楊在林，黑寶平，王 耀

(哈爾濱工程大學 航天與建筑工程學院，哈爾濱 150001)

非均勻介質(zhì)中波的傳播研究為聲波、電磁波、地震波等領(lǐng)域的重要課題，并逐漸成為研究熱點。非均勻介質(zhì)中影響波傳播的變化因素較多，如彈性模量、密度、深度、波速等。其中對波數(shù)變化研究尤其重要。豎向非均勻介質(zhì)中波的傳播問題是研究復雜介質(zhì)的基礎(chǔ)。一維變化的非均勻介質(zhì)通常體現(xiàn)在密度、折射率、波速、深度及波數(shù)(在一定條件下波數(shù)等效波速，兩者可相互轉(zhuǎn)換)等其中之一按某種函數(shù)關(guān)系在某特定方向的變化。研究豎向非均勻介質(zhì)中波傳播有多種方法。解析結(jié)果雖能獲得理想情形，但僅當波數(shù)按某些特定形式變化及經(jīng)特殊函數(shù)處理后才可獲得封閉的嚴格解［1］。

基于Green's函數(shù)在研究均勻各向同性介質(zhì)中波動問題的優(yōu)越性，在對非均勻介質(zhì)研究中尤其重要。在無限非均勻介質(zhì)中，Hook［2］通過Green's函數(shù)法解決了常速度梯度變化的對稱彈性波傳播問題。Daros［3－4］研究非均勻各向異性介質(zhì)中SH波基礎(chǔ)解時，推導出一系列轉(zhuǎn)化公式，用于推導線性波速變化的非均勻介質(zhì)基本解研究。在此基礎(chǔ)上采用Green's函數(shù)解決波速按指數(shù)變化的一維非均勻各向異性介質(zhì)中SH波傳播問題。Li等［5－7］利用 Green's函數(shù)的一重積分表達式對線性聲速剖面及變化折射率剖面非均勻介質(zhì)進行研究，并將此方法拓展到對聲速隨高度變化的大氣層研究。Manolis等［8－9］運用保角映射與變量轉(zhuǎn)化獲得用Green's函數(shù)表示的廣義Helmholtz方程基礎(chǔ)解。對基于介質(zhì)的非均勻性，廣泛用于各向異性、正交同性均勻介質(zhì)中的 Green's函數(shù)已發(fā)生變化，如彈性動力學Green's函數(shù)法［10］、Green's函數(shù)有限元法［11］、Green's函數(shù)譜函數(shù)法［12］等。另一種解析法通常將一維變系數(shù)波動方程轉(zhuǎn)化為 Schr?dinger型方程［13－16］，利用路徑積分解法的優(yōu)越性間接求得波動解。該轉(zhuǎn)化過程較復雜，尤其尋求有效代換較困難。文獻［17］對脈沖點源在非均勻彈性半空間中的波動問題進行研究，將豎向、水平方向位移由介質(zhì)全反射系數(shù)的積分形式表示，但結(jié)果表示較復雜，且不能對波的傳播特性更深入分析。因各單元均由介質(zhì)的物理性質(zhì)決定，故不便于將其一般化。

本文研究點源在半無限空間內(nèi)部情形，可模擬大氣、海水中爆炸及地震動問題。Alekseev等［18］研究波數(shù)隨深度變化時點源在自由界面情況，并認為在時域下更易解決其逆問題。對點源在半空間內(nèi)部情形，研究各種特定的速度變化剖面，指數(shù)變化例外［19－20］。本文主要考慮波速以負指數(shù)次冪變化的豎向非均勻介質(zhì)中波的傳播問題，在分離變量基礎(chǔ)上經(jīng)Hankel函數(shù)獲得在給定邊界下速度勢函數(shù)。波在非均勻介質(zhì)傳播會產(chǎn)生陰影區(qū)域，其大小與距點源距離及波動頻率相關(guān)。

1 模型建立及邊界條件

本文研究半無限非均勻空間中二維波傳播問題。介質(zhì)參數(shù)由波速c(z)(波數(shù)k(z)=ω/c(z))變化而定。平面x=a為全反射表面，僅研究z＞a半空間在深度h處有點源P，到z軸的距離記為r，以此為邊界，將半空間分為Ⅰ(a＜z＜b)、Ⅱ(z＞b)兩區(qū)域，見圖 1。其中φ1，φ2分別為兩區(qū)域速度勢函數(shù)，在區(qū)域Ⅱ中，點源附近的勢能為φs=(1/r)eikr。

