曲焱炎等

摘 要：文章利用兩種輔助面方法分析了正交的圓錐與圓柱相貫線的求解，必求出界定相貫線范圍的極限位置點(diǎn)。輔助平面法只能分析求解大部分極值點(diǎn)，得不到極右點(diǎn)。文章利用輔助球面法截圓錐和圓柱，截交線分別是兩相交圓周，正面投影為兩直線段。它們交點(diǎn)即為相貫線上點(diǎn)。利用球面越小與同軸等徑的圓柱相貫線越趨右的原理，得出最小球面為求得極右點(diǎn)的關(guān)鍵。同時(shí)給出了教材中正確解法的立體圖解釋。

關(guān)鍵詞：錐柱正交相貫線；極右點(diǎn)；輔助球面法；圖解分析；最小球面

1 概述

求兩回轉(zhuǎn)體的相貫線一直是畫(huà)法幾何教學(xué)的難點(diǎn)和重點(diǎn)，很多教材都以求正交圓錐和圓柱相貫線作為例題講給學(xué)生。但對(duì)于相貫線極值點(diǎn)的給出卻語(yǔ)焉不詳[1-2]，有的給出做法卻未分析其緣由[3-4]，有的竟給出錯(cuò)誤解答[5-7]。教材在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)科學(xué)方法起著至關(guān)重要的作用，例題的給出一定要使學(xué)生知其然更能知其所以然。很多文獻(xiàn)也對(duì)此作了研究[8-9]，但均是推導(dǎo)出相貫線方程，利用微分求極值的方式給出答案[10-11]。在畫(huà)法幾何課堂教學(xué)，不適用長(zhǎng)長(zhǎng)的數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)和微積分求解。文章就投影學(xué)的方法給出相貫線極右點(diǎn)的求解分析。

2 輔助平面法正交錐柱相貫線求解

下為很多教材出現(xiàn)的例題，求軸線正交的圓錐和圓柱相貫線，如圖1所示。圓柱與圓錐半貫，相貫線是一條封閉的、前后對(duì)稱的空間曲線。圓柱的軸線為側(cè)垂線，其側(cè)面投影積聚為圓，可根據(jù)相貫線的共有性，相貫線既在圓柱表面上又在圓錐表面。而圓柱表面上點(diǎn)側(cè)面投影都積聚在圓周上，所以相貫線側(cè)面投影也在圓周上。畫(huà)圖時(shí)不可能求出所有點(diǎn)的投影，只能求特殊點(diǎn)，這些特殊點(diǎn)要決定投影曲線的輪廓范圍和變化趨勢(shì)。特殊點(diǎn)包括相貫線極限位置點(diǎn)和曲面立體轉(zhuǎn)向輪廓線上的點(diǎn)。由此在側(cè)面投影可知其最高點(diǎn)1"、最低點(diǎn)2"和最前點(diǎn)3"、最后點(diǎn)4"。兩形體輪廓線的交點(diǎn)1′、2′是其正面投影。利用輔助平面法來(lái)求相貫線的水平投影和正面投影。如圖2所示，可以求出最前，最后點(diǎn)的水平投影。根據(jù)1′、2′和1"、2"可求得其水平投影1、2。在正面投影區(qū)域可以分析得出，Ⅱ點(diǎn)也是相貫線的最左點(diǎn)。

側(cè)面投影是相貫線的最右點(diǎn)的側(cè)面投影。求作方法是[3]：過(guò)圓柱側(cè)面投影圓圓心O"向圓錐側(cè)面投影輪廓線作垂線，與圓錐輪廓線相交于點(diǎn)m"，過(guò)點(diǎn)m"作輔助水平面R，則最右點(diǎn)ⅤⅥ屬于R平面，利用輔助平面R可求得其水平投影5、6和正面投影5′、6′。于是問(wèn)題出現(xiàn)了，為何此作法，5′、6′就是相貫線的最右點(diǎn)呢？

3 正交錐柱相貫極值點(diǎn)的最小球面法原理

單純用輔助平面不能解釋此種做法之原理，而是需要利用輔助球面法來(lái)說(shuō)明其意義。輔助球面法的作圖原理是：當(dāng)回轉(zhuǎn)體的軸線通過(guò)圓球球心時(shí)，球與回轉(zhuǎn)體的相貫線為垂直于回轉(zhuǎn)體軸線的圓，當(dāng)回轉(zhuǎn)體軸線平行于某投影面時(shí)，在該投影面上此圓的投影成直線。如圖3所示，當(dāng)圓錐與圓柱為兩個(gè)軸線垂直相交的情況，以軸線相交點(diǎn)為球心，輔助球面與同軸圓錐相交截交線為垂直于軸線的圓（為水平面），與圓柱相交截交線同樣是圓（為側(cè)平面）。正面投影相貫線上點(diǎn)為兩截交線的交點(diǎn)7′（8′），即正面投影兩圓的積聚直線交點(diǎn)。水平投影為圓與積聚線的交點(diǎn)7、8。立體解如圖4所示。而且在相貫區(qū)域有最大球面（藍(lán)雙點(diǎn)畫(huà)線）和最小球面（紅雙點(diǎn)畫(huà)線）。圓錐、圓柱與最大輔助球面截交線的交點(diǎn)就為最左點(diǎn)。最右點(diǎn)的分析如下：當(dāng)大小不同的輔助球面與圓柱面相交時(shí)，由于球心位置是相同的，球越小時(shí)，圓球與圓柱的截交線越靠右，如圖5所示。那么極限位置點(diǎn)就出現(xiàn)在最小球面與圓柱的截交線上。最小球面由與圓錐相切的位置來(lái)決定。所以由軸線交點(diǎn)所作圓錐輪廓線的垂線，球心到垂足的距離為最小球的半徑，如圖3中紅線部份所示。最小球面與圓錐的截交線即為圖1所示的過(guò)垂足所作輔助平面R與圓錐截交線，此截交線為一段優(yōu)弧的圓周。它與圓柱素線相交點(diǎn)5'，6'就是柱錐正貫的最右點(diǎn)。

按照上述輔助法作圖步驟，求出特殊位置點(diǎn)和兩對(duì)一般位置點(diǎn)的正面和水平投影。根據(jù)側(cè)面點(diǎn)投影的連線順序光滑連接各點(diǎn)，正面投影為雙曲線的一支[12]。完整解如圖6所示，9，10點(diǎn)為給出兩個(gè)圓柱軸線下相貫線上一般位置點(diǎn)。

4 結(jié)束語(yǔ)

求解柱錐正貫的相貫線，輔助平面法可以分析求得除了極右點(diǎn)的其它極值點(diǎn)，無(wú)法得出最右點(diǎn)的位置。利用輔助球面法分別與圓錐和圓柱的截交線，利用三面相交得相貫線交點(diǎn)原理，可以求出相貫線上所有點(diǎn)投影。利用球面越小與同軸等徑的圓柱相貫線的位置越靠近右側(cè)，而且在與圓錐相貫的球面也有最大和最小的區(qū)域。最小球面是截交圓柱和圓錐交點(diǎn)的極右點(diǎn)。文章可以填充到教材內(nèi)容中，給學(xué)生以確切的求解柱錐正貫極右點(diǎn)的幾何解釋。

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