陳學(xué)帥

摘要：介紹了排列、組合中比較困難的分堆與分配問題的解決方法。從分給的對象和被分的元素是否相同（即有無差別）兩個方面分別進(jìn)行了研究。分給的對象相同（即無差別）但被分的元素不相同是分堆問題，當(dāng)各堆的元素數(shù)不同時是非平均分堆，一堆一堆的拿開即可；當(dāng)各堆（或部分堆）的元素數(shù)相同時是平均分堆，按堆拿開后，若有k堆元素數(shù)相等，再除以；分給的對象不同（即有差別）是分配問題，給不同的對象逐次拿開或先分堆再分配。

關(guān)鍵詞：排列組合分堆分配解決方法

排列、組合中的分堆與分配問題是近幾年高考中的一個熱點問題，同時也是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個難點，本文就從被分的元素和分給的對象兩端這兩個方面來探討一下此類問題的解決方法。

在將某些元素進(jìn)行分配的問題中，我們按分給的對象是否相同（即有無差別）分為分堆問題與分配問題。

一、分堆問題

分堆是研究將元素所分給的對象相同（即無差別）但被分的元素不相同的一類問題。當(dāng)各堆（或部分堆）分得的元素數(shù)相同時，稱為平均分堆；當(dāng)每堆分得的元素數(shù)各不相同時，稱為非平均分堆。

1.非平均分堆

例：將6名運(yùn)動員分成三組，其中有一組1人的，一組2人的，一組3人的，有多少種不同的分法？

解：本題中由于分給的對象無差別，并且每組的人數(shù)各不相同，所以這是一個非平均分堆問題，按題設(shè)要求逐堆隨機(jī)拿開即可。

二、分配問題

將元素所分給的對象不相同（即有差別）時的問題叫做分配問題。分配問題按被分的元素是否相同又分為被分的元素相同（無差別）的分配問題與被分的元素不相同（即有差別）的分配問題兩類：

（一）被分的元素相同（無差別）的分配問題

此類分配問題中，由于被分的元素?zé)o差別，因此在分配中，若將若干個元素平均分給幾個對象，則只有一種分法；若幾個對象所得元素數(shù)各不相同，則存在不同的分法。

例2．要從7個班中選10人參加數(shù)學(xué)競賽，每個班至少出1人，共有多少種不同的選法？

分析：本例其實就是將10個參加數(shù)學(xué)競賽的名額分給7個班的分配問題，被分的名額是無差別的，但分給的對象即7個班是不同的。 注：1.插板法與插入法不同，要注意區(qū)分。深刻理解插板法的思想，能快速、簡捷的處理一部分題目。

2.插板法只適用于每個分給的對象至少分得一個無差別元素的分配問題，如果無此條件則此方法不再適用。

（二）被分的元素不相同（即有差別）的分配問題

1.平均分配

注：在被分的元素不相同（即有差別）的非平均分配問題中，當(dāng)分給的對象所分得的元素數(shù)沒有明確時，要運(yùn)用先分堆再分配的方法。