魏智琴

【摘要】平面向量數(shù)量積是平面向量一章中的重要內(nèi)容，是高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何等章節(jié)知識(shí)的交匯點(diǎn)，也是高考重點(diǎn)考查的知識(shí)，許多學(xué)生在解此類題時(shí)感覺困難，究其原因，就是學(xué)生對數(shù)量積的概念理解不透徹，下面就求解方法歸納如下.

【關(guān)鍵詞】平面向量；數(shù)量積；求解方法

一、定義法

從定義來看求兩個(gè)非零向量的數(shù)量積關(guān)鍵要弄清楚兩向量的模和夾角；若從數(shù)量積的幾何意義來看就是一向量的模與它在另一向量方向上的投影的乘積.

例1（1）在△ABC中，a=5，b=8，C=π3，則BC·CA=.

（2）已知圓O：x2+y2=4，直線l：x-3y+3=0與圓O交與A，B兩點(diǎn)，則OA·OB=.

解（1）如圖1，在△ABC中，BC·CA=BCCAcos（π-C）=5×8×-12=-20.

圖1

（2）如圖2，過點(diǎn)O作OC垂直于AB于點(diǎn)C，由點(diǎn)到直線的距離公式可得OC=310，在Rt△OAC中，cos∠AOC=3210，則cos∠AOB=2cos2∠AOC-1=2×32102-1=-1120，從而OA·OB=OA·OBcos∠AOB=2×2×-1120=-115.

圖2

二、坐標(biāo)法

設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a·b=x1x2+y1y2.用此方法解決向量數(shù)量積問題，必須先建立合適的平面坐標(biāo)系，把向量坐標(biāo)化.

例2（1）如圖3，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=1，點(diǎn)M，N分別是AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是△ABC（包括邊界）內(nèi)任一點(diǎn).則AN·MP的取值范圍為.

圖3

（2）如圖4，在ABCD中，已知AB=2，AD=1，∠DAB=60°，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），則AP·DM的取值范圍是.

圖4

解（1）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB分別為x軸和y軸建立如圖5所示的直角坐標(biāo)系，易知A（1，0），N0，12，M12，12，設(shè)P（x，y），則x≥0，y≥0，x+y≤1，AN=-1，12，MP=x-12，y-12，所以AN·MP=-x+12y+14.

圖5

根據(jù)線性規(guī)劃可得AN·MP∈-34，34.

（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸建立如圖6所示的直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（2，0），D12，32，M（1，0），設(shè)Px，3212≤x≤52.

圖6

所以AP=x，32，DM=12，-32.

從而AP·DM=x，32·12，-32=12x-34.

因?yàn)?2≤x≤52，所以AP·DM∈-12，12.

點(diǎn)評(píng)當(dāng)向量的?；驃A角不明確，且所給平面圖形方便建立直角坐標(biāo)系，并容易寫出各涉及點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，常常利用坐標(biāo)法將向量坐標(biāo)化求數(shù)量積.

三、分解轉(zhuǎn)化基底法

平面向量基本定理：如果e1，e2是同一個(gè)平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2.其中我們把不共線的兩個(gè)向量e1，e2叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

例4在Rt△ABC中，C=90°，AC=4則AB·AC=.

解C=90°，AC·CB=0，AB·AC=（AC+CB）·AC=AC2+AC·CB=42=16.

例5如圖7，在四邊形ABCD中，AC=3，BD=1，（AB+DC）·（AC+BD）=.

圖7

解因?yàn)锳C與BD不共線，所以AC，BD.

可以作為平面所有向量的一組基底.

所以（AB+DC）·（AC+BD）=[（AC+CB）+（BC-BD）·（AC+BD）]=[（AC-BD）·（AC+BD）]=AC2-BD2=3-1=2.

點(diǎn)評(píng)當(dāng)向量的?；驃A角不明確，且建立直角坐標(biāo)系后，相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)不易寫出，而題目已知兩條線段的長時(shí)，常常以這兩個(gè)向量作為平面上所有向量的一組基底，將要求的向量通過構(gòu)造三角形，借助三角形法則，轉(zhuǎn)化為基底的和或差，從而使問題得到解決.