何天榮 吳湘云

【摘要】數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)最重要的專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課，是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、常微分方程、微分幾何、計(jì)算方法、實(shí)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)等后繼課程的必備基礎(chǔ).課程的特點(diǎn)是內(nèi)容極為豐富、具有嚴(yán)密的邏輯性和理論的高度抽象性.極限論是數(shù)學(xué)分析課程的理論基礎(chǔ)極限的計(jì)算是極限論中極其重要的環(huán)節(jié)，本文是據(jù)筆者多年教學(xué)數(shù)學(xué)分析課程的經(jīng)驗(yàn)對(duì)極限算法的探討.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)分析；極限論；算法

一、極限論在數(shù)學(xué)分析課程中的作用

極限論是數(shù)學(xué)分析的理論基礎(chǔ)，極限思想貫穿本門(mén)課程的始終，連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、反常積分、曲線(xiàn)積分、重積分、曲面積分等定義都是以極限作為理論基礎(chǔ)引入的，相應(yīng)的性質(zhì)也完全可以用極限思想進(jìn)行解釋.極限的計(jì)算是非常重要和關(guān)鍵的一環(huán)，比如說(shuō)討論函數(shù)的連續(xù)性，依定義，函數(shù)在某點(diǎn)處的極限值等于該點(diǎn)處的函數(shù)值，那首先得會(huì)計(jì)算它在該點(diǎn)處的極限值，又如反常積分收斂性的討論、級(jí)數(shù)收斂性的討論都?xì)w結(jié)為極限的計(jì)算，因此能熟練計(jì)算一些常見(jiàn)的函數(shù)極限是學(xué)好數(shù)學(xué)分析課程的一個(gè)必要條件.

二、數(shù)學(xué)分析課程中所接觸到的極限算法

2.“00”型極限的算法

所謂“00”型就是函數(shù)分子分母同時(shí)趨近于0的情況，在初等數(shù)學(xué)中我們就熟知，此時(shí)直接代入是沒(méi)有的意義的，而我們需要做的事情是想方設(shè)法將無(wú)意義變有意義，方法如下：

（1）消去零因子

所謂消去零因子，就是通過(guò)一定的恒等變形，將分子分母中為零的因式約掉從而可以直接代入求出極限值，具體可以通過(guò)分子有理化、分母有理化或因式分解等來(lái)實(shí)現(xiàn).例如：

limx→41+2x-3x2-3x+4=limx→42（x-4）（x-4）（x+1）（1+2x+3）=limx→42（x+1）（1+2x+3）=115.

此題采用了分子有理化同時(shí)分母因式分解的策略消去了零因子，有的題可能只需要對(duì)分子或分母進(jìn)行有理化或因式分解即可，而有的題可能需要分子分母同時(shí)有理化或分解，總之，消零因子是本質(zhì)要求.

（2）利用重要極限“l(fā)imx→0sinxx=1”，該公式也是屬于“00”型，關(guān)于這種類(lèi)型，教材[1]第58頁(yè)有詳細(xì)討論，不再贅述.

（3）羅比達(dá)法則的第一種情況也是“00”型，見(jiàn)教材[1]第130頁(yè)有詳細(xì)討論.

（4）無(wú)窮小量等價(jià)代換

這種方法非常方便實(shí)用，只是方便之前提是牢記相互代換的無(wú)窮小量，例如

limx→01-cosxx2=limx→0x22x2=12，因?yàn)樵趚趨近于0時(shí)1-cosx與x22等價(jià)，可以用后者代換，起到極大的簡(jiǎn)化作用，消去了零因子.

2.“∞∞”型極限的算法

（1）公式法limx→∞anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0bmxm+bm-1xm-1+…+b1x+b0=∞n>manbmn=m0n

推導(dǎo)見(jiàn)教材[1]第33頁(yè)例4.

（2）羅比達(dá)法則，見(jiàn)教材[1]第132頁(yè).

3.無(wú)窮小量×有界變量=無(wú)窮小量

limx→+∞（sinx+1-sinx）=limx→+∞2cosx+1+x2sinx+1-x2=0因?yàn)?cosx+1+x2≤1；limx→+∞sinx+1-x2=limx→+∞12（x+1+x）=0

4.利用定積分求極限

limn→∞1n+1+1n+2+…+12n=limn→∞∑ni=111+in·1n=∫1011+xdx=ln2

5.利用迫斂性求極限，見(jiàn)教材[1]第31、32頁(yè)及第35頁(yè)習(xí)題4（4）、（5）、（6）.

6.利用重要極限“l(fā)imx→0（1+x）1x=e”.詳見(jiàn)教材[1]第58頁(yè).

7.利用初等函數(shù)的連續(xù)性求極限.

此法的原理是利用初等函數(shù)在其定義域內(nèi)皆為連續(xù)函數(shù)，則極限值與函數(shù)值相等，故直接代入即可.

三、結(jié)語(yǔ)

極限的計(jì)算是數(shù)學(xué)分析課程的重要知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握極限的計(jì)算對(duì)本課程的學(xué)習(xí)有至關(guān)重要的作用，而要掌握好極限的計(jì)算，首先必須多練，在練習(xí)中不斷反思，總結(jié)規(guī)律；其次，一定要善于總結(jié)不同類(lèi)型極限的不同算法，因?yàn)閿?shù)學(xué)分析課程中對(duì)極限的算法討論是貫穿于教材上冊(cè)始終的，所以學(xué)完之后進(jìn)行總結(jié)歸納對(duì)學(xué)好極限是極有幫助的.

【參考文獻(xiàn)】

[1]華東師大數(shù)學(xué)系編.《數(shù)學(xué)分析》（第四版）[M].北京：高等教育出版社2010.