俞新龍

第一篇：特殊化思想概述

一、特殊化思想的含義

特殊化思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種辯證的認(rèn)知規(guī)律.歷史上一些重大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)時(shí)常是由特殊引發(fā)的.著名數(shù)學(xué)家華羅庚認(rèn)為：善于“退”，一直“退”到原始而不失重要性的地方，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅.波利亞說(shuō)：特殊化是以考慮一組給定的對(duì)象集合過(guò)渡到考慮該集合的一個(gè)較小的子集，或僅一個(gè)對(duì)象.希爾伯特說(shuō)：在討論數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我相信特殊化比一般化起著更為重要的作用.我們尋找一個(gè)答案而未能成功的原因，就在于這樣的事實(shí)，即有一些比手頭的問(wèn)題更簡(jiǎn)單、更容易的問(wèn)題沒(méi)有完全解決，這一切都有賴于找出這些比較容易的問(wèn)題，并且用盡可能完善的方法和能夠推廣的概念來(lái)解決它們.

“特殊化思想”是中學(xué)數(shù)學(xué)里很重要的一種思想方法，在各級(jí)各類試題里有許多能夠利用特殊化思想解決的問(wèn)題.那么什么是特殊化思想？它是指在解題時(shí)采用特殊的判斷、特殊的數(shù)值、特殊的幾何圖形等來(lái)解題的策略，并且在客觀題中所求得的結(jié)果就是問(wèn)題的結(jié)果;或者先解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的特殊情形或從解決特殊情形的方法或結(jié)果應(yīng)用或推廣到一般問(wèn)題之中，從而獲得一般性問(wèn)題的解決的思想.顯而易見(jiàn)，相對(duì)于“一般”而言，“特殊”往往顯得簡(jiǎn)單、直觀和具體，且容易解決.

二、特殊化思想解題的一些思路

在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，特殊化方法常常表現(xiàn)為將一般問(wèn)題特殊化處理或從特殊出發(fā)探索解題方向，以獲得問(wèn)題的解決，它是一種以“退”為“進(jìn)”的解題策略.用問(wèn)題最特殊情形的解來(lái)得到一般問(wèn)題的解，因此在選擇題和填空題等客觀問(wèn)題中一定要特別注意特殊化思想的應(yīng)用.一些定點(diǎn)、定值類問(wèn)題常可用特殊化解題.總之，就是從問(wèn)題的簡(jiǎn)單化、特殊化入手解答.尤其是當(dāng)我們解題束手無(wú)策時(shí)一定不能忘了特殊化思想這個(gè)“大救星”.

從形式上看，將一般性問(wèn)題特殊化是不困難的，但某個(gè)一般性問(wèn)題經(jīng)過(guò)不同的特殊化處理會(huì)得到多個(gè)不同的特殊化命題.因此，特殊化思想的關(guān)鍵是能否找到一個(gè)最隹的特殊化問(wèn)題，因?yàn)?，較為理想的特殊問(wèn)題是極易解決的.

三、特殊化思想解題易范錯(cuò)誤

為了弄清這個(gè)問(wèn)題先請(qǐng)同學(xué)們看下面的問(wèn)題：

對(duì)于x∈[0，1]的一切值， +b>0是使ax+b>0恒成立的（ ? ? ）

A. 充要條件 ? ? ? ? ? ? ? ?B. 充分不必要條件

C. 必要不充分條件 ? ? ? D. 既不充分又不必要條件

同學(xué)們你做好了嗎？答案為C.因?yàn)?+b>0推不出ax+b>0恒成立，而對(duì)于x∈[0，1]的一切值ax+b>0成立時(shí)，取x= ，就應(yīng)該有 +b>0. 因此，特殊化思想解題實(shí)際上是在用問(wèn)題的必要條件解題，但因?yàn)樵谶x擇題和填空題中又是充分的，所以，在客觀題中用這種思想解題是等價(jià)的，即是充分必要條件關(guān)系，但如果是解答題，則這種做法是不完備的，犯了“以部分代替全體，特殊代替一般”的錯(cuò)誤，有時(shí)甚至是錯(cuò)誤的.例如，我們知道數(shù)列an=（n2-5n+5）2并不是常數(shù)列{1}，但有的同學(xué)在計(jì)算了a1=1，a2=1，a3=1，a4=1后就得出結(jié)論an=1，如果從這四個(gè)特殊的例子就得出結(jié)論毫無(wú)疑問(wèn)是錯(cuò)誤的，因?yàn)閍5=25≠1.又如對(duì)于問(wèn)題：已知數(shù)列{an}滿足an=n·2n -1（x∈N*），是否存在等差數(shù)列{bn}使等式an=b1C1n+b2C2n+…+bnCnn對(duì)一切正整數(shù)n成立？并證明你的結(jié)論.絕大多數(shù)同學(xué)都能這樣做：假設(shè)存在等差數(shù)列{bn}使等式an=b1C1n+b2C2n+…+bnCnn對(duì)一切正整數(shù)n成立，則當(dāng)n=1時(shí)得1=b1C11，所以b1=1;當(dāng)n=2時(shí)得4=b1C12+b2C22，所以b2=2;當(dāng)n=3時(shí)得12=b1C13+b2C23+b3C33，所以b3=3.如果由此就給出結(jié)論存在等差數(shù)列{bn=n}滿足題意，我們認(rèn)為是不完備的.因?yàn)樵谥暗慕獯鹬袃H證明了n=1，2，3是成立的，而n=4，5，6，…更多的時(shí)候還沒(méi)有證明.因此接下去需證明等式n·2n -1=1C1n+2C2n+…+nCnn是否成立？若成立，則問(wèn)題解決.

第二篇：集合中的特殊化思想

集合問(wèn)題雖說(shuō)大多簡(jiǎn)單，但如果能用好特殊化思想也能節(jié)省不少解題的時(shí)間.

例1. 已知集合M={（x，y）│2x-y=3}，N={（x，y）│x+y=0}，那么集合M∩N=（ ?）

A. x=1，y=-1 ? ? ?B. （1，-1） ? ? ?C. {1，-1} ? ? ?D. {（1，-1）}

解析：通過(guò)聯(lián)立方程組2x-y=3，x+y=0，解得x=1，y=-1，所以集合M∩N={（1，-1）}.

