李朝陽(yáng)

摘 要：針對(duì)九下幾何最難的一章《相似三角形》的教學(xué)進(jìn)行研究，特別是對(duì)它進(jìn)行自定義的形象化、模型化歸納，在教學(xué)中對(duì)復(fù)雜多變的相似三角形的尋找和成比例線段的推導(dǎo)有指引作用

關(guān)鍵詞： 母子型；四點(diǎn)共圓型；一線三等角型

相似三角形是九年下學(xué)期的教學(xué)內(nèi)容，在初中幾何中是最難的一章，相似三角形的有關(guān)證明一直是近幾年中考中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在中考常是壓軸題，所占的分?jǐn)?shù)也較多，而且證明的方法靈活多變，為了能讓教師教得更有效率，學(xué)生學(xué)得更快，更容易理解，特地對(duì)本章的教學(xué)內(nèi)容作下面的歸納總結(jié)、模型化研究，以便相互學(xué)習(xí)提高.

相似三角形的幾種判定定理：母定理生了3個(gè)子定理（課本定理的形象化描述，僅用于學(xué)生的方便記憶）.

母定理（平行定理）（1）…（SSS）（2）…（SAS）（3）…（AA）

（母定理）一直線截三角形兩邊且平行于第三邊，所得的新三角形與原三角形相似.⑴（SSS）若兩個(gè)三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例，則兩三角形相似；⑵ （SAS） 若兩個(gè)三角形兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，則兩個(gè)三角形相似；⑶（AA） 若兩個(gè)三角形兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，則兩個(gè)三角形相似 .

在母定理推導(dǎo)子定理的過(guò)程中用到了全等構(gòu)造，而全等的構(gòu)造證明又剛好是用（SSS）、（SAS）、（ASA），為方便相似判定方法的記憶，我們可以采用（SSS）、（SAS）、（AA）來(lái)形象記憶相似三角形的三種判定方法.相似三角形的大小不一，沒(méi)有全等三角形那么好觀察，而且證法多樣，成比例的線段繁多，給學(xué)生解題帶來(lái)很多不便，為了便于觀察圖形特征，總結(jié)證明規(guī)律，特把相似中可能遇到的一些圖形進(jìn)行模型化歸納研究，以便學(xué)生能更快、更好地掌握相似的判定和應(yīng)用.

4 四點(diǎn)共圓型（圖10-圖12）（四點(diǎn)共圓也稱(chēng)反A型、反X型，其中比較特殊的是雙垂型（圖12），BC剛好是外接圓的直徑）

四點(diǎn)共圓型本身一般沒(méi)有畫(huà)出圓，但我們?cè)谒伎嫉臅r(shí)候可以借圓來(lái)觀察，特別是在圓中來(lái)觀察相等的角比較方便、直觀，從而得到相似的三角形，成比例線段等.

以（圖10）為例，在圓中容易得到切割線定理的推論：AD·AB=AE·AC；以（圖11）、（圖12）為例，在圓中容易得到相交弦定理：AE·BE=CE·DE；其中（圖12）兩個(gè)定理都存在，里面有4對(duì)相似三角形：⑴△FBC∽△FAD、⑵△FCD∽△FBA、⑶△ADE∽△CBE、⑷△ACE∽△DBE.當(dāng)我們把（圖10）、（圖11）兩個(gè)圖的線段連接形如（圖12）（不一定垂直）時(shí)，則里面都存在有四對(duì)相似三角形，里面成比例的線段很多，可研究的內(nèi)容太多了，但以圓為參照來(lái)觀察、思考就會(huì)方便得多，所以把這個(gè)模型稱(chēng)之為四點(diǎn)共圓型.

5 一線三等角型（圖13-圖15）（圖15的一線三直角型是其特例）

一線三等角型相似三角形是以等腰三角形（等邊三角形）、等腰梯形、矩形等為背景（如圖13-圖15）為代表的三種情況）.通過(guò)兩角對(duì)應(yīng)相等，我們可以證得左右兩個(gè)陰影的三角形相似（以圖13為例）.△BED∽△CDF，即BE·CF=BD·CD.這個(gè)積的等式可以看作下圖（圖13）中陰影的左右兩個(gè)三角形一線（一線上三等角的那一線）上兩邊的積與兩側(cè)兩邊的積相等（橫的兩條邊的積=豎的兩邊積）.若一線（一線上三等角的那一線）如圖（圖14）、（圖15）水平放置，則這一結(jié)論一樣適用，這樣學(xué)生要記住結(jié)論就很容易了.

在平時(shí)的解題中，經(jīng)常會(huì)遇到變化的圖形（不會(huì)像上面3個(gè)圖（圖13-圖15）那么典型），我們要學(xué)會(huì)觀察發(fā)現(xiàn)相似的三角形是哪兩對(duì)，從而找到成比例的線段.在觀察變化的圖形中，可以緊緊抓住相等的角，從相等的角尋找對(duì)應(yīng)三角形、對(duì)應(yīng)線段，則萬(wàn)變不離其宗（如下圖16-圖19）.以三角形為例的幾種變化，觀察標(biāo)記相同的角即為相等的角，就可以很容易找到相似三角形）.如下（例5、（2013莆田中考25題）.

例5 （圖20）（2013莆田中考第25題）在Rt△ABC中，∠C= 90°，D為AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在BC、AC邊上，且DM⊥DN，作MF⊥AB于點(diǎn)F，NE⊥AB于點(diǎn)E.

（l）特殊驗(yàn)證：若AC= BC，且D為AB中點(diǎn)，求證：DM= DN，AE= DF；

從上面的許多例子，特別是近三年來(lái)莆田中考的例子可以發(fā)現(xiàn)：中考相似三角形的有關(guān)證明題，眾多考生在解答時(shí)都覺(jué)得很難，但在上面的用模型的角度來(lái)理解分析，都能比較容易而且能較快的證明它.所以對(duì)上面所列舉相似模型的理解掌握，對(duì)相似的有關(guān)證明有重要意義：能促進(jìn)學(xué)生更快的觀察題目的模型，能促進(jìn)學(xué)生更快的找到相似三角形，能促進(jìn)學(xué)生更快的找到成比例線段，能促進(jìn)學(xué)生更快的找到解題方向.

在相似有關(guān)證明題中，遇到的模型并不一定是上面所列舉的那幾種，題目總是變化多端，圖形也總是千變?nèi)f化.我們只有以相似判定定理為基本，以相似模型為基礎(chǔ)，多練習(xí)，多觀察，多歸納總結(jié)，對(duì)中考中的相似的壓軸題解決一定會(huì)有幫助，學(xué)生在解題過(guò)程中也有思考的方向，解題也更有思路方法.