林廷勝

摘 要：介紹一道高考數(shù)學(xué)題三種不同的解法；由題目的結(jié)論，推廣更一般性的結(jié)論，進而得到四個推論；把題目的條件與結(jié)論對換，即變式1，進行證明，把所求的結(jié)論改為求線段AB的中垂線的方程，即變式2，由變式2推廣更一般性的結(jié)論，進而得到四個結(jié)論.

關(guān)鍵詞：拋物線 直線 垂直平分線 四點共圓

題目 （2014年全國高考題大綱卷理科數(shù)學(xué)）已知拋物線c：y2=2px（p>0）的焦點為F，直線y=4與y軸的交點為P，與拋物線c的交點為Q，且|QF|=|PQ|，如圖1所示.

（1）求拋物線c的方程；

（2）過F的直線l與c相交于A、B兩點，若AB的垂直平分線與c相交于M、N兩點，且A、M、B、N四點在同一圓上，求l的方程 .

本文只針對問題（2）進行求解、推廣與變式，問題（1）求得拋物線的方程為y2=4x.

解法1 依題意可知直線l不與兩坐標(biāo)軸垂直，

又過F（1，0）可設(shè)直線方程l：x=ty+1（t≠0），

A（x1，y1），B（x2，y2），由x=ty+1y2=4x，消去x得

y2-4ty-4=0，y1+y2=4t，y1y2=-4，

|AB|=

===4（t2+1）.

線段AB中點D（2t2+1，2t），即直線l與直線l′的交點，則直線MN方程：y-2t=-t（x-2t2-1），即x=-y+2t2+3，代入y2=4x得y2+y-8t2-12=0，

設(shè)M（x3，y3），N（x4，y4），則y3+y4=-，y3y4=-8t2-12，

|MN|==

==.

線段MN中點E+2t2+3，-，

|DE|==.

∵A、M、B、N四點在同一圓上，且MN垂直平分線段AB，則此共圓以E為圓的圓心，以|MN|為圓的直徑，

∴|EA|=|EB|=|MN|.

在Rt△AED中，|AE|2=|AD|2+|ED|2，

即|MN|2=|AB|2+|ED|2，即

·（2t2+1）=4（t2+1）2+++12+4t2，整理得：t4-t2=0，解的t=0（舍去），t=±1，所以所求的直線l的方程為：y=x-1或y=-x+1.

評注 解有關(guān)直線與圓錐曲線的問題，圓錐曲線上的點常常設(shè)而不求；直線過定點，定點在x軸時，設(shè)直線的方程一般是用y的代數(shù)式來表示x，可以大大減少運算量；共圓問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題解決.

解法2 依題意可設(shè)A（y12，2y1）、B（y22，2y2）、M（y32，2y3）、N（y42，2y4）

且y1≠y2≠y3≠y4≠1，

直線AB斜率kAB== .

同理可得直線MN斜率kMN=，直線AM斜率kAM=，

直線AN斜率kAN=， 直線BM斜率kBM=， 直線BN斜率kBN=.

∵AB⊥MN， ∴ kAB·kmn=-1，即·=-1，即（y1+y2）·（y3+y4）=-4 ①

∵A、M、B、N四點在同一圓上，且MN垂直平分線段AB，

∴此四點的共圓以線段MN為圓的直徑，∴AM⊥AN，BM⊥BN，即kAM·kAN=-1，kBM·kBN=-1，

同理可得 （y1+y3）·（y1+y4）=-4 ②

（y2+y3）·（y2+y4）=-4 ③

由②與③左右兩邊分別相減且y1≠y2，

整理得y1+y2+y3+y4=0，即y3+y4=-（y1+y2） ④

由④代入①得（y1+y2） 2=4，y1+y2=±2，kAB==±1，

∵直線l過F（1，0） ， 所求的直線l的方程y=±（x-1），即y=x-1或y=-x+1.

評注 本解法少了繁雜的運算，解析幾何題目的魅力在于最快最簡潔得到結(jié)果，點在拋物線上直接利用拋物線的方程進行設(shè)元，直徑所對的圓心角是直角，把共圓問題轉(zhuǎn)化為直線垂直問題.

