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        排列組合中的分堆與分配問題

        2015-05-30 16:18:06陳學(xué)帥
        中國(guó)校外教育(上旬) 2015年13期
        關(guān)鍵詞:插板排列組合平均分

        陳學(xué)帥

        摘要:介紹了排列、組合中比較困難的分堆與分配問題的解決方法。從分給的對(duì)象和被分的元素是否相同(即有無差別)兩個(gè)方面分別進(jìn)行了研究。分給的對(duì)象相同(即無差別)但被分的元素不相同是分堆問題,當(dāng)各堆的元素?cái)?shù)不同時(shí)是非平均分堆,一堆一堆的拿開即可;當(dāng)各堆(或部分堆)的元素?cái)?shù)相同時(shí)是平均分堆,按堆拿開后,若有k堆元素?cái)?shù)相等,再除以;分給的對(duì)象不同(即有差別)是分配問題,給不同的對(duì)象逐次拿開或先分堆再分配。

        關(guān)鍵詞:排列組合分堆分配解決方法

        排列、組合中的分堆與分配問題是近幾年高考中的一個(gè)熱點(diǎn)問題,同時(shí)也是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn),本文就從被分的元素和分給的對(duì)象兩端這兩個(gè)方面來探討一下此類問題的解決方法。

        在將某些元素進(jìn)行分配的問題中,我們按分給的對(duì)象是否相同(即有無差別)分為分堆問題與分配問題。

        一、分堆問題

        分堆是研究將元素所分給的對(duì)象相同(即無差別)但被分的元素不相同的一類問題。當(dāng)各堆(或部分堆)分得的元素?cái)?shù)相同時(shí),稱為平均分堆;當(dāng)每堆分得的元素?cái)?shù)各不相同時(shí),稱為非平均分堆。

        1.非平均分堆

        例:將6名運(yùn)動(dòng)員分成三組,其中有一組1人的,一組2人的,一組3人的,有多少種不同的分法?

        解:本題中由于分給的對(duì)象無差別,并且每組的人數(shù)各不相同,所以這是一個(gè)非平均分堆問題,按題設(shè)要求逐堆隨機(jī)拿開即可。

        二、分配問題

        將元素所分給的對(duì)象不相同(即有差別)時(shí)的問題叫做分配問題。分配問題按被分的元素是否相同又分為被分的元素相同(無差別)的分配問題與被分的元素不相同(即有差別)的分配問題兩類:

        (一)被分的元素相同(無差別)的分配問題

        此類分配問題中,由于被分的元素?zé)o差別,因此在分配中,若將若干個(gè)元素平均分給幾個(gè)對(duì)象,則只有一種分法;若幾個(gè)對(duì)象所得元素?cái)?shù)各不相同,則存在不同的分法。

        例2.要從7個(gè)班中選10人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,每個(gè)班至少出1人,共有多少種不同的選法?

        分析:本例其實(shí)就是將10個(gè)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的名額分給7個(gè)班的分配問題,被分的名額是無差別的,但分給的對(duì)象即7個(gè)班是不同的。 注:1.插板法與插入法不同,要注意區(qū)分。深刻理解插板法的思想,能快速、簡(jiǎn)捷的處理一部分題目。

        2.插板法只適用于每個(gè)分給的對(duì)象至少分得一個(gè)無差別元素的分配問題,如果無此條件則此方法不再適用。

        (二)被分的元素不相同(即有差別)的分配問題

        1.平均分配

        注:在被分的元素不相同(即有差別)的非平均分配問題中,當(dāng)分給的對(duì)象所分得的元素?cái)?shù)沒有明確時(shí),要運(yùn)用先分堆再分配的方法。

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