但實(shí)際上，我們可以從判斷A、B、C、D四個(gè)選擇項(xiàng)的形式上直接給出答案D，因?yàn)樗蠼Y(jié)果必須是一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)為元素的集合，而題中只有D是這種形式的.

第三篇：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的特殊化思想

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，題型復(fù)雜，難度大，但是如果能夠合理利用好特殊化思想，則往往能給我們解題帶來(lái)良好的效果，達(dá)到巧妙的解決問(wèn)題.

一、取特殊值巧妙解題

例1. 設(shè)a∈R，若x>0時(shí)均有[（a-1）x-1]（x2-ax-1）≥0，則a=____________.

解析：原問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)f（x）=（a-1）x-1和g（x）=x2-ax-1在x>0上的符號(hào)相同，顯然需要對(duì)f（x）的單調(diào)性進(jìn)行討論.

（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=-1<0，g（x）=x2-x-1的零點(diǎn)為x= ，x= ∈（0，+∞），故g（x）≤0在x>0上不成立.

（2）當(dāng)a<1時(shí)，f（x）=（a-1）x-1<0對(duì)x>0成立，g（x）=x2-ax-1的零點(diǎn)為x= ，x= ∈（0，+∞），故g（x）≤0在x>0上不成立.

（3）當(dāng)a>1時(shí)，f（x）和g（x）均過(guò)定點(diǎn)（0，-1），且f（x）的零點(diǎn)為x= ，g（x）的對(duì)稱軸x= >0，所以要使命題成立，f（x）和g（x）的圖像必須如圖所示，即g（x）也過(guò)點(diǎn)（ ，0），所以（ ）2-a· -1=0，整理得2a2-3a=0，解得a= ，或a=0（舍）.

綜上所述，a= .

特殊方法：注意到不等式對(duì)x>0都成立，所以對(duì)任意x>0的值均成立，即x=1時(shí)成立，有（a-2）（-a）≥0，解得0≤a≤2;x=2時(shí)成立，有（2a-2）（3-2a）≥0，解得a= ，于是得a= .

例2. 設(shè)f（x）=ax5+bx3+cx+7（其中a，b，c為常數(shù)），若f（-7）=16，則f（7）的值為（ ? ? ）

A. 31 ? ? ? ? ?B. 17 ? ? ? ? ?C. -2 ? ? ? ? ?D. 2

解析：由f（-7）=a（-7）5+b（-7）3+c（-7）+7=16得a·75+b·73+c·7=-9，從而f（7）=a·75+b·73+c·7+7=-9+7=-2，故選答案C.

其實(shí)我們完全可以取a、b、c的特殊值來(lái)解決，如不妨取a=0、b=0、c=- ，則f（-7）=16成立，故f（7）=- ×7+7=-2.

例3. 已知f（x）=x2-2014x，若f（m）=f（n）（m≠n），則f（m+n）=______.

解析：由f（m）=m2-2014m、f（n）=n2-2014n及f（m）=f（n）得（m-n）（m+n-2014）=0，又因?yàn)閙≠n，所以m+n=2014，則f（m+n）=f（2014）=20142-2014×2014=0. 實(shí)際上，我們可以取m=0，n=2014這一組特殊值來(lái)求解，直觀簡(jiǎn)潔.

點(diǎn)評(píng)：一般的解法往往計(jì)算量比較大，如果能用特殊的數(shù)值來(lái)代替一般的計(jì)算就能大大節(jié)省解題時(shí)間，從而達(dá)到巧妙解題.

例4. 已知函數(shù)f（x）= （x≠- ）滿足f[f（x）]=x，求實(shí)數(shù)c的值.

解析：因?yàn)閒[f（x）]= = = =x，所以（2c+6）x2+9x=c2x，故2c+6=0，9=c2，得c=-3.

對(duì)于本題，也可用特殊值法求解如下：因?yàn)閒[f（-1）]=f（-c）= =-1，c2+2c-3=0，c=1或c=-3……①.怎么多解了呢？問(wèn)題出在哪兒？如何解決或避免？

我們知道，從一般到特殊是必成立的，但從特殊到一般是不一定成立的，所以需要檢驗(yàn)！例如對(duì)于例5，求得c=1或c=-3后，我們還應(yīng)分c=1或c=-3兩種情況進(jìn)行檢驗(yàn)如下：

當(dāng)c=1時(shí)，f[f（x）]= = ≠x，不滿足;當(dāng)c=-3時(shí)，

f[f（x）]= = =x，滿足， 所以c=-3.

當(dāng)然，如果我們能再用一次特殊值法求c的話，問(wèn)題也能解決.

又因?yàn)閒[f（-2）]=f（2c）= =-2，c2+4c+3=0，c=-1或c=-3……②，故由①②得c=-3.

例5. 設(shè)函數(shù)f（x）=x3-ax2-bx+a2在x=1處有極值10，則a，b的值為（ ? ? ）

A. a=3，b=-3或a=-4，b=11 ? ? B. a=3，b=1或a=-4，b=11

C. a=-1，b=5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? D. 以上都不對(duì)

解析：在得到f′（x）=3x2-2ax-b后，一般都會(huì)利用取特殊值得方程組f（1）=1-a-b+a2=10，f′（1）=3-2a-b=0，解得a=3，b=-3或a=-4，b=11，從而選A. 實(shí)際上當(dāng)a=3，b=-3時(shí)，f′（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2≥0，所以f（x）在R上是增函數(shù)，不存在極值！當(dāng)a=-4，b=11時(shí)符合.因此答案應(yīng)為D.

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)用特殊值法求出的結(jié)果有多個(gè)時(shí)，需要通過(guò)檢驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證是否都是問(wèn)題的解，否則極易形成多解.