解法3 依題意可設(shè)A（y12，2y1）、B（y22，2y2）、M（y32，2y3）、N（y42，2y4）且y1≠y2≠y3≠y4=0，

∵=（y22-y12，2y2-2y1），=（y42-y32，2y4-2y3），

∵=（y32-y12，2y3-2y1），=（y42-y12，2y4-2y1），

∵=（y32-y22，2y3-2y2），=（y42-y22，2y4-2y2），

∵AB⊥MN， ∴ ·=0，

即（y22-y12）·（y42-2y32）+（y22-y12）+（2y2-2y3）·（2y4-2y3）=0，

整理得（y1+y2）·（y3+y4）=-4 ①

∵A、M、B、N四點在同一圓上，且MN垂直平分線段AB，

∴四點的共圓以線段MN為圓的直徑，∴AM⊥AN，BM⊥BN， ∴·=0，·=0

同理可得（y1+y3）·（y1+y4）=-4 ②

（y2+y3）·（y2+y4）=-4 ③

由②與③左右兩邊分別相減且y1≠y2，整理得，

y1+y2+y3+y4=0即y3+y4=-（y1+y2）=-（y1+y2） ④

由④代入①得（y1+y2）2=4，y1+y2=±2，直線AB的斜率kAB===±1，

∵直線l過F（1，0） ， ∴所求的直線l的方程為：

y=±（x-1），即y=x-1或y=-x+1.

評注 本解法與解法2思路類似，不同的是直線垂直問題轉(zhuǎn)化為向量垂直，可以避免繁雜的分?jǐn)?shù)運算，進一步優(yōu)化了解法2.

推論1 過拋物線c：y2=2px（p>0） 的焦點為F的直線l與c相交于A、B兩點，若AB的垂直平分線l′與c相交于M、N兩點，且A、M、B、N四點在同一圓上，則直線l方程為：y=±x-.

證明 依題意可設(shè)A（2py12，2py1）、B（2py22，2py2）、M（2py32，2py3）、N（2py42，2py4）且y1≠y2≠y3≠y4≠ ，

直線AB斜率kAB==，

同理可得，直線MN斜率kMN=，直線AM斜率kAM=，

直線AN斜率kAN=，直線BM斜率kBM=，直線BN斜率kBN=，

，∵AB⊥MN，∴kAB·kmn=-1，即·=1，

即（y1+y2）·（y3+y4）=-1，①

∵A、M、B、N四點在同一圓上，且MN垂直平分線段AB，

∴四點的共圓以線段MN為圓的直徑，∴AM⊥AN，BM⊥BN，即kAM·kAN=-1，kBM·kBN=-1

同理可得（y1+y3）·（y1+y4）=-1， ②

（y2+y3）·（y2+y4）=-1， ③

由②與③左右兩邊分別相減且y1≠y2 ， 整理得， y1+y2+y3+y4=0，即y3+y4=-（y1+y2） ④

由④代入①得（y1+y2）2 ， y1+y2=±1， kAB==±1，

∵直線l過F，0， ∴所求的直線l的方程為：

y=±x-，即y=x-或y=-x+.

同理可得如下的結(jié)論：

推論2 過拋物線c：x2=2py（p>0） 的焦點F的直線與c相交于A、B兩點，若AB的垂直平分線與c相交于M、N兩點，且A、M、B、N四點在同一圓上，則直線方程為：y=±x+.

推論3 過拋物線線c：x2=2py（p>0）的焦點F的直線l與c相交于A、B兩點，若AB的垂直平分線與c相交于M、N兩點，且A、M、B、N四點在同一圓上，則直線l的方程為：y=±x+.

推論4 過拋物線c：x2=-2px（p>0）的焦點F的直線與c相交于A、B兩點，若AB的垂直平分線與c相交于M、N兩點，且A、M、B、N四點在同一圓上，則直線方程為：y=±x-.

變式1 過F的直線l：y=x-1與拋物線交A、B兩點，AB的垂直平分線l′與c：y2=4x相交于M、N兩點，

求證：A、M、B、N四點在同一圓上.

證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（x4，y4），

由y=x-1y2=4x消去x得y2-4y-4=0，y1+y2=4，y1y2=-4，∵A、B兩點在直線l：y=x-1上，∴x1+x2=y1+1+y2+1=6. ∴線段AB的中點D（3，2），即直線l與直線l′的交點，

|AB|==

===8，則=4，

因為直線l′為線段AB的垂直平分線，則斜率為-1，又過點D（3，2），則直線l′的方程為，y-2=-（x-3）即y=-x+5

由y=-x+5y2=4x消去x得y2-4y-20=0，y3+y4=-4，y3y4=-20，

∵M、N兩點在直線l′方程為：y=-x+5上，

∴x1+x2=-（y3+y4）+10=14.

∴線段MN的中點E（7，-2），

|MN|==

===8，

則=4，

|DE|==4，

∴（4）2=（4）2+42，

即2+DE2=2，

又∵2+DE2=AE2，

2+DE2=BE2 .

∴=AE=BE又∵=EM=EN.

