徐高本

動能定理表達式是由牛頓第二定律F=ma和運動學公式推導出來的，但它的應用范圍卻廣泛得多。

1.若是恒力作用下的勻變速直線運動，不涉及加速度和時間，用動能定理求解一般比用牛頓運動定理和運動學公式簡便。

例1 在海濱游樂場里有一種滑沙的游樂活動。如圖1所示，人坐在滑板上從斜坡的高處由靜止開始滑下，滑到斜坡底端B點后沿水平的滑道再滑行一段距離到C點停下來。若某人和滑板的總質量m=60.0kg，滑板與斜坡滑道和水平滑道間的動摩擦因數相同，大小為μ=0.50，斜坡的傾角θ=37°。斜坡與水平滑道間是平滑連接的，整個運動過程中空氣阻力忽略不計，重力加速度g取10m/s²。若出于場地的限制，水平滑道的最大距離為L=20.0m，則人在斜坡上滑下的距離AB應不超過多少？（sin37°=0.6，cos37°=0.8）

解析

根據動能定理得：mgsinθS_AB-。即AB不應超過50m。

點評

此題也可以用牛頓第二定律與勻變速直線運動規(guī)律來求解，但用動能定理求解比用牛頓運動定律求解更方便。

2.應用于變力作用的運動過程。

如果所研究的問題中有多個力做功，其巾只有一個力是變力，其余的都是恒力，而且這些恒力所做的功比較容易計算，研究對象本身的動能的增量也比較容易計算時，巧用動能定理就可以靈活求出這個變力所做的功。

例2 如圖2所示，質量為，m的物體置于光滑水平面上，一根繩子跨過定滑輪一端固定在物體上，另一端在力F作用下，以恒定速率νo豎直向下運動，物體由靜止開始運動到繩與水平方向夾角θ=45°的過程中，繩中拉力對物體做的功為（）。

物體由靜止開始運動，繩中拉力對

物體是變力，所做的功等于物體增加的動能。物體運動到繩與水平方向夾角θ=45°時的速率設為ν，有νcos45°=νo，則。所以