二、取特殊函數(shù)巧妙解題

例6. 設(shè)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），對(duì)任意x∈R都有f′（x）>f（x）成立，則（ ? ? ）

A. 3f（ln2）>2f（ln3） ? ? ? B. 3f（ln2）=2f（ln3）

C. 3f（ln2）<2f（ln3） ? ? ? D. 3f（ln2）與2f（ln3） 的大小不確定

解析：乍看題目，本題比較難找解題思路，但我們可以聯(lián)想導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則中的商的導(dǎo)數(shù)公式（ ）′= ，f′（x）>f（x）等價(jià)于f′（x）-f（x）>0，故可構(gòu)造函數(shù)h′（x）=[ ]′= >0，只要考慮g′（x）=g（x）即可，在中學(xué)階段這樣的函數(shù)容易想到是g（x）=0或g（x）=ex，故可以構(gòu)造函數(shù)h（x）= ，并且知h（x）是R上增函數(shù)，從而h（ln2）

另一方面，我們也可以從選擇子特征進(jìn)行聯(lián)想. 3f（ln2）與2f（ln3）的大小比較等價(jià)于 與 的大小比較，從而可以聯(lián)想到考慮函數(shù)h（x）= 的單調(diào)性，由f′（x）>f（x）知f′（lnx）>f（lnx），所以h′（x）= = >0，故h（x）= 是增函數(shù)，由h（2）

上述兩種思路要求都非常高，既然該題沒(méi)有具體解析式，那么可以通過(guò)特殊函數(shù)來(lái)解決.例如取f（x）=-1，則f′（x）=0>f（x），而此時(shí)3f（ln2）=-3，2f（ln3）=-2，所以3f（ln2）<2f（ln3） . 顯然，這種方法比前面兩種方法都簡(jiǎn)單得多.

三、取特殊圖像巧妙解題

例7. 若函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，在（-∞，0]上是減函數(shù)，且f（2）=0，則使得f（x）<0的x的取值范圍是（ ? ? ）

A. （-∞，2）

B. （-2，2）

C. （-∞，-2）∪（2，+∞）

D. （2，+∞）

解析：本題是沒(méi)有具體解析式的一個(gè)抽象函數(shù)，如果僅在大腦中憑空想象，比較難理解.我們可以取一個(gè)特殊的函數(shù)圖像來(lái)形象直觀的幫助解題.如圖是一個(gè)符合題意的圖像，從圖上可以直觀觀察出f（x）<0的x的取值范圍是（-2，2）.

第四篇：平面向量中的特殊化思想

平面向量是“既有數(shù)又有形”的一個(gè)比較特殊的概念，相關(guān)問(wèn)題的求解具有一定的挑戰(zhàn)性，但是，如果能夠用好“特殊化思想”，則同樣可以相對(duì)容易地解決.

一、根據(jù)所求值的象限來(lái)巧妙解題

例1. 若將向量 =（2，1）圍繞原點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 得到向量 ，則 的坐標(biāo)為（ ? ? ）

A. （- ，- ） ? ? ? ? B.（ ， ）

C. （- ， ） ? ? ? ? ? D. （ ，- ）

解析： 如圖，cos？琢= ，sin？琢= ，由于 向量在旋轉(zhuǎn)前后的模不發(fā)生變化，所以 的橫坐標(biāo)為 cos？茁= cos（？琢+ ）= （cos？琢cos -sin？琢sin ）= （ · - · ）= ;同理可求得 的縱坐標(biāo)為 sin？茁= sin（？琢+ ）= （sin？琢cos +cos？琢sin ）= （ · + · ）= ，所以 =（ ， ）.

但實(shí)際上，我們可以從判斷A、B、C、D四個(gè)選擇項(xiàng)的點(diǎn)的所在象限上直接給出答案B，因?yàn)?=（2，1）與x軸的正向所成的角？琢< ，所以圍繞原點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 得到的向量 在第一象限，而四個(gè)選擇項(xiàng)中只有B表示第一象限的點(diǎn)，故選B.

二、根據(jù)圖像或圖形的可變性來(lái)來(lái)巧妙解題

例2. 已知D是？駐ABC的邊AC上一點(diǎn)，且 =2+2 ，∠C=45°，∠ADB=60°，則 · 的值為（ ? ? ）

A. 2 ? ? ? ? ? B. 0

C. ? ? ? ?D. 1

解析：該題的解法還是比較多的，這里僅提供以下的方法.設(shè)DC=a，則AD=（2+2 ）a，AC=（3+2 ）a.又∠C=45°，∠ADB=60°，所以∠DBC=15°，由正弦定理得DB= ·sin45°=（ +1）a，再由余弦定理得AB2=DB2+AD2-2DB·ADcos60°=（12+6 ）a2，而AB2+DB2=（16+8 ）a2=AD2，所以AB⊥DB，則 · =0.

但實(shí)際上，我們可以從判斷A、B、C、D四個(gè)選擇項(xiàng)的形式上和？駐ABC形狀的可變性上直接給出答案B，因?yàn)?？駐ABC中的邊長(zhǎng)和角度之間的比例等關(guān)系是確定不變的，但的大小（只要相似即可）是可變的，具體地就是AB、DB的長(zhǎng)度可按比例同時(shí)伸長(zhǎng)或縮短，但∠ABD的大小在這個(gè)過(guò)程中卻是不變的，由選擇子結(jié)果看， · 得到的應(yīng)該是一個(gè)不會(huì)變的定值，所以只能是 · =0.

三、根據(jù)特殊值或特殊圖形來(lái)巧妙解題

例3. 設(shè)？駐ABC，P0是邊AB上一定點(diǎn)，滿足P0B= AB，且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P，恒有 · ≥ · ，則（ ? ? ）

A. ∠ABC=90° ? B. ∠BAC=90° ? ?C. AB=AC ? D. AC=BC

解析：不妨設(shè)AB=4，則P0 B=1，P0 A=3.

本題解題方法比較難尋找，一種解法：可以根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算直接判斷三角形形狀.如例3圖，A（-2，0），B（2，0），P0（1，0），P（t，0）（-2≤t≤2），C（n，m），則 · =t2-（n+2）t+2n， · =n-1，所以 · - · =t2-（n+2）t+n+1=（t-1）[t-（n+1）]≥0對(duì)-2≤t≤2恒成立，故1=n+1，即n=0，所以點(diǎn)C在y軸上，故AC=BC.

可以從不同的特殊角度采用排除法巧解題.

特殊解法1：可以根據(jù)向量投影的概念，對(duì)選項(xiàng)采用排除法.設(shè)點(diǎn)C在直線AB上的投影為點(diǎn)D.對(duì)于選項(xiàng)A，如例3圖-1，則 · = · cos∠BPC= 2， · = 2當(dāng)點(diǎn)P落在點(diǎn)P0的右側(cè)時(shí)， 2< 2，不符合;對(duì)于選項(xiàng)B，如例3圖-2，則 · = · cos∠BPC=- ?， · ?=- ?=-3，當(dāng)點(diǎn)P為AB中點(diǎn)時(shí)， · =-4， · < ?· ，不符合;對(duì)于選項(xiàng)C，如例3圖-3，假設(shè)∠BAC=120°，則AD=2， · = · cos∠BPC=- ?， · =- · =-5，當(dāng)點(diǎn)P落在A點(diǎn)時(shí)， · =-8， · < ?· ，不符合. 故選D.