∴EM=EN=EA=EB.

即證A、M、B、N四點共圓.

變式2 過F的直線l與c相交于A、B兩點，若線段AB的垂直平分線l′與c相交于M、N兩點，且A、M、B、N四點在同一圓上，求M、N所在直線l′的方程 .

分析：先求出直線l的方程，再求出線段AB的中點，進而得到線段AB的中垂線l′的方程.

解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由前面求得直線l方程為：y=x-1或y=-x+1.

當(dāng)直線l方程為y=x-1時，由y=x-1y2=4x消去x得y2-4y-4=0，y1+y2=4，y1y2=-4，∵A、B兩點在直線l：y=x-1上，∴x1+x2=6，∴線段AB的中點D （3，2），且直線l′的方程的斜率為-1，所以M、N所在的直線的方程為：y-2=-（x-3）即y=-x+5.

當(dāng)直線l方程為y=-x+1時，由y=-x+1y2=4x消去x得y2+4y-4=0，y1+y2=-4，y1y2=-4，∵A、B兩點在直線l方程為：y=-x+1上，∴x1+x2=6. ∴線段AB的中點D（3，-2），且直線l′的方程的斜率為1，所以M、N所在的直線l′的方程為：y+2=x-3即y=x-5.

可以得到如下的結(jié)論：

推論5 過拋物線c：y2=2px（p>0） 的焦點F的直線l與c相交于A、B兩點，若線段AB的垂直平分線l′與c相交于M、N兩點，且A、M、B、N四點在同一圓上，則直線l′方程為：y=±x-

摘 要：介紹一道高考數(shù)學(xué)題三種不同的解法；由題目的結(jié)論，推廣更一般性的結(jié)論，進而得到四個推論；把題目的條件與結(jié)論對換，即變式1，進行證明，把所求的結(jié)論改為求線段AB的中垂線的方程，即變式2，由變式2推廣更一般性的結(jié)論，進而得到四個結(jié)論.

關(guān)鍵詞：拋物線 直線 垂直平分線 四點共圓

題目 （2014年全國高考題大綱卷理科數(shù)學(xué)）已知拋物線c：y2=2px（p>0）的焦點為F，直線y=4與y軸的交點為P，與拋物線c的交點為Q，且|QF|=|PQ|，如圖1所示.

（1）求拋物線c的方程；

（2）過F的直線l與c相交于A、B兩點，若AB的垂直平分線與c相交于M、N兩點，且A、M、B、N四點在同一圓上，求l的方程 .

本文只針對問題（2）進行求解、推廣與變式，問題（1）求得拋物線的方程為y2=4x.

解法1 依題意可知直線l不與兩坐標(biāo)軸垂直，

又過F（1，0）可設(shè)直線方程l：x=ty+1（t≠0），

A（x1，y1），B（x2，y2），由x=ty+1y2=4x，消去x得

y2-4ty-4=0，y1+y2=4t，y1y2=-4，

|AB|=

===4（t2+1）.

線段AB中點D（2t2+1，2t），即直線l與直線l′的交點，則直線MN方程：y-2t=-t（x-2t2-1），即x=-y+2t2+3，代入y2=4x得y2+y-8t2-12=0，

設(shè)M（x3，y3），N（x4，y4），則y3+y4=-，y3y4=-8t2-12，

|MN|==

==.

線段MN中點E+2t2+3，-，

|DE|==.

∵A、M、B、N四點在同一圓上，且MN垂直平分線段AB，則此共圓以E為圓的圓心，以|MN|為圓的直徑，

∴|EA|=|EB|=|MN|.

在Rt△AED中，|AE|2=|AD|2+|ED|2，

即|MN|2=|AB|2+|ED|2，即

·（2t2+1）=4（t2+1）2+++12+4t2，整理得：t4-t2=0，解的t=0（舍去），t=±1，所以所求的直線l的方程為：y=x-1或y=-x+1.

評注 解有關(guān)直線與圓錐曲線的問題，圓錐曲線上的點常常設(shè)而不求；直線過定點，定點在x軸時，設(shè)直線的方程一般是用y的代數(shù)式來表示x，可以大大減少運算量；共圓問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題解決.

解法2 依題意可設(shè)A（y12，2y1）、B（y22，2y2）、M（y32，2y3）、N（y42，2y4）

且y1≠y2≠y3≠y4≠1，

直線AB斜率kAB== .

同理可得直線MN斜率kMN=，直線AM斜率kAM=，

直線AN斜率kAN=， 直線BM斜率kBM=， 直線BN斜率kBN=.

