李承華

高中數(shù)學(xué)人教版A版本必修2第四章，第二節(jié)（4.2.1）

例2.已知過(guò)點(diǎn)M（-3，-3）的直線ι被圓x2+y2-4x-21=0所截得的弦長(zhǎng)為4 ，求直線ι的方程。

分析：此題主要是鞏固點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷，顯然點(diǎn)M（-3，-3）在圓內(nèi)，過(guò)點(diǎn)M（-3，-3）的弦，有無(wú)數(shù)多條，過(guò)此點(diǎn)的弦定長(zhǎng)為4 的弦會(huì)有幾條呢？

提示學(xué)生利用幾何直觀進(jìn)行課堂探究，將代數(shù)問(wèn)題幾何化;

圓心（0，-2） 半徑r= =5 ?弦心距d= 直線ι的斜率k是否存在？

若k不存在，則ι的方程為x=-3代入圓的方程得y2+4y-12=0

解得y1=-6或y2=2 此時(shí) 得弦長(zhǎng)L=8≠4

故過(guò)點(diǎn)M（-3，-3）的直線k的斜率存在，設(shè)過(guò)點(diǎn)M（-3，-3）的斜率為k，則ι的方程y+3=k（x+3），整理得kx-y+3k-3=0

代入點(diǎn)線距公式得

弦心距d= ，d=

r2=（ ）2+d2 即25=50+d2 解得d=

|3k-1|= ?兩邊平方得2k2-3k-2=0

解得k1=- 或k2=2

所以直線ι有兩條，它們的方程分別為y+3=- （x+3）

或y+3=2（x+3）

x+2y+9=0或2x-y+3=0

回代后，兩條直線均滿足條件。

題后想：條件①圓的一般方程，②弦長(zhǎng)，③定點(diǎn)（在圓內(nèi)），求解過(guò)定點(diǎn)的直線方程。

以上是在圓中與弦有關(guān)的問(wèn)題，稱(chēng)為“弦長(zhǎng)問(wèn)題”，通常要培養(yǎng)學(xué)生具備以下能力：①知道弦長(zhǎng)求直線方程，②知道方程求弦長(zhǎng);

例2是對(duì)能力①的訓(xùn)練.

現(xiàn)舉例對(duì)能力②作目標(biāo)訓(xùn)練：

圓的方程x2+y2-4x-21=0被直線3x-2y-6=0所截，求弦長(zhǎng).

分析：弦心距d、半弦長(zhǎng)、圓的半徑構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理，得r2=（ ）2+d2 ? d= = ? ? ?r=5

代入后解得L=

題后想：條件①圓的一般方程，②直線的一般方程;求解直線在圓上的弦長(zhǎng).

在以上的兩個(gè)例題的解答過(guò)程中，同樣用到幾何直觀;分別就已知弦長(zhǎng)求方程，已知直線和圓的方程求弦長(zhǎng);第一個(gè)問(wèn)題側(cè)向代數(shù)解決問(wèn)題，第二個(gè)問(wèn)題側(cè)向幾何直觀解決問(wèn)題，同時(shí)都滲透了數(shù)形結(jié)合思想，看到形要能聯(lián)系到方程，看到方程能聯(lián)系到幾何圖形;最后在數(shù)形結(jié)合中解決“弦長(zhǎng)問(wèn)題”。