特殊解法2：可以根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算，對(duì)選項(xiàng)采用排除法.對(duì)于選項(xiàng)A，如例3圖-4，因?yàn)椤螧P0C為銳角，所以 · >0，若P取為B點(diǎn)，則 · =0，不符合;對(duì)于選項(xiàng)B、C，如例3圖-5，在？駐ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，若取P為AB中點(diǎn)，則C（4，0），B（0，4），P（0，2），P0（0，3），所以 · =（0，2）·（4，-2）=-4， · =（0，1）·（4，-3）=-3，不符合;故選項(xiàng)正確.對(duì)于選項(xiàng)D，如例3圖-6，A（-2，0），B（2，0），P0（1，0），P（t，0）（-2≤t≤2），C（0，m），則 · =t2-2t≥-1， · =-1，故 · ≥ · .

例4. 如圖，在？駐OAB中，C為OA上的一點(diǎn)，且 = ?，D是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線l∥OD，p是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，若 =？姿1 +？姿2 ，則？姿1-？姿2=__________.

解析：該題的解題入口：向量共線定理較難發(fā)現(xiàn)，因?yàn)?= - = ?-（？姿1 +？姿2 ）=-？姿1 +（ -？姿2） ， = ?+ ?， ∥ ，所以-？姿1= -？姿2，則？姿1-？姿2=- .但是，同學(xué)們可以將其特殊化來(lái)降低難度，簡(jiǎn)單化求解，例如例4圖-1，取OA⊥OB，A（3，0），B（0，2），則C（2，0），D（1，1），所以直線l∶y=x-3，設(shè)P（x，x-3），則由 =？姿1 +？姿2 得（x，x-3）=（2？姿2，2？姿1），從而x=2？姿2，x-3=2？姿1，所以？姿1-？姿2=- .當(dāng)然最簡(jiǎn)單的應(yīng)該是取A點(diǎn)即為P點(diǎn)，此時(shí)？姿1=0，？姿2= ，則？姿1-？姿2=- .

第五篇：三角中的特殊化思想

三角雖說(shuō)知識(shí)點(diǎn)并不難，但公式非常多，而且對(duì)公式的變用、靈活運(yùn)用的要求都非常高，解題具有一定的難度，如果解題中能夠多嘗試應(yīng)用特殊化思想解題，則會(huì)收到事半功倍的效果.

一、根據(jù)所求值的特殊符號(hào)來(lái)巧妙解題

例1. 已知tanx=m（？仔

A. m ? ? ? ? ? ?B. -m

C. ±m(xù) ? ? ? ? ? D.

解析：通過(guò)tanx=m的值，利用同角三角基本關(guān)系式的商數(shù)關(guān)系tanx= 得cosx= sinx，再利用平方關(guān)系sin2x+cos2x=1得sin2x= ，再結(jié)合角x的范圍？仔0，sinx<0，所以sinx=-m ?.

但實(shí)際上，我們可以從判斷A、B、C、D四個(gè)選擇項(xiàng)的符號(hào)上直接給出答案B，因?yàn)?？?x< ？仔，所以tanx="m">0，sinx<0，而m >0，±m(xù) 不小于0， >0，只有-m <0，故只有B符合正弦值的符號(hào).

二、根據(jù)所求值的特殊范圍來(lái)巧妙解題

例2. 若2sin2？琢+sin2？茁-2sin？琢=0，則cos2？琢+cos2？茁的取值范圍是（ ? ）

A. [1，5] ? ? ?B. [1，2] ? ? ?C. [1， ] ? ? ?D. [-1，2]

解析：除了找不到解題思路外，一般解法為：由2sin2？琢+sin2？茁-2sin？琢=0得sin2？茁=-2sin2？琢+2sin？琢，所以cos2？琢+cos2？茁=cos2？琢+1-sin2？茁=cos2？琢+1+2sin2？琢+2sin？琢=（sin？琢-1）2+1，又因?yàn)閟in2？茁=-2sin2？琢+2sin？琢≥0，所以0≤sin？琢≤1，故1≤（sin？琢-1）2+1≤2，即1≤cos2？琢+cos2？茁≤2.

但實(shí)際上，我們可以從判斷A、B、C、D四個(gè)選擇項(xiàng)的大致范圍上直接給出答案B，因?yàn)楦鶕?jù)平方數(shù)的性質(zhì)和余弦的范圍必有0≤cos2？琢+cos2？茁≤2，所以只能選B.

注：本題還要注意錯(cuò)誤的認(rèn)為sin？琢的范圍為 [-1，1]，從而錯(cuò)選答案A.

三、取特殊值來(lái)巧妙解題

例3. 函數(shù)y=asinx-bcosx的一條對(duì)稱軸方程是x= ，則直線ax-by+c=0的傾斜角為（ ? ?）

A. 45° ? ? B. 135° ? ? C. 60° ? ? D. 120°

解析：本題是三角問(wèn)題中有關(guān)對(duì)稱性問(wèn)題的一類，常規(guī)方法求解比較繁雜且極易做錯(cuò)：y=asinx-bcosx= sin（x-？琢），其中cos？琢= ，sin？琢= ，由sin（ -？琢）= cos？琢- sin？琢=± 化簡(jiǎn)得（a+b）2=0，故 =-1，因此直線ax-by+c=0的傾斜角為135° . 而如果能用特殊化思想來(lái)解，則顯得比較容易多了. 因?yàn)閒（x）=asinx-bcosx關(guān)于x= 對(duì)稱，所以f（0）= ?f（ ），則-b=a，故 =-1，因此直線ax-by+c=0的傾斜角為135°，選B.

四、取特殊圖形來(lái)巧妙解題

例4. 在直角三角形ABC中，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段CD的中點(diǎn)，則 =（ ? ? ）

A. 2 ? ? ? ? B. 4 ? ? ? ? C. 5 ? ? ? ? D. 10

解析1：將？駐PAB補(bǔ)成平行四邊形PAEB，如例4圖-1，因?yàn)槠叫兴倪呅螌?duì)角線的平方和等于四條邊平方和，所以在平行四邊形PAEB中，PA2+PB2= [（2PD）2+AB2]=

（4PC2+4CD2）= （4PC2+16PC2）=10PC，則 =10.

