic gyroscope; empirical mode decomposition; probability density function; sample entropy

V241.5

：A

2015-05-19；

：2015-09-10

國家自然科學(xué)基金（51375087，50975049），江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計劃資助項目（KYLX_0106）

崔冰波（1986—），男，博士研究生，從事光纖陀螺信號處理及組合導(dǎo)航技術(shù)研究。E-mail: cuibingbo@163.com

聯(lián) 系 人：陳熙源（1962—），男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail: chxiyuan@seu.edu.cn

1005-6734(2015)05-0690-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2015.05.023