∵AB⊥MN， ∴ kAB·kmn=-1，即·=-1，即（y1+y2）·（y3+y4）=-4 ①

∵A、M、B、N四點在同一圓上，且MN垂直平分線段AB，

∴此四點的共圓以線段MN為圓的直徑，∴AM⊥AN，BM⊥BN，即kAM·kAN=-1，kBM·kBN=-1，

同理可得 （y1+y3）·（y1+y4）=-4 ②

（y2+y3）·（y2+y4）=-4 ③

由②與③左右兩邊分別相減且y1≠y2，

整理得y1+y2+y3+y4=0，即y3+y4=-（y1+y2） ④

由④代入①得（y1+y2） 2=4，y1+y2=±2，kAB==±1，

∵直線l過F（1，0） ， 所求的直線l的方程y=±（x-1），即y=x-1或y=-x+1.

評注 本解法少了繁雜的運算，解析幾何題目的魅力在于最快最簡潔得到結(jié)果，點在拋物線上直接利用拋物線的方程進行設(shè)元，直徑所對的圓心角是直角，把共圓問題轉(zhuǎn)化為直線垂直問題.

解法3 依題意可設(shè)A（y12，2y1）、B（y22，2y2）、M（y32，2y3）、N（y42，2y4）且y1≠y2≠y3≠y4=0，

∵=（y22-y12，2y2-2y1），=（y42-y32，2y4-2y3），

∵=（y32-y12，2y3-2y1），=（y42-y12，2y4-2y1），

∵=（y32-y22，2y3-2y2），=（y42-y22，2y4-2y2），

∵AB⊥MN， ∴ ·=0，

即（y22-y12）·（y42-2y32）+（y22-y12）+（2y2-2y3）·（2y4-2y3）=0，

整理得（y1+y2）·（y3+y4）=-4 ①

∵A、M、B、N四點在同一圓上，且MN垂直平分線段AB，

∴四點的共圓以線段MN為圓的直徑，∴AM⊥AN，BM⊥BN， ∴·=0，·=0

同理可得（y1+y3）·（y1+y4）=-4 ②

（y2+y3）·（y2+y4）=-4 ③

由②與③左右兩邊分別相減且y1≠y2，整理得，

y1+y2+y3+y4=0即y3+y4=-（y1+y2）=-（y1+y2） ④

由④代入①得（y1+y2）2=4，y1+y2=±2，直線AB的斜率kAB===±1，

∵直線l過F（1，0） ， ∴所求的直線l的方程為：

y=±（x-1），即y=x-1或y=-x+1.

評注 本解法與解法2思路類似，不同的是直線垂直問題轉(zhuǎn)化為向量垂直，可以避免繁雜的分?jǐn)?shù)運算，進一步優(yōu)化了解法2.

推論1 過拋物線c：y2=2px（p>0） 的焦點為F的直線l與c相交于A、B兩點，若AB的垂直平分線l′與c相交于M、N兩點，且A、M、B、N四點在同一圓上，則直線l方程為：y=±x-.

證明 依題意可設(shè)A（2py12，2py1）、B（2py22，2py2）、M（2py32，2py3）、N（2py42，2py4）且y1≠y2≠y3≠y4≠ ，

直線AB斜率kAB==，

同理可得，直線MN斜率kMN=，直線AM斜率kAM=，

直線AN斜率kAN=，直線BM斜率kBM=，直線BN斜率kBN=，

，∵AB⊥MN，∴kAB·kmn=-1，即·=1，

即（y1+y2）·（y3+y4）=-1，①

∵A、M、B、N四點在同一圓上，且MN垂直平分線段AB，

∴四點的共圓以線段MN為圓的直徑，∴AM⊥AN，BM⊥BN，即kAM·kAN=-1，kBM·kBN=-1

同理可得（y1+y3）·（y1+y4）=-1， ②

（y2+y3）·（y2+y4）=-1， ③

由②與③左右兩邊分別相減且y1≠y2 ， 整理得， y1+y2+y3+y4=0，即y3+y4=-（y1+y2） ④

由④代入①得（y1+y2）2 ， y1+y2=±1， kAB==±1，

∵直線l過F，0， ∴所求的直線l的方程為：

y=±x-，即y=x-或y=-x+.

同理可得如下的結(jié)論：

推論2 過拋物線c：x2=2py（p>0） 的焦點F的直線與c相交于A、B兩點，若AB的垂直平分線與c相交于M、N兩點，且A、M、B、N四點在同一圓上，則直線方程為：y=±x+.

推論3 過拋物線線c：x2=2py（p>0）的焦點F的直線l與c相交于A、B兩點，若AB的垂直平分線與c相交于M、N兩點，且A、M、B、N四點在同一圓上，則直線l的方程為：y=±x+.

