周小紅

[摘要]數(shù)學的本質(zhì)是轉化，即把生疏的、抽象的、復雜的問題轉化為熟悉的、具體的、簡單的問題.數(shù)學轉化思想是指把問題元素從一種形式向另一種形式轉化的能力.教學中滲透轉化思想，可提高學生的思維能力和解題能力.

[關鍵詞]轉化方法思維能力解題能力

[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號]16746058（2015）020056

轉化是對原問題換一個方式、換一個角度、換一個觀點加以考慮，把要解決的問題化為一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問題的思維方法.數(shù)學轉化思想無處不在，它是分析問題、解決問題的有效途徑，它包含了數(shù)學特有的數(shù)、式、形的相互轉換.常用的轉化方法有換元法、等積轉化法、函數(shù)法、特殊值法等.

一、換元法

換元法就是在解數(shù)學題時，把某個式子看成一個整體，用另一個變量去代替它，從而簡化問題.換元的本質(zhì)是轉化，將問題轉移至新對象的知識背景中去研究，從而使復雜問題簡單化.

【例1】如果a、b是一元二次方程x2+3x-2=0的兩個根，則a2+2a-b的值為.

分析：a、b是一元二次方程x2+3x-2=0的兩個根，可用求根公式求出a、b，再把a、b代入代數(shù)式a2+2a-b求值.但這樣計算太過麻煩，一是根的結果復雜；二是要分兩種情況討論兩根的取值；三是根的平方計算不易.因此，此種方法不可取，我們可用等價代換和整體代換的方法輕松解決這一問題.

解：∵a是一元二次方程x2+3x-2=0的根，

∴a2+3a-2=0，即a2=2-3a，

∴a2+2a-b=2-3a+2a-b=2-a-b=2-（a+b）.

又∵a、b是一元二次方程x2+3x-2=0的兩個根，

∴a+b=-3，

∴a2+2a-b=2-（a+b）=2-（-3）=5.

二、等積轉化法

求線段的長，有時可以轉化為點到線的距離，再把相應的線段放入三角形中，往往可以由等面積這一等式，轉變成線段間的關系.

圖1【例2】如圖1，P為邊長為a的正三角形ABC內(nèi)任一點，過點P分別向三邊作垂線，垂足分別為D、E、F，求PD+PE+PF.

分析：P為正三角形ABC內(nèi)一動點，而PD+PE+PF是三條動線段之和.但PD、PE、PF又是三條垂線段，可聯(lián)想到三角形的高.因此，連接PA、PB、PC，△ABC就被分割成三個三角形，從而就有大三角形的面積等于三個小三角形面積之和，從而求得PD+PE+PF.

解：連接PA、PB、PC，則S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PCA.

∵△ABC是邊長為a的正三角形，

∴S△ABC=143a2.

又∵PD、PE、PF分別垂直AB、BC、CA于D、E、F，

∴S△PAB=12AB·PD，S△PBC=12BC·PE，S△PCA=CA·PF，

∴143a2=12a·PD+12a·PE+12a·PF，

即143a2=12a（PD+PE+PF），

∴PD+PE+PF=32a.

三、函數(shù)法

函數(shù)思想是一種重要的數(shù)學思想，一些幾何問題、方程問題、不等式問題和代數(shù)問題等，可以轉化為與其相關的函數(shù)問題，即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問題.

圖2【例3】如圖2，已知半徑為2的⊙O與直線l相切于點A，點P是直徑AB左側半圓上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為C，PC與⊙O交于點D，連接PA、PB，設PC的長為x（2

（1）當x=52時，求弦PA、PB的長度；

（2）當x為何值時，PD·CD的值最大？最大值是多少？

分析：（1）由△PCA∽△APB，可得線段比例，將PC及直徑AB的長代入求出PA的長，再在Rt△PAB中，由AB及PA的長，利用勾股定理即可求出PB的長.

（2）求最值問題，一般要考慮到函數(shù)關系式的應用，特別是二次函數(shù)的應用.本小題題可先用含x的代數(shù)式分別表示PD、CD，整理出PD·CD是關于x的二次函數(shù)，最后根據(jù)自變量x的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出式子的最大值及此時x的取值.

