李桂英

著名科學家牛頓提出：“在教學中的例子比定律更重要”。在高三總復習中精選一些涉及面廣、思路開闊、解法靈活、應用廣泛且具有代表性的典型題目，引導學生積極思考，主動探究，是扎實“三基”，開拓思路，培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力，擺脫“題?！睉?zhàn)術，提高復習效果的有效途徑之一。在復習解析幾何直線這部分內(nèi)容時，我精選例題，通過多角度、多層次、全方位的思考，探索出了解題的多種途徑和方法，激發(fā)了學生濃厚的學習興趣，培養(yǎng)了學生多向思維的能力。

題目：設直線L經(jīng)過點A（2，4），它被二平行線x-y+1=0，x-y+2=0所截線段的中點在直線x-2y+3=0上，求此直線方程。

下面以分析思路，介紹解題方法為主，解題過程從簡。如圖，設直線x-y+1=0，x-y+2=0，x+2y-3=0依次為L1，L2，L3，所求直線為L。顯然，點A在直線L2上。

解法1：（點斜式）設L的方程為y=k（x一2）+ 4，L與L1，L3分別相交于點B、M，解L、L1對應的方程組，得點B的坐標，由中點公式得點M的坐標（含K），再代入L3的方程，求得 ，從而得出的方程為 5x-4y+6=0。

由此，學生立刻想到下面兩種方法。

解法2：（斜截式）設L的方程為y=kx+b，將點A的坐標帶入，得4=2k+b，b=4-2k，∴y=kx+4-2k。以下解法同解法1（略）。

解法3：（截距式）設L的方程 ，以下同解法2（略）。

問：直線方程還有什么形式？考慮片刻，學生異口同聲：兩點式和一般式。本題用一般式，顯然十分復雜，于是有：

解法4：（設點法）設B（x0，y0），由中點公式得點M的坐標（ ），分別帶入L1、L3的方程，解方程組得點B的坐標，再由兩點式求得L的方程。

解法5：（設點法）設M（ ），由對稱性得點B的坐標（2x-2，2y-4），以下類解法4。

以上解法都要解方程組，尤其含參數(shù)的方程組，計算量很大。同學們思考，有沒有避免求交點的其他方法？

心理學原理提出：在人的心靈深處都有一個根深蒂固的需要，這就是自己是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者。上述問題的提出，如一石擊起千層浪，激蕩著學生的想象力和好奇心。經(jīng)過短暫的討論和思索，很快就有不少學生提出“用同一字母表示點的坐標”——科學設點法。

解法6；（科學設點法）設B（x0，x0+1），由中點公式及點M的坐標，代入L3的方程，只需解一個一元一次方程，簡潔明快、賞心悅目。

解法7：（科學設點法）設M（x0， ，由對稱性即點B的坐標，代入L1的方程，輕而易舉地得x0的值，問題迎刃而解。

在學生的想法產(chǎn)生奇效，得到老師肯定，品嘗自己勞動的甜果，求知欲處于亢奮狀態(tài)的時刻，教師不失時機地稍加點撥，學生的思維觸角必然伸向一個新的領域。

請大家考慮：AB的中點還在哪一條特殊直線上？又一個問題的提出，將本來活躍的氣氛推向新的高潮，人人想成為“新大陸”的發(fā)現(xiàn)者。紛紛舉手回答；在平行于直線L1，L2且與兩直線距離相等的直線L4上，問題的焦點又集中到求L4上。

在解法8-14中，求出L4的方程后，尚需解方程組求點M的坐標。能否找到繞過交點的解法？學生借圖思解，注意到L是經(jīng)過L3和L4交點的直線這個事實，答案自然成竹在胸。

解法15：（利用直線系方程）設L的方程x+2y-3+ =0 ，將點A的坐標代入，得 的值，直赴目標，引人入勝。

在學生激情猶酣、思維活躍、浮想聯(lián)翩、欲要不能的情況下，及時引導他們解后反思，歸納出規(guī)律性的東西。

由解法6、7的巧妙設點，聯(lián)想二次曲線中，拋物線上的點能否同一字母設出？回答是肯定的。而圓和橢圓上的點用x或y來表示就困難了。同學們有什么好的設法？他們在“最近發(fā)現(xiàn)區(qū)”讓自己的思維馳騁，很快想到參數(shù)方程。如橢圓 上的點可以設為（ ， ）。從而總結出曲線上設點的技巧：

若曲線方程的變量中至少有一個是一次，則曲線上的點可用“科學設點”法；若方程中的兩個變量都是二次，則可考慮用參數(shù)法設點。這樣設點，常常可以把一些復雜的、運算量大的，以至難以解決的問題變得簡單了，易解了。這也從一個側面突出了學習參數(shù)方程的必要性和采用參數(shù)法解決問題的優(yōu)越性，充分體現(xiàn)了數(shù)學的簡單性原則。

僅一道習題的解答，覆蓋了直線一章的多方面知識，涉及到求直線方程的多種方法，并通過橫向聯(lián)想，勾通了解析幾何各章內(nèi)容之間的聯(lián)系，使問題的解決得到升華，還為后繼內(nèi)容的復習作了鋪墊。面對浩瀚“題?！保倍噘Y料，復習中，精選精講典型習題，調(diào)動學生的參與意識，在生動活潑的情景中，使學生不僅牢固地掌握了知識內(nèi)容，方法技巧，更重要的是提高了學生的創(chuàng)新思維品質(zhì)，提高了復習效率。