解析2：注意到？駐ABC是幾何圖形，所以放入直角坐標(biāo)系中解也是一種非常不錯(cuò)的選擇.如例4圖-2建立平面直角坐標(biāo)系，則C（0，0），設(shè)B（0，2a），B（2b，0），其中a，b>0，故D（b，a），P（ ， ），所以PA2=（ ）2+（ ）2，PB2=（ ）2+（ ）2，PC2=（ ）2+（ ）2，故PA2+PB2= + =10PC2，于是得 =10.

特殊方法：注意到？駐ABC是是否為等腰三角形不會(huì)影響所求結(jié)果，所以不妨??？駐ABC是為等腰直角三角形，如例4圖-3，則AD=BD=2PC=2PD，所以PA2+PB2=2PA2=2（PD2+AD2）=2（PC2+4PC2）=10PC2，故 =10.

例5. 設(shè)P是？駐ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，S？駐ABC表示？駐ABC的面積，？姿1= ，？姿2= ，？姿3= ，定義f（P）=（？姿1，？姿2，？姿3），若G是？駐ABC的垂心，f（Q）=（ ， ， ），則（ ? ? ）

A. 點(diǎn)Q在？駐GAB內(nèi) ? ? ? B. 點(diǎn)Q在？駐GBC內(nèi)

C. 點(diǎn)Q在？駐GCA內(nèi) ? ? ? D. 點(diǎn)Q與點(diǎn)G重合

解析：該題能難倒同學(xué)們不知從何下手.其實(shí)，我們可以考慮？駐ABC是正三角形，如例5圖，點(diǎn)O是正？駐ABC的中心，則O點(diǎn)就是G點(diǎn)，因?yàn)?= ，所以Q在O過(guò)點(diǎn)且平行于CA的直線MN上，又因?yàn)?= ，所以Q在O過(guò)點(diǎn)且平行于BC的直線RS上方，從而Q點(diǎn)在線段OM上，因此Q在在慮？駐GAB內(nèi)，從而選A.

例6. 在？駐ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，如果a，b，c，成等差數(shù)列，則 =__________.

解析：同學(xué)們會(huì)由2b=a+c得2sinB=sinA+sinC嘗試解本題，立馬被否決，思維易停止.本題的一種解法是余弦定理代入，cosA= = = ，同理cosC= ，將兩式代入目標(biāo)式得 = = ，計(jì)算、化簡(jiǎn)要求較高，而如果同學(xué)們想到用特殊三角形來(lái)解，則比較方便，如可以是邊長(zhǎng)為3、4、5的直角三角形，當(dāng)然取正三角形是最簡(jiǎn)單的， = = .

點(diǎn)評(píng)：顯然特殊法中“特殊”的程度會(huì)影響解題的快慢，所以，用特殊法解題時(shí)應(yīng)盡可能取最特殊的情況.

第六篇：數(shù)列中的特殊化思想

數(shù)列是一種具有遞推關(guān)系的量，給人的感覺(jué)是“無(wú)窮無(wú)盡”，容易造成難解題的錯(cuò)覺(jué).其實(shí)如果能夠從特殊化思想考慮便能馬到成功.

一、取特殊值來(lái)巧妙解題

例1. 已知a，b，c成等比數(shù)列，如果a，x，b和b，y，c都成等差數(shù)列，則 + =（ ? ? ）

A. 1 ? ? ? ? B. 2 ? ? ? ? C. 3 ? ? ? ? D. 4

解析：本題常規(guī)解法是由b2=ac，2x=a+b，2y=b+c得 + = + = = =2，但不如用特殊化思想來(lái)得簡(jiǎn)捷，若取a=1，b=2，c=4，則x= ，y=3，故 + = + =2，當(dāng)然取a=b=c=1時(shí)可更簡(jiǎn)潔直觀得結(jié)果，故選B.

例2. 等差數(shù){an}列中，am=n，an=m（m≠n），則它的第m+n項(xiàng)為（ ? ? ）

A. mn ? ? B. m+n ? ?C. m-n ? ?D. 0

解析：常規(guī)方法為由公差d= =-1，得am+n=am+nd=0，但特殊化思想的應(yīng)用則更勝許多，若不妨取m=1，n=2，則a1=2，a2=1，故a3=0，選D.

二、從特殊情形解決中感悟一般解法

例3. 已知二次方程ax2+bx+c=0的兩根n次方的和為Sn，求證：Sn=- （n=3，4，5，…）.

解析：同學(xué)們直接找出該題的解法一般是非常困難的，但我們可以從n=3的這種特殊情形的解決過(guò)程來(lái)探求解題途徑.設(shè)方程兩根為x1，x2則x1+x2=- ，x1x2= ，S1=x1+x2，S2=x12+x22，S3=x13+x23=（x12+x22）（x1+x2）-x1x2（x1+x2）=S2=（- ）- S1=- .由S3的啟示，我們找到了解題的途徑，即可沿著這條途徑

“進(jìn)”到Sn，Sn=（x1n-1+x2n-1）（x1+x2）-x1x2（x1n-2+x2n-2）=Sn-1（- ）- Sn-2=- .

點(diǎn)評(píng)：特殊化情形的解決過(guò)程有助于發(fā)現(xiàn)或得到一般性問(wèn)題的解法.

第七篇：解析幾何中的特殊化思想

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容之一，繁雜的計(jì)算、平面幾何性質(zhì)的應(yīng)用和較高的分析問(wèn)題能力一直是同學(xué)們最頭痛的，但是，如果我們能夠合理利用好特殊化思想，則解決問(wèn)題也會(huì)有“小菜一碟”的感覺(jué).

一、根據(jù)所求結(jié)果的個(gè)數(shù)來(lái)巧妙解題

例1. 已知平行四邊形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-1，0），（3，0），（1，-5），則第四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ? ? ）

A. （1，5）或（5，-5） ? ? ? ?B. （1，5）或（-3，-5）

C. （5，-5）或（-3，-5） ? ? D. （1，5）或（-3，-5）或（5，-5）

解析：設(shè)第四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為D（x，y），記A（-1，0），B（3，0），C（1，-5），則當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)有（解法1）： = ，即（x+1，y）=（2，5），所以x=1，y=5;（解法2）： AB中點(diǎn)與CD中點(diǎn)重合，即-1+3=x+1，0+0=y+（-5）所以x=1，y=5，所以第四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，5）.