解：（1）∵⊙O與直線l相切于點A，且AB為⊙O的直徑，∴AB⊥l.

又∵PC⊥l，∴AB∥PC，∴∠CPA=∠PAB.

∵AB是⊙O的直徑，∴∠APB=90°.

又PC⊥l，∴∠PCA=∠APB=90°，∴△PCA∽△APB，

∴y=x-1+4x-1+3≤-4+3=1，

當且僅當-（x-1）=4-（x-1），即x=-1時，等號成立.

當x=-1時，ymax=-1.

2.變定值

【例2】求函數(shù)f（x）=x2+4x2+1的最小值.

分析：因為x2×4x2+1不是“定值”，故不能直接運用基本不等式求解，為此需對原式按x2+1添（拆）項進行重組.

解：原函數(shù)化為f（x）=（x2+1）+4x2+1-1.

因為（x2+1）+4x2+1≥2（x2+1）×4x2+1=4，

當且僅當（x2+1）=4x2+1，即x=1或x=-1時，等號成立.

即f（x）≥4-1=3，所以f（x）min=3.

3.找等號

【例3】求函數(shù)f（x）=sin+4sinx，x∈（0，π）的最小值.

分析：運用基本不等式求三角函數(shù)的最值時，既要考慮等號，又要考慮三角函數(shù)的有界性（-1≤sinx≤1），使等號成立的條件與三角函數(shù)的有界性保持一致.

解：原函數(shù)化為f（x）=（sinx+1sinx）+3sinx.

∵x∈（0，π），∴0

∴sinx+1sinx≥2sinx×1sinx=2，

當且僅當sinx=1sinx，即sinx=1，x=π2時，等號成立.

故f（x）min=2+3=5.

4.拆項

【例4】設x>-1，求函數(shù)y=（x+9）（x+3）x+1的最小值.

分析：分子和分母沒有相同的因式，很難化簡成兩項的和或兩項的積，也就很難運用基本不等式，而分母中有x+1這個因式，所以分子的兩個因式也要拆成有x+1的因式，通過約分使其有兩項的和.

解：y=[（x+1）+8][（x+1）+2]x+1=（x+1）+16x+1+10≥2（x+1）×16x+1+10，

當且僅當x+1=16x+1，即x=3（x=-5舍去）時，等號成立.

∴ymin=18.

5.“1”的巧妙代換

【例5】已知x，y∈R+，且x+y=4，求1x+3y的最小值.

分析：這是一個條件不等式，而1x×3y并不是定值，所以需要對所求式子等價變形.1x+3y=1×（1x+3y）=x+y4（1x+3y）=y4x+3x4y+1，可以運用基本不等式來求解.

解：1x+3y=x+y4（1x+3y）=y4x+3x4y+1≥3y4x×3x4y+1=1+32，

當且僅當y4x=3x4y且x+y=4，即x=23-2，y=6-23時，等號成立.

所以1x+3y的最小值為1+32.

6.平方

【例6】已知x>0，y>0，且2x2+y23=8，求x6+2y2的最大值.

分析：條件式中的x，y都是平方式，而所求式中的x是一次式，y是平方式.若把所求式x6+2y2平方，則與已知條件的平方吻合，即可運用基本不等式來求解.

解：（x6+2y2）2=x2（6+2y）=3·2x2（1+y23）≤3[2x2+（1+y23）2]2=934.

當且僅當2x2=1+y23，即x=2，y=21時，等號成立.

所以，x6+2y2的最大值為923.

上述只是介紹了幾種常見的轉化方法，當然還有其他的方法，比如換元法、取倒數(shù)法、構造參數(shù)法、多次運用基本不等式等，在這里筆者就不一一介紹了.

總之，基本不等式是解決最值問題的有效工具.運用基本不等式求最值要同時滿足三個條件：一正、二定、三相等，缺一不可.多數(shù)求最值的問題具有隱蔽性，學生掌握一些常見的變形技巧，可以更好地運用基本不等式求最值.

（責任編輯鐘偉芳）