楊雯靖

【摘要】針對第二類曲面積分這一高等數(shù)學課程教學中的難點，研究了利用分面投影法、高斯公式以及兩類曲面積分的聯(lián)系等方法來計算第二類曲面積分，為高等數(shù)學課程中關于曲面積分概念的教學研究與改革提供一些參考.

【關鍵詞】第二類曲面積分；投影；高斯公式

第二類曲面積分也稱為對坐標的曲面積分，它的計算問題是一個綜合性的微積分問題，涉及有向曲面的側(cè)與法向量、有向曲面的投影、多元函數(shù)的偏導數(shù)、二重積分、三重積分、第一類曲面積分以及高斯公式等內(nèi)容，在計算時既要考慮被積函數(shù)的特征、積分曲面及其投影區(qū)域的形狀，又要注意曲面的側(cè)，一直是高等數(shù)學教與學的難點.本文討論第二類曲面積分的計算方法，并舉例說明使用不同方法的特點，從而為高等數(shù)學課程中關于曲面積分概念的教學研究與改革提供一些參考.

一、分面投影法

分面投影法即直接將積分曲面分別投影到不同的坐標面上，從而把曲面積分轉(zhuǎn)化為二重積分計

利用高斯公式計算曲面積分，必須滿足高斯公式的條件.要注意有向曲面的側(cè)，當積分曲面∑不封閉時，需補充使之成為封閉曲面.如果在Ω內(nèi)有使P，Q，R的偏導數(shù)不連續(xù)的奇點，一般應先補充輔助曲面挖去奇點，然后再用高斯公式.此方法適用于組合型的曲面積分，積分曲面∑封閉，且被積函數(shù)Px+Qy+Rz的形式比較簡單的情形.

三、利用兩類曲面積分的聯(lián)系

對于組合型的曲面積分，還可以考慮利用兩類曲面積分的聯(lián)系，將第二類曲面積分化為第一類曲面積分來計算，這時要注意有向曲面∑在點（x，y，z）處的法向量的方向余弦與曲面的側(cè)的關系.如果函數(shù)P（x，y，z）、Q（x，y，z）、R（x，y，z）在有向光滑曲面∑上連續(xù)，則

∑Pdydz+Qdzdz+Rdxdy=∑（Pcosα+Qcosβ+Rcosγ）dS，

其中cosα、cosβ、cosγ是有向曲面∑在點（x，y，z）處的法向量的方向余弦.

解法3上例中，積分曲面∑：x2+y2+z2=R2，x≥0，y≥0，z≥0，且取外側(cè)，所以

四、結(jié)語

理解并掌握有向曲面的法向量、投影等概念是計算第二類曲面積分的關鍵.在計算時應根據(jù)被積函數(shù)和積分曲面的特點選擇合適的方法.對于組合型的曲面積分，一般先考慮能否用高斯公式，或者判斷能否利用兩類曲面積分的聯(lián)系，然后再考慮直接的投影法，這樣才能掌握第二類曲面積分的計算方法.

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