喬梁 黃志堅 王福欣 江國和

摘 要：受噪聲污染信號的頻率的挖掘是一個重要的研究課題，不管是在醫(yī)療、通訊、還是其他領(lǐng)域，正弦信號的頻率估計在這些領(lǐng)域都有所用途。一般來說，對正弦信號的頻率估計的難點在于其混雜的天然白噪聲對測量結(jié)果的影響。文章將介紹利用自抗擾控制器（Active Disturbance Rejection Controller ，ADRC）中的擴張狀態(tài)觀測器（Extended State Observer ，ESO）為基礎(chǔ)來測定被白噪聲污染的正弦信號的測定，并將此方法與利用以跟蹤微分器（Tracking-Differentiator ，TD）為基礎(chǔ)來測定頻率的方法進(jìn)行了對比。通過仿真結(jié)果顯示：前者比后者測得的頻率結(jié)果更加準(zhǔn)確，頻率波動較小，體現(xiàn)了以ESO算法為基礎(chǔ)來測定被白噪聲污染的正弦信號的優(yōu)勢。

關(guān)鍵詞：頻率估計；擴張狀態(tài)觀測器；跟蹤微分器；自抗擾控制器

引言

人們對頻率估計的研究由來已久，因為頻率是信號的重要參數(shù)，在軍事領(lǐng)域，頻率估計的研究已有突破，如果能截取對方通訊信號的頻率即能得到重要的軍事信息；對海洋的開發(fā)與利用迫切需要對信號進(jìn)行處理，因此信號的頻率參數(shù)不可避免的成為了研究對象。但是一般來說信號都會混有噪聲，文獻(xiàn)[1]提出了ALPHA噪聲模型，但是其用途不廣。而白噪聲的模型在日常生活中最普遍，文章擬用的仿真系統(tǒng)就含有白噪聲。

而文章所介紹的方法對對比以上方法較為簡便，主要是以擴張狀態(tài)觀測器（Extended State Observer ，ESO）為基礎(chǔ)，經(jīng)過一定的數(shù)學(xué)推導(dǎo)來估算出頻率，并且與利用跟蹤微分器（Tracking-Differentiator ，TD）的方法做了對比試驗，體現(xiàn)出了擴張狀態(tài)觀測器的優(yōu)勢，在計算簡便的同時又不失精度。

1 頻率估計系統(tǒng)

基于數(shù)學(xué)推導(dǎo)，進(jìn)一步利用擴張狀態(tài)觀測器的微分效果來對受噪聲污染的正弦信號的頻率進(jìn)行估計，現(xiàn)已測得被噪聲污染的正弦信號x（t）=asin（？棕t）+？酌n（t），其中，a為振幅；？酌為噪聲強度；n（t）為白噪聲；？棕為頻率，如何估計出此信號所含的頻率？棕。

先看無噪聲的情形，取x（t）的微分，得

■（t）=a ？棕cos（？棕t） （1）

于是可得

就有

從而得出對信號頻率的估算。這個公式對噪聲污染的信號也是有效的，因此估計被污染的正弦信號的頻率就是用適當(dāng)?shù)姆椒▉淼玫叫盘柕奈⒎?，再進(jìn)行相應(yīng)的數(shù)學(xué)運算即可得到頻率。

2 擴張狀態(tài)觀測器（ESO）

系統(tǒng)是與外部進(jìn)行交流的過程中變化發(fā)展。人們通過收集系統(tǒng)外部變量來把握系統(tǒng)運行狀況對于動態(tài)過程而言，系統(tǒng)外部變量就是系統(tǒng)傳給外部的輸出變量，包括控制輸入，根據(jù)這種外部變量的觀測來確定系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)變量的裝置叫做擴張狀態(tài)觀測器。

對非線性系統(tǒng)