圖1 半無限非均勻空間中的點源PFig.1 Point source P in semi－infinite inhomogeneous space

問題的邊界條件為:① 在自由表面z=a處，聲壓全部消失，即φ1=0;② 對區(qū)域Ⅱ(z＞b)，聲波φ2須由點源P向外傳播的發(fā)散波;③ 在z=b，r≠0處，聲速分量連續(xù)，即φ1=φ2;④ 在z=b，r=0處，速度垂直分量非連續(xù)，即?φ1/?z－ ?φ2/?z=－D，其中 D 為測量聲波強度常數(shù)，與r方向速度勢有關(guān)。

2 控制方程及解答

基于時間簡諧波的線性波動方程為

聲壓或介質(zhì)密度為

式中:c0為波速常數(shù);ρ0為介質(zhì)密度。

設(shè)Laplace變量s=υ+iω，則有 Laplace變換及逆變換［21］為

將式(4)代入式(1)去除時間因子，得相應的Helmholtz方程為

定義(υ +iω)/c0=i k，得約化 Helmholtz方程為

式中:k=(ω－iυ)/c0;(x，y，z)為平面笛卡爾坐標系。式(1)的解可表述為

式(6)可表示在特定深度下線性波傳播的控制方程。全部波動勢能為

式中:φ可以為壓力、位移或速度勢，可據(jù)邊界條件的適用性選擇變量。本文設(shè)其為速度勢，若設(shè)υ=0，則波數(shù)k可表示為k=ω/c0，與簡諧波相同。

式(8)為相對于自由表面z=a在z=b處的勢能。波數(shù)k(z)與水深a+b=h(x，y)與波角頻率ω關(guān)系為ω2=gk tan(kh) (9)式中:g為重力加速度。

用分離變量法解決速度勢問題。式(6)在柱坐標系(r，θ，z)下表示，不考慮θ對方程的影響，設(shè)φ=R(r)Z(z)，將波動方程轉(zhuǎn)化為

式中:λ為在r方向的傳播常數(shù)。

因速度分量在r=0、r=∞處均須為有限值故式(8)的解為

式中:J0(·)為零階第一類Bessel函數(shù)。

設(shè)聲速在z方向以負指數(shù)形式變化，則可表示為

式中:c0=2π/ω為在均勻介質(zhì)中的波速;m為任意常數(shù)。

將式(13)代入式(11)，可表示為

由式(1)得

則有

將式(17)代入式(3)、(4)整理得

由此確定A，C，可表示為含D的表達式，即

點源在z平面內(nèi)的速度勢正比于

具有任意速度勢剖面c(z)的豎向非均勻介質(zhì)中，速度勢函數(shù) φ 可表示為 Sommerfeld－type 積分［7，22］，即

又有

式中:Hankel函數(shù)可由積分獲得，即

若使式(26)收斂，H(·)可取 ζ=ξ+iη平面內(nèi)W1，W2兩積分路徑或J(·)取W0為積分路徑，見圖2。

將式(25)、(26)代入式(12)可得J0(r)。從而由式(24)表示獲得φ1，φ2積分表達式。

對波速設(shè)定具有一般性，令式(13)中m=0，則可退化到均勻介質(zhì)中波速按常數(shù)c0恒定不變的波傳播問題。此時，對應的速度勢函數(shù)(24)轉(zhuǎn)化為

圖2 Hankel函數(shù)積分路徑Fig.2 Integrating path of Hankel function

3 結(jié)論

(1)本文研究波速以負指數(shù)次冪變化的豎向非均勻介質(zhì)中波傳播問題。通過對半無限非均勻空間中波動方程推導、求解，獲得速度勢函數(shù)的積分表達式，且可退化到均勻介質(zhì)，具有普遍適用性。

(2)在該非均勻介質(zhì)中，由于波連續(xù)折射可會產(chǎn)生陰影區(qū)域，其大小可與到點源的距離及波動頻率有關(guān)。該結(jié)果可為深入研究大氣層中聲波、地震波傳播機理提供參考。

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