用同樣的方法可以求得當(dāng)AC為對(duì)角線、BC為對(duì)角線時(shí)第四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，-5）、（5，-5）.

但實(shí)際上，我們可以從判斷A、B、C、D四個(gè)選擇項(xiàng)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)上直接給出答案D，因?yàn)楦鶕?jù)三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)可以作三個(gè)平行四邊形，因此第四個(gè)點(diǎn)應(yīng)該有三種情況，而只有D是三種.

二、根據(jù)特殊位置來(lái)巧妙解題

例2. 過(guò)拋物線y=ax2（a>0）的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，若線段PF與QF的長(zhǎng)分別是p，q則 + 等于（ ? ? ）

A. 2a ? ? ? ? B. ? ? ? ? ? C. 4a ? ? ? ? D.

解析：許多同學(xué)在做這題時(shí)都用常規(guī)方法求解，因此比較費(fèi)時(shí)，可以說(shuō)是“小題大做”.其實(shí)，該問(wèn)題我們只要考慮它的一種特殊情形即可，即當(dāng)PQ∥x軸時(shí)的情形，此時(shí)p=q= ，從而 + =4a，選C. 當(dāng)然也可以考慮PQ的極限位置y軸.

例3. 已知P、Q是橢圓 + =1（a>b>0）上的兩點(diǎn)，若連結(jié)A（-a，0）與Q的直線平行于直線OP，且與y軸交于點(diǎn)R，則 的值是_____________.（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）

解析：該題解題入口很寬，同學(xué)們基本都能入手解答，而真正計(jì)算時(shí)卻又實(shí)在太難進(jìn)行下去，從而不愿（其實(shí)也不能）解答下去.其實(shí)，掌握了特殊化思想這個(gè)武器后，想要解決本問(wèn)題絕對(duì)是“小菜一碟”.請(qǐng)看：不妨取P（a，0），Q（a，0），則R（0，0），此時(shí) = =2，多么輕松?。⊥瑢W(xué)們應(yīng)該看出來(lái)了，我們是利用了OP、OQ都重合于x軸的這種特殊位置.

例4. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知？駐ABC的頂點(diǎn)A（-4，0）和C（4，0），頂點(diǎn)B在橢圓 + =1上，求 的值.

解析：該題除了能利用正弦定理 = = = 外，一般比較難解決，但是我們可以利用頂點(diǎn)B在橢圓上的特殊位置來(lái)解決.

不妨取B（0，3），則sinA=sinC= ，cosB= =- ，所以sinB= = ，故 = × = .

例5.（2014高考遼寧理科15）已知橢圓C∶ + =1，點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合. 若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為A，B，線段MN的中點(diǎn)在C上，則|AN|+|BN|=__________.

解析：該題最大的難點(diǎn)是很難根據(jù)題意作出解題用圖，就算作出了也難以發(fā)現(xiàn)其中隱含的圖形性質(zhì).如圖，由三角形中位線性質(zhì)知，|AN|+|BN|=2|DF1|+2|DF2|=12.但是發(fā)現(xiàn)不了這些性質(zhì)完全沒(méi)有關(guān)系，我們可以取M點(diǎn)的特殊位置來(lái)解題.例如取M（0，0），則A（-2 ，0），B（2 ，0），不妨取N（0，4），則|AN|+|BN|=6+6=12.

三、根據(jù)特殊來(lái)指導(dǎo)一般巧妙解題

人教A版必修二4.2.3《直線與圓的方程的應(yīng)用》練習(xí)4：

例6. 在等邊？駐ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，且|BD|= |BC|，|CE|= |CA|，AD，BE相交于點(diǎn)P. 求證：AP⊥CP.

解析：因?yàn)槭墙馕鰩缀沃械念}，所以肯定會(huì)想到用坐標(biāo)法解決.

如圖，以B為原點(diǎn)，BC邊所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，若設(shè)C（6，0），則A（3， 3 ），由已知得D（2，0），E（5， ）.直線AD的方程為y=3 （x-2），直線BE的方程為y= （x-5）+ . 聯(lián)立兩直線方程得P（ ， ），所以直線PC的斜率為 =- ，故直線PC、AD的斜率滿足- ×3 =-1，所以AP⊥CP.

注：從上面的解答過(guò)程我們可以得到|DP|= ，|DA|=2 ，故|DP|= |DA|，同理|BP|= |BE|.

那么，能否用其他方法解決呢？下面我們用平面向量的方法來(lái)求證.

設(shè)邊長(zhǎng)為a， =？姿 =，則 = + = - ?， = + =- ?+？姿 =- ?+？姿（ + ）=- ?+？姿（ + ?）= ?+ ?，因?yàn)?∥ ，所以1× -（- ）× =0，解得？姿= .于是 = + =- ?+ = ?- ?，同理 =- ?+ ?，故 · =（ ?- ?）·（- ?+ ?）=- a2+ a2· - a2=0，因此， ⊥ ，則PA⊥PC.

注：仔細(xì)分析上述兩種解法可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)三角形為一般三角形時(shí)PA⊥PC就不成立了，但|DP|= |DA|，|BP|= |BE|仍成立.

以下兩道題是適當(dāng)改變、類比上面課本題的命題方式而得到的，我們可以在上述特殊三角形即正三角形的解決過(guò)程中發(fā)現(xiàn)或得到一般性三角形問(wèn)題的解決方法.

變式1. 如圖，已知？駐ABC面積為1，點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、CA、AB上，BD=2DC，CE=2EA，AF=2FB，AD、BE、CF兩兩相交，交點(diǎn)為P、Q、R. 求？駐PQR的面積.

解析：該題顯然可以認(rèn)為是課本練習(xí)題的變式，而且可以從課本題解決得到的“副產(chǎn)品”|DP|= |DA|，|BP|= |BE|（其他線段上的關(guān)系也成立）得到該題的一種解法：因?yàn)镾？駐PQR= · S？駐EQC= · S？駐EQC= S？駐EQC，S？駐EQC= S？駐EBC，S？駐EBC= S？駐ABC，所以S？駐PQR= S？駐EQC= · · S？駐ABC= .

