焦翠紅

現(xiàn)階段我們小學數(shù)學教學中，仍在“學科中心”理念的支配之下，教學模式過分單一，教學要求同一化；學生厭學，產生大量的“差生”，學有余力的學生的興趣和能力也得不到充分發(fā)展；學生只埋頭于題海中、“模擬試卷”中，學生被訓練成了解題機器；而數(shù)學教材中的習題又基本是為了使學生了解和牢記數(shù)學結論而設計的，學生在學習過程中產生了以死記硬背代替主動參與，以機械模仿代替智力活動的傾向……。為了突破我國數(shù)學教育當前的局面，改變這一狀況，順應時代的發(fā)展和需要，我們在數(shù)學教學中，要引進了數(shù)學開放題，作為積極推進數(shù)學素質教育、創(chuàng)新教學的一個切入口，同時希望通過開放題的引入，促進數(shù)學教育的改革和發(fā)展。

一、數(shù)學開放題的含義

1、特征

數(shù)學開放題相對于傳統(tǒng)的封閉題而言。傳統(tǒng)的數(shù)學習題條件完備、結論確定，此類題稱為封閉題。而數(shù)學開放題通常是指那些條件不完備、結論不確定的習題，或稱為“問題不必有解，答案不必唯一，條件可以多余”的習題。數(shù)學開放題一般具有下列特征：

⑴ 問題的條件不完備

開放題的條件可以不足，也可以多余。條件不足時要求學生予以補充，條件多余時可要求學生有所選擇。

例1、小敏有一些1元和5角的硬幣，合起來是10元錢。小敏有幾個硬幣？

在本題中，給出的條件不足以確定硬幣的個數(shù)，學生需要補充一些條件才能得出結論。正是由于條件的不足，從而使本題的結論具有很大的開放性。

例2、從2、3、4、5、6、7、8這七個數(shù)中，挑出六個數(shù)填在下面的括號內，使等式成立（ ）+（ ）=（ ）+（ ）=（ ）+（ ）

在本題中，可根據(jù)七個數(shù)中的某六個數(shù)就可確定算式，條件是多余的。多余的條件使本題的解題策略具有開放性。

⑵ 問題的答案不確定

開放題的答案具有多樣性，它決定了能夠滿足各種層次水平的學生的需求，使他們可以在自己的能力范圍內解決問題，從而體現(xiàn)出層次性。

例3 、小剛家離學校45米，小紅家離學校55米，小剛家與小紅家之間有多少米？

在道題有三種不同層次的解答思路：①小剛和小紅家在一條直線上且在學校的兩邊， 倆家相距 45+55=100（米）②小剛和小紅家在一條直線上且在學校的一邊，倆家相距 55-45=10（米）③小剛和小紅家不在一條直線上，倆家相距大于10米，小于100米

⑶問題的解決策略具有創(chuàng)新性

解答開放題時，沒有一般的解題模式可以遵循，有時需要打破原有的思想模式，從多個不同的角度思考問題，有時發(fā)現(xiàn)一個新的解答需要一種新的方法或開拓一個新的研究領域。

例4、 一次，小敏、小紅、小麗三位朋友合乘一輛出租車，大家商定，出租車費一定要合理分攤，小敏在全程三分之一處下了車，到了三分之二處，小紅也下了車，最后小麗一個人坐到終點，付出18元錢，他們三人如何承擔車費比較合理。

本題的一般解題方法是：按路程的多少來合理分配車費。因路程的比是1∶2∶3，

所以小敏：18÷（1+2+3）=3（元）；

小紅：18÷（1+2+3）×2=6（元）；

小麗：18÷（1+2+3）×3=9（元）。

本題還有特殊的解題方法：共有三段路，每段6元，每段路所花的錢平均分配。第一段路三人都乘，每人應付2元；第二段路小紅和小麗合乘，兩人各付3元。這樣每人應承擔的車費如下：

小敏：2（元） 小紅：2+3=5（元）小麗：2+3+6=11（元）

如果考慮出租車的起步價，車費的分配又有所不同。

解答本題時并沒有一定的解題模式可以遵循，思維呈發(fā)散性，如能找到一個新角度，就可以發(fā)現(xiàn)新的解答。

2、分類

對數(shù)學開放題進行分類，這不但有助于我們對開放題有一個深入的認識，而且也有利于開放題的各種研究工作。數(shù)學開放題可以選擇不同的標準進行不同的分類。以下僅從思維形式這一角度對開放題進行分類。數(shù)學命題一般可根據(jù)思維形式分成“假設—推理—判斷”三個部分。

⑴一個數(shù)學開放題若其未知的要素是假設，則為條件開放題。這類開放題給出了結論，要求從多種不同角度去尋求這個結論成立的條件。

例5、有三個整數(shù)，問這三個數(shù)具備什么條件時，它們的和能被3整除？

⑵一個數(shù)學開放題若其未知的要素是推理，則為策略開放題 .這類開放題一般都給出了條件和結論，而怎樣由條件去推斷結論或怎樣根據(jù)條件去判斷結論是否成立的策略未知。

例6 制作書架時需要一塊長100厘米，寬20厘米的木板，現(xiàn)只有一塊長80厘米，寬30厘米的木板。問怎樣將木板鋸開，可以拼接成所需尺寸的木板？

⑶一個數(shù)學開放題若其未知的要素是判斷，則為結論開放題。結論開放題就是給出了一定的條件，滿足條件的答案有多個。

例7、 在2、4、6、7、10的五個數(shù)中，哪一個與眾不同？

⑷有的問題只給出一定的情境，其條件、解題策略與結論要求主體在情境中自行設計與尋找，這類題稱為綜合開放題。

例8、在一個3×4（米）的長方形地塊上，欲辟出一部分作為花壇，使花壇的面積是長方形地塊的一半，請給出你的設計。

二、數(shù)學開放題的使用價值

由于開放題的特點是條件開放、結論開放、策略開放的問題，開放題教學作為一種新的教學形式，為學生由課堂走向社會實際架起了一座橋梁，為新知和學做的結合開辟了課程的新渠道。本人通過對開放題教學的研究，覺得數(shù)學教學中引進開放題是必要的也是必須的，其獨特的作用主要有以下幾個方面：

1、有利于全體學生的積極參與

素質教育的本質應該體現(xiàn)在面向全體和全面發(fā)展上，而每個學生發(fā)展的關鍵是要在教與學的活動中給每個學生 提供參與機會，使他們在參與中得到發(fā)展。新鮮而具有豐富答案的開放題使每個學生都可以從事自己力所能及的探索，優(yōu)生可做得多而深一些，基礎差的學生也不至于無從下手，而通過自己的努力發(fā)現(xiàn)的結論或設計的方案，無論程度如何，都會給學生帶來快樂，而沒有無可奈何的被迫練習的感覺，這樣的參與帶有極大的主動性。每個學生在這樣的參與中都得到更好的發(fā)展。開放題教學讓每個學生在積極參與中求得了發(fā)展。

2、有利于學生的主體地位得以保障、自信心得以增加

素質教育觀中，主體性是衡量學生學習質量高低的主要標志。學生的主體性越突出，獨立探索的機會就越多；創(chuàng)造性情感就越強；其創(chuàng)新意識和實踐能力越有可能得以培養(yǎng)。在開放題教學中，由于學生的活動是開放的，學生自己可以提出問題來展開并進一步發(fā)展教學內容，學生可以按自己的意愿來選擇其所喜歡的思維方式解決問題。這樣的學習，可以使學生的自主權受到尊重，使他們的主體地位得以保障。同時學習的內容和方式是學生自己感興趣的，從而激發(fā)了他們的學習積極性和主動性，增強了他們對學習的自信心。

3、有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和能力

素質教育的制高點就是要培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和能力，開放題教學具有此功能。在解決開放性問題時，學生探求多種答案，有利于培養(yǎng)思維的獨創(chuàng)性、發(fā)散性；學生發(fā)現(xiàn)使結論成立的多種條件時，有利于提高學生聯(lián)想、猜測、直覺等非邏輯思維能力及分析、綜合、抽象、概括等邏輯思維能力；學生在尋找多答案中的最優(yōu)解與在尋找多種條件中最優(yōu)條件時，訓練了學生的創(chuàng)造性思維能力。又開放題教學能夠提供學生提高創(chuàng)新思維的空間。學生間的討論、師生間的交流、學生提出質疑時，學生發(fā)展了自己、超越了自己，使創(chuàng)新思維能力得到有效提高。

4、有利于因材施教，發(fā)掘每個學生的潛能

在教學中教師應該為每個學生創(chuàng)設一個良好的情境，以使每個學生的智慧得以展示，使每個學生的潛能得以發(fā)掘。以開放題為載體的開放式教學就為學生創(chuàng)設了一個這樣好的情境：開放題由于答案、條件的不唯一性，方法的多樣性，起點低、層次多，適應多層次的學生，為因材施教提供了好的材料，為每個學生提供了更多的參與機會和成功可能。

進入21世紀，數(shù)學教育的觀念已發(fā)生了巨大的變化，數(shù)學不再僅僅是為未來的科學家和工程師作準備，而是每一個公民的基本素質之一。在這種觀念下，我們可以看到，數(shù)學開放題較為有效地反映了學生高層次的思維，在開放題的解答過程中，往往沒有固定的、現(xiàn)成的模式可循，僅靠死記硬背、機械模仿不可能找到問題的解答，學生必須充分調動自己的知識儲備，積極開展探索活動，從多角度用多種思維方法進行探索。課堂中引進數(shù)學開放題，可以較好地培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和能力，數(shù)學開放題，創(chuàng)新教學的切入口。