蔣明玉

在歷史上，論勤奮與對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，很難有哪位數(shù)學(xué)家能夠與歐拉相比，

歐拉往往能從被人們忽視的現(xiàn)象中提出有創(chuàng)新意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題，開(kāi)辟數(shù)學(xué)科學(xué)中新的領(lǐng)域。

如天平的砝碼是用天平稱(chēng)物的重要工具，那么準(zhǔn)備怎樣的一組砝碼，在只允許將其放在天平的一端的情況下，可以保證稱(chēng)出砝碼總克數(shù)以內(nèi)的所有整克數(shù)的物品呢？

下面是歐拉研究過(guò)的“天平砝碼最優(yōu)（少）化配置問(wèn)題”，同學(xué)們能獨(dú)立試著做一做，并得出規(guī)律嗎？讓我們一起來(lái)試一試，

問(wèn)題1：工人師傅用質(zhì)量為15g的一個(gè)鐵塊制成4個(gè)質(zhì)量不等的整克數(shù)的砝碼，用這一組砝碼，在只允許將其放在天平的一端的情況下，可以稱(chēng)出質(zhì)量為15g以內(nèi)的所有整克數(shù)的物品，這一組砝碼分別是幾克？

思考：可以從稱(chēng)1g的物品開(kāi)始分析，完成表1，

從而得到結(jié)論：稱(chēng)質(zhì)量為15g以內(nèi)所有整克數(shù)的物品，只要準(zhǔn)備質(zhì)量為1g，2g，4g，8g這4個(gè)砝碼，

如果到此為止，僅解決這一個(gè)問(wèn)題，那么，就不算具有愛(ài)思考的好習(xí)慣了，讓我們來(lái)分析這一組砝碼，可以有下面幾點(diǎn)發(fā)現(xiàn)：

1.這一組砝碼的克數(shù)是一組有規(guī)律的數(shù)：1，2，2²，2³，

2，它們的和正好比這組數(shù)的下一項(xiàng)少1，即它們的和為：2⁴-1，

根據(jù)上面的發(fā)現(xiàn)，可以得到以下假設(shè)：

若有質(zhì)量為1g，2g，2²g，2³g，…，2ⁿg的砝碼，只允許將其放在天平的一端，利用它們可以稱(chēng)出質(zhì)量小于2ⁿ⁺¹g的任何整克數(shù)的物體，

請(qǐng)你舉例驗(yàn)證一下，

如果同學(xué)們?cè)僖黄饋?lái)解決下面的問(wèn)題，會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)的，

問(wèn)題2：有一個(gè)質(zhì)量為40g的砝碼，現(xiàn)在把它加工成4個(gè)質(zhì)量是不等整克數(shù)的砝碼，允許將其放在天平的兩端，可以用它們稱(chēng)質(zhì)量為1g至40g之間的任意整克數(shù)的物體，這4個(gè)砝碼的質(zhì)量分別是多少？

思考：可以參考前面的研究過(guò)程來(lái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，具體步驟如下：

1.制表，2.填表，3.得到結(jié)果，4.研究結(jié)果，5.發(fā)現(xiàn)規(guī)律，6.進(jìn)行驗(yàn)證，

不難發(fā)現(xiàn)，這4個(gè)砝碼的質(zhì)量分別是1g，3g，9g，27g稱(chēng)出質(zhì)量為2g的物體，把質(zhì)量為1g的砝碼放在左邊，質(zhì)量為3g的砝碼放在右邊，利用3-1=2就可以了，質(zhì)量為4g的物體可利用3+1=4稱(chēng)出質(zhì)量為5g的物體可利用9-4=5稱(chēng)出，其他類(lèi)似，

通過(guò)上面的6個(gè)步驟，相信你也能得到最后的規(guī)律：若有質(zhì)量為1g，3g，3²g，3³g，…，3ⁿg的砝碼，允許將其放在天平的兩端，利用它們可以稱(chēng)出質(zhì)量不超過(guò)（3ⁿ⁺¹）/2g的任何整克數(shù)的物體，

責(zé)任編輯：胡云志