推論4 過拋物線c：x2=-2px（p>0）的焦點F的直線與c相交于A、B兩點，若AB的垂直平分線與c相交于M、N兩點，且A、M、B、N四點在同一圓上，則直線方程為：y=±x-.

變式1 過F的直線l：y=x-1與拋物線交A、B兩點，AB的垂直平分線l′與c：y2=4x相交于M、N兩點，

求證：A、M、B、N四點在同一圓上.

證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（x4，y4），

由y=x-1y2=4x消去x得y2-4y-4=0，y1+y2=4，y1y2=-4，∵A、B兩點在直線l：y=x-1上，∴x1+x2=y1+1+y2+1=6. ∴線段AB的中點D（3，2），即直線l與直線l′的交點，

|AB|==

===8，則=4，

因為直線l′為線段AB的垂直平分線，則斜率為-1，又過點D（3，2），則直線l′的方程為，y-2=-（x-3）即y=-x+5

由y=-x+5y2=4x消去x得y2-4y-20=0，y3+y4=-4，y3y4=-20，

∵M、N兩點在直線l′方程為：y=-x+5上，

∴x1+x2=-（y3+y4）+10=14.

∴線段MN的中點E（7，-2），

|MN|==

===8，

則=4，

|DE|==4，

∴（4）2=（4）2+42，

即2+DE2=2，

又∵2+DE2=AE2，

2+DE2=BE2 .

∴=AE=BE又∵=EM=EN.

∴EM=EN=EA=EB.

即證A、M、B、N四點共圓.

變式2 過F的直線l與c相交于A、B兩點，若線段AB的垂直平分線l′與c相交于M、N兩點，且A、M、B、N四點在同一圓上，求M、N所在直線l′的方程 .

分析：先求出直線l的方程，再求出線段AB的中點，進而得到線段AB的中垂線l′的方程.

解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由前面求得直線l方程為：y=x-1或y=-x+1.

當(dāng)直線l方程為y=x-1時，由y=x-1y2=4x消去x得y2-4y-4=0，y1+y2=4，y1y2=-4，∵A、B兩點在直線l：y=x-1上，∴x1+x2=6，∴線段AB的中點D （3，2），且直線l′的方程的斜率為-1，所以M、N所在的直線的方程為：y-2=-（x-3）即y=-x+5.

當(dāng)直線l方程為y=-x+1時，由y=-x+1y2=4x消去x得y2+4y-4=0，y1+y2=-4，y1y2=-4，∵A、B兩點在直線l方程為：y=-x+1上，∴x1+x2=6. ∴線段AB的中點D（3，-2），且直線l′的方程的斜率為1，所以M、N所在的直線l′的方程為：y+2=x-3即y=x-5.

可以得到如下的結(jié)論：

推論5 過拋物線c：y2=2px（p>0） 的焦點F的直線l與c相交于A、B兩點，若線段AB的垂直平分線l′與c相交于M、N兩點，且A、M、B、N四點在同一圓上，則直線l′方程為：y=±x-.

推論6 過拋物線c：y2=-2px（p>0） 的焦點F的直線l與c相交于A、B兩點，若線段AB垂直平分線l′與c相交于M、N兩點，且A、M、B、N四點在同一圓上，則直線l′方程為：y=±x+.

推論7 過拋物線c：x2=2py（p>0） 的焦點為F的直線l與c相交于A、B兩點，若線段AB的垂直平分線l′與c相交于M、N兩點，且A、M、B、N四點在同一圓上，則直線l′方程為：y=±x+.

推論8 過拋物線c：x2=-2py（p>0） 的焦點F的直線l與c相交于A、B兩點，若線段AB的垂直平分線l′與c相交于M、N兩點，且A、M、B、N四點在同一圓上，則直線l′方程為：y=±x-. .

推論6 過拋物線c：y2=-2px（p>0） 的焦點F的直線l與c相交于A、B兩點，若線段AB垂直平分線l′與c相交于M、N兩點，且A、M、B、N四點在同一圓上，則直線l′方程為：y=±x+.

推論7 過拋物線c：x2=2py（p>0） 的焦點為F的直線l與c相交于A、B兩點，若線段AB的垂直平分線l′與c相交于M、N兩點，且A、M、B、N四點在同一圓上，則直線l′方程為：y=±x+.

推論8 過拋物線c：x2=-2py（p>0） 的焦點F的直線l與c相交于A、B兩點，若線段AB的垂直平分線l′與c相交于M、N兩點，且A、M、B、N四點在同一圓上，則直線l′方程為：y=±x-.