（4）

其中，x3（t）=f（x1（t），x2（t））

對這個系統(tǒng)建立擴張狀態(tài)觀測器

（5）

式中，？茁01，？茁02，？茁03是擴張狀態(tài)觀測器的增益系數(shù)。

則只要適當(dāng)選擇參數(shù)？茁01，？茁02，？茁03，這個系統(tǒng)能很好的估計系統(tǒng)的狀態(tài)變量x1（t），x2（t）及被擴張的實時作用量x3（t）=f（x1（t），x2（t）），我們利用擴張狀態(tài)觀測器主要是利用其微分效果，對輸入信號進(jìn)行跟蹤。

3 仿真研究

3.1 基于跟蹤微分器（TD）對含噪聲的信號頻率進(jìn)行估計

設(shè)輸入信號為：y=sin（？棕t）+0.1n（t），n（t）為[-1，1]之間均勻分布的隨機噪聲，當(dāng)頻率？棕=40，60時，將此信號經(jīng)過過跟蹤微分器（TD）后在Matlab中進(jìn)行仿真，取TD的速度因子？酌=1600，步長h=0.011，濾波因子T=0.01，TD的初值為：x1（0）=0.1，x2（0）=0.0

仿真結(jié)果如下（1），（2）：

（1）顯示的是基于跟蹤微分器（TD）對含噪白聲信號進(jìn)行的頻率估計，其中設(shè)定的頻率？棕=40，可以看出其頻率波動大約在34～39之間，并且最終頻率未到達(dá)設(shè)定值40，頻率波動較為明顯。

（2）顯示的是基于跟蹤微分器（TD）對含噪聲信號進(jìn)行的頻率估計，其中設(shè)定的頻率？棕=60，可以看出其頻率波動大約在54～62之間，頻率值波動較為明顯。

3.2 基于擴張狀態(tài)觀測器（ESO）對含白噪聲的信號進(jìn)行頻率估算

設(shè)輸入信號為：y=sin（？棕t）+0.1n（t），n（t）為[-1，1]之間均勻分布的隨機噪聲，頻率？棕=40，60時，將此信號進(jìn)過擴張狀態(tài)觀測器然后在Matlab中進(jìn)行仿真，并確定濾波因子T=0.01

仿真結(jié)果如下（3），（4）：

（3）顯示的是基于擴張狀態(tài)觀測器（ESO）對含白噪聲信號的頻率估計，設(shè)定的頻率？棕=40，其頻率波動范圍大約在39～42之間，隨著仿真時間的延續(xù)，頻率值穩(wěn)定在40.4左右，離設(shè)定值40很接近，但頻率前期仍有波動。

（4）顯示的基于擴張狀態(tài)觀測器（ESO）對含白噪聲信號的頻率估計，其中設(shè)定的頻率？棕=60，其頻率波動范圍大約在58～61之間，隨著仿真時間的延續(xù)，頻率值趨于穩(wěn)定在59.7左右，非常接近設(shè)定值60，但頻率前期波動仍然存在。

我們設(shè)定了二組頻率，分別使用跟蹤微分器（TD）與擴張狀態(tài)觀測器（ESO）為基礎(chǔ)的算法來估算頻率，可以看到以擴張狀態(tài)觀測器（ESO）為基礎(chǔ)來估測受白噪聲污染的正弦信號的頻率是可行的。

4 結(jié)束語

對比（1）與（3），（2）與（4），我們可以看到：

（1）基于擴張狀態(tài)所得的頻率結(jié)果更加接近設(shè)定值。

（2）同時，我們可以看到基于跟蹤微分器的頻率估計系統(tǒng)得到的頻率波動較大，至到仿真結(jié)束頻率值也不穩(wěn)定，但是我們可以利用擴張狀態(tài)觀測器得到更加平穩(wěn)、準(zhǔn)確的頻率值。

（3）因此，以擴張狀態(tài)觀測器為基礎(chǔ)的算法來估計受噪聲污染的正弦信號的頻率比利用跟蹤微分器的效果更好。

參考文獻(xiàn)

[1]Chavah VG，Da S，和克勞迪奧·R.檢測數(shù)字幅度相位調(diào)制對稱的α穩(wěn)定噪聲信號[J].IEEE通信，2012，60（11）：3365-3375.