當(dāng)然該題也可以用梅涅勞斯定理解：

由直線BPE截？駐ADC應(yīng)用梅涅勞斯定理得 · · =1，故 · · =1， = ，所以S？駐APB= S？駐ABD= · S？駐ABC= ，同理S？駐BQC=S？駐ARC= ，故S？駐PQR=S？駐ABC-S？駐APB-S？駐BQC-S？駐ARC= .

變式2. 在？駐ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，且|BD|= |BC|，|CE|= |CA|，AD，BE相交于點(diǎn)P， 則 = ? ? ? ? ? .

解析：由前面分析知，S？駐BDP= S？駐ABD= · S？駐ABC= S？駐ABC，S？駐AEP= S？駐AEB= · S？駐ABC= S？駐ABC，所以 = .

將三角形類比到四邊形中可以命制和解決2014年高考廣東理科15題：

變式3. 如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AB上且EB=2AE，AC與DE交于點(diǎn)F，則 = ? ? ? ? ? ? ?.

解析：通過(guò)D、F、E三點(diǎn)共線和A、F、C三點(diǎn)共線，用向量共線的方法可以得到 = ?， = ?，所以S？駐CDF= S？駐CDA，S？駐AEF= · S？駐ABC= S？駐ABC，故 =9.

當(dāng)然，注意到？駐AEF與？駐CDF相似，且相似比為 = ，則易得 =9.

第八篇：概率統(tǒng)計(jì)中的特殊化思想

概率統(tǒng)計(jì)并不一定只能通過(guò)計(jì)算才能按部就班解決，也可以運(yùn)用一些特殊的模型達(dá)到巧妙解題.

例1.（2014年高考浙江理科9）已知甲盒中僅有1個(gè)球且為紅球，乙盒中有m個(gè)紅球和n個(gè)藍(lán)球（m≥3，n≥3），從乙盒中隨機(jī)抽取i（i=1，2）個(gè)球放入甲盒中.

（1）放入i個(gè)球后，甲盒中含有紅球的個(gè)數(shù)為？孜i（i=1，2）;

（2）放入i個(gè)球后，從甲盒中取1個(gè)球是紅球的概率記為Pi（i=1，2）.

則（ ?）

A. p1>p2，E（？孜1）E（？孜2）

C. p1>p2，E（？孜1）>E（？孜2） ? ? ? ?D. p1

解析：一般肯定是列出隨機(jī)變量？孜1，？孜2的分布列，計(jì)算期望值并比較大小，利用分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算p1，p2并比較大小.

隨機(jī)變量？孜1，？孜2的分布列如下：

所以E（？孜1）= + = ，E（？孜2）= + + = ，故E（？孜1）

因?yàn)閜1= + · = ，p2= + · + · = ，p1-p2= >0，所以p1>p2.故應(yīng)選A.

實(shí)際上，本題如果我們能從特殊的模型——溶液中的溶質(zhì)與濃度來(lái)考慮，則問(wèn)題很容易求解.可以把甲盒看成是含有 ×100%紅球的溶液，把乙盒看成是含有紅球的溶液，則E（？孜i）可以看成是甲盒中溶質(zhì)的多少，顯然多放一次溶液溶質(zhì)一定是增加的，故E（？孜1）p2.

第九篇：立體幾何中的特殊化思想

立體幾何問(wèn)題的解決需要有比較強(qiáng)的空間想象能力，但我們可以利用特殊化思想來(lái)彌補(bǔ)這一能力的不足.

例1.（2014年高考四川理科8）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)O為線段BD的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)P在線段CC1上，直線OP與平面A1BD所成的角為？琢，則sin？琢的取值范圍是（ ?）

A. [ ，1] ? ? ?B. [ ，1]

C. [ ， ] ? ?D. [ ，1]

解析：一般方法比較麻煩，可以根據(jù)點(diǎn)P的特殊位置求解.

根據(jù)題意可知平面A1BD⊥平面A1ACC1且兩平面的交線是A1O，所以過(guò)點(diǎn)P作交線A1O的垂線PE，則PE⊥平面A1BD，所以∠A1OP或其補(bǔ)角就是直線OP與平面A1BD所成的角？琢.設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，則根據(jù)圖形可知直線OP與平面A1BD可以垂直，即sin？琢可以取1.當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C1重合時(shí)可得A1O=OP= ，A1C1=2 ，所以由等面積法得 × × ×sin？琢= ×2 ×2，解得sin？琢= ;當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)可得sin？琢= = .綜上所述， ≤sin？琢≤1，選B.

特殊化與一般思想鞏固練習(xí)

1. 已知函數(shù)f（x）=2ax2+4（a-3）x+5在區(qū)間（-∞，3）上是減函數(shù)，則a的取值范圍是（ ?）

A. （0， ） ?B. （0， ] ?C. [0， ） ?D. [0， ]

2. （1）已知函數(shù)地f（x）的定義域?yàn)镽，當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>1，且對(duì)任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）f（y），則不等式f（lnx）≤ 的解集為（ ?）

A. （0， ] ?B. [ ， ] ?C. （0，e-1] ?D. （0， ]

（2）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈={x|x≠0}，且滿足對(duì)于任意x1，x2∈D，有f（x1·x2）=f（x1）+f（x2），則f（1）=________.

3. （1）若函數(shù)f（x）=x-1，x>0a，x=0x+b，x<0是奇函數(shù)，則a+b= ? ? ? ? ? .

（2）設(shè)f（x）=lg（ +a）是奇函數(shù)，則使f（x）<0成立x的取值范圍是（ ?）

A. （-1，0） B. （0，1） C. （-∞，0） D. （-∞，0）∪（1，+∞）

4. 已知函數(shù)f（x）=x2+2x-1，x≥0x2-2x-1，x<0則對(duì)于任意x1，x2∈R，若0<|x1|<|x2|，下列不等式成立的是（ ?）

A. f（x1）+f（x2）<0 ? B. f（x1）+f（x2）>0

C. f（x1）-f（x2）>0 ? D. f（x1）-f（x2）<0

5. 已知cos（ -？茲）=a（|a|≤1），則cos（ +？茲）+sin（ -？茲）的值是________.

6. （1）數(shù)列0，1，0，-1，0，1，0，-1，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an等于（ ?）

A. ? ?B. cos ? C. cos ？仔 ?D. cos ？仔

（2）已知數(shù)列{an}： ， + ， + + ，…， + + +…+ ，…，若bn= ，那么數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn為（ ?）

A. ? ?B. ? ?C. ? ?D.

7.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則 · 的值為_(kāi)_____________.

