葉含福

摘 要：在高考數(shù)學(xué)中，數(shù)列是必考的重要知識(shí)點(diǎn)之一，并常以解答題的形式出現(xiàn)?；跀?shù)列本身豐富的知識(shí)結(jié)構(gòu)，易與其他知識(shí)點(diǎn)達(dá)成有效的結(jié)合來(lái)提問(wèn)。在具體的應(yīng)用中，較為常見(jiàn)的有數(shù)列與函數(shù)、不等式及解析幾何的結(jié)合，本文就相關(guān)方面的具體例題進(jìn)行系統(tǒng)解析，以發(fā)掘并總結(jié)個(gè)中的規(guī)律，為實(shí)際的備考提供借鑒。

近幾年的高考數(shù)學(xué)試題中，數(shù)列一般與函數(shù)、不等式及解析幾何等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行有機(jī)融合來(lái)考查，這種考查方式無(wú)疑加大了試題的難度，對(duì)考生的解題能力有了更高的要求，乃至上升到理性思維的層面。

1.數(shù)列與函數(shù)的綜合考查

數(shù)列部分作為高考數(shù)學(xué)試題考查的重點(diǎn)內(nèi)容，其與函數(shù)的結(jié)合在近年來(lái)日益成為命題的熱點(diǎn)。數(shù)列從本質(zhì)上來(lái)講，也是函數(shù)的一種表現(xiàn)形式，作為一種自變量是正整數(shù)的函數(shù)呈現(xiàn)。對(duì)于數(shù)列這種特殊的函數(shù)涉及的問(wèn)題的解答方式，需要同學(xué)們采用函數(shù)的思想去分析，對(duì)函數(shù)在該問(wèn)題中的作用以及巧妙運(yùn)用函數(shù)思維來(lái)解答是學(xué)生應(yīng)當(dāng)重點(diǎn)考慮的內(nèi)容。數(shù)列與函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合來(lái)考查的例子很多，較為典型的一種如下例1所示：

例1：已知函數(shù)f（x）=log2x-logx2

（02n（n∈N*），那么求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

解析：f（2 n）=log22 n-—= 2n= an-—=2n，即an-2nan-1=0，解得：

an=n±√n2+1。再根據(jù)0

0<2 n<1，那么an<0，an=n-√n2+1。

評(píng)析：這道題在結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)上較為靈活巧妙，以對(duì)數(shù)函數(shù)切入，結(jié)合數(shù)列與函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，系統(tǒng)考查學(xué)生的邏輯分析能力的同時(shí)，強(qiáng)調(diào)在解答數(shù)列問(wèn)題的基礎(chǔ)上對(duì)方程與函數(shù)的綜合運(yùn)用。

2.數(shù)列與不等式的結(jié)合運(yùn)用

數(shù)列與不等式相結(jié)合在近幾年的高考數(shù)學(xué)中也是較為普遍的考查方式。基于一般數(shù)列的知識(shí)點(diǎn)，與不等式相融合，來(lái)強(qiáng)化學(xué)生的推理能力，在題型的設(shè)計(jì)方面較函數(shù)類更加靈活，進(jìn)一步考查學(xué)生在數(shù)列問(wèn)題解答方面的綜合應(yīng)用意識(shí)。較為常見(jiàn)的考查方式如下例2所示：

例2：已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)

和為Sn，a1=1，公差d≠0，且a1，a2，

a7剛好構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列。

（1）求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn。

（2）設(shè)bn=—，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求證2Tn-9bn-1+18> —（n>1）。

解析：（1）解（略）。

Sn=na1+—d=n+2n（n-1）=

2n2-n。

（2）把Sn的值代入到bn中，得bn=—=2n，所以，數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列。

那么，Tn=—=n2+n。

所求的2Tn-9bn-1+18=2n2+2n-18（n-

1）+18=2（n-4）2+4≥4，并且只有當(dāng)n=4時(shí)，等號(hào)成立。

把bn代入到不等式的右側(cè)，并化簡(jiǎn)，

可得—≤—=4，只有當(dāng)n=—，n=3時(shí)，等號(hào)成立，所以，要求證的不等式成立。

評(píng)析：這道題對(duì)于基本數(shù)列問(wèn)題與不等式的結(jié)合來(lái)設(shè)計(jì)的考查內(nèi)容，是立足于等差數(shù)列和等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，加入不等式的相關(guān)思想，考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)內(nèi)容的理解和具體應(yīng)用。

3.數(shù)列與解析幾何的綜合應(yīng)用

數(shù)列與解析幾何相關(guān)知識(shí)的糅合是近幾年高考數(shù)學(xué)解答題或壓軸題中較為常見(jiàn)的題型之一，從題型設(shè)計(jì)來(lái)看，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用的考查更為深刻。本文中給出了一個(gè)較為適用的題例如下所示：

例3：已知平面xOy上有點(diǎn)列P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），且對(duì)于自然數(shù)n，點(diǎn)Pn位于函數(shù)y=x2（x≥0）的圖像上，以點(diǎn)Pn為圓心的圓與x軸外切，且Pn與Pn+1又相外切。已知x1=1，且xn+1

解析：圓Pn的半徑rn=yn=xn。因?yàn)閮蓤A相外切，所以兩圓心的距離為兩半徑的和，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式并化簡(jiǎn)可得：xn-xn+1=2xnxn+1。即—-—=

2（n∈N*）。

所以，數(shù)列{—}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，那么—=1+2（n-1），得：xn=—。

評(píng)析：這道題的設(shè)計(jì)中涉及較為繁復(fù)的知識(shí)點(diǎn)，在具體的解答過(guò)程中，學(xué)生應(yīng)當(dāng)充分運(yùn)用數(shù)學(xué)思想來(lái)對(duì)待，首先將其作為一個(gè)數(shù)列的基本問(wèn)題，將可變列的幾何屬性與相對(duì)應(yīng)的數(shù)列本身的性質(zhì)相結(jié)合，然后通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃魏娃D(zhuǎn)化，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為數(shù)列或解析幾何的問(wèn)題，最后便可以根據(jù)已知條件進(jìn)行進(jìn)一步的求解。

綜上所述，數(shù)列在高考數(shù)學(xué)試題考查中的應(yīng)用十分廣泛，本文只是選擇較為常見(jiàn)的三種數(shù)列與函數(shù)、不等式和解析幾何的綜合運(yùn)用，熟練掌握數(shù)列問(wèn)題的基本知識(shí)，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想來(lái)思考問(wèn)題，對(duì)深入把握解答技巧的精髓十分重要。

參考文獻(xiàn)：

[1]錢繼兵.例談數(shù)列與其他知識(shí)的常見(jiàn)結(jié)合形式[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2013（23）.

[2]呂佐良.聚集數(shù)列與其他知識(shí)的整合[J].試題與研究（高考），2013（29）.

（作者單位：重慶市綦江南州中學(xué)）