8. 已知a>0，b>0，若不等式 - - ≤0恒成立，則m的最大值為（ ?）

A. 4 ? ?B. 16 ? C. 9 ? ?D. 3

9. 直線2x-my+1-3m=0，當(dāng)m變動(dòng)時(shí)，所以直線都通過(guò)定點(diǎn)（ ?）

A. （- ，3） ?B. （ ，3） ?C. （ ，-3） ?D. （- ，-3）

10. 如圖，圓F：（x-1）2+y2=1和拋物線x= ，過(guò)F的直線與拋物線和圓依次交于A、B、C、D四點(diǎn)，求|AB|·|CD|的值是（ ?）

A. 1 ? B. 2 ? C. 3 ? D. 無(wú)法確定

11. 如圖，P（4，3）為圓x2+y2=25上一點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)為y軸上的兩點(diǎn)，？駐PEF為以P為頂點(diǎn)的等腰三角形，直線PE，PF交圓于D，C兩點(diǎn)，則直線CD的斜率是（ ?）

A. ? ? B. ? ? C. 1 ? D.

參考解答：

1. 解析：可以根據(jù)選擇項(xiàng)的特點(diǎn)，取特殊值代入驗(yàn)證.當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-3x+5在區(qū)間（-∞，3）上是減函數(shù);當(dāng)a= 時(shí)，f（x）= x2-9x+5在區(qū)間（-∞，3）上是減函數(shù).所以選擇D.

2. 解析：（1）對(duì)于f（x+y）=f（x）f（y），我們可以取特殊函數(shù)指數(shù)函數(shù)f（x）=ax，又因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，f（x）>1且有f（lnx）、 f（lnx+1），所以不妨取f（x）=ex，則f（lnx）=x， f（lnx+1）=ex，故不等式f（lnx）≤ 化為x≤ ，所以可以解得x≤- 或0

（2）對(duì)于f（x1·x2）=f（x1）+f（x2），我們可以取特殊函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)f（x）=logax，所以f（1）=0. 當(dāng)然我們也可以取特殊的x1，x2的值來(lái)求解，例如x1=x2=1，則f（1·1）=f（1）+f（1），故f（1）=0.

注：對(duì)于題目中有類似條件f（x+y）=f（x）f（y）、f（x+y）=f（x）+f（y）、f（xy）=f（x）f（y）、f（xy）=f（x）+f（y）的函數(shù)，我們可以分別取特殊函數(shù)：指數(shù)函數(shù)、正比例函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)應(yīng)解題.

3. 解析：（1）奇函數(shù)在0處有定義必有f（0）=0，故a=0，又由f（1）=-f（-1）得b=1，所以a+b=1.

（2）由f（0）=lg（2+a）=0，得a=-1，所以f（x）=lg <0，則0< <1，解得-1

4. 解析：不妨取x1=1，x2=2，則f（x1）=2，f（x2）=7，故B、D成立;當(dāng)取x1= ，x2= ，則f（x1）=- ，f（x2）=- ，故只有D成立.

5. 解析：不妨??？茲=0，a= ，則cos（ +？茲）+sin（ -？茲）=cos +sin =- + =0.一般做法為cos（ +？茲）+sin（ -？茲）=-cos[？仔-（ +？茲）]+sin[ +（ -？茲）]=-a+a =0.

6. 解析：前幾項(xiàng)特殊值驗(yàn)證即可.

（1）因?yàn)閍1=0，故C不成立;a2=1，故B不成立;a4=-1，故A不成立，所以選D.

（2）因?yàn)閍1= ，a2=1，所以b1=2，故S1=2，選擇項(xiàng)中當(dāng)n=1時(shí)只有B滿足.

7. 解析：如圖，可以用特殊位置法，因?yàn)镋在AB邊上的運(yùn)動(dòng)時(shí) · 是定值，所以不妨取E為A，則 · =1×1×1=1.

8. 解析：不妨取a=b=1，則 -4≤0即m≤16恒成立，所以m的最大值可以為16.

而一般方法要這樣解答： - - ≤0等價(jià)于m≤（ + ）（3a+b）=10+ + 恒成立，

所以m≤（10+ + ）的最小值.

又10+ + ≥10+2 =16，

所以m≤16恒成立，故的最大值可以為16.

9. 解析：把選擇項(xiàng)具體代入直線方程2x-my+1-3m=0，只有D是滿足的.

另一方面，我們也可以繼續(xù)用下面的特殊化思想求解：當(dāng)m=0時(shí)，直線2x+1=0要通過(guò)定點(diǎn);

當(dāng)m=1時(shí)，直線2x-y-2=0要通過(guò)定點(diǎn)，

所以定點(diǎn)只能是兩直線2x+1=0，2x-y-2=0的交點(diǎn)（- ，-3）.

10. 解析：取直線為x=1，則易得AB=CD=1，故AB·CD=1.

當(dāng)然，我們也可以用一般的方法求出來(lái).

設(shè)A（x1，y1），D（x2，y2），則AB=AF-BF=x1+1-1=x1，

同理CD=x2，所以AB·CD=x1x2.

設(shè)直線方程為y=k（x-1），代入拋物線整理得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，

所以由韋達(dá)定理得x1x2=1，

故AB·CD=1.

11. 解析：不妨讓E取點(diǎn)（0，4），則點(diǎn)F（0，2），

所以直線PE方程為y=- x+4，PE方程為y= x+2，

聯(lián)立直線PE方程和圓方程，可得D（- ， ），

聯(lián)立直線PE方程和圓方程，可得C（- ， ），

于是由兩點(diǎn)斜率公式得直線CD的斜率是 .

從上面的解答中我們可以看到實(shí)際上直線PE，PF的斜率是互為相反數(shù)，于是可以得到一般解法：設(shè)直線PE方程為y-3=k（x-4），

聯(lián)立圓方程得（1+k2）x2+2k（3-4k）x+16k2-24k-16=0，

所以4·xD= ，則xD= ，

于是yD= .

同理xC= ，yC= ，

因此，由兩點(diǎn)斜率公式得直線CD的斜率是 .

（作者單位：浙江省紹興市柯橋區(qū)越崎中學(xué)）

責(zé)任編校 徐國(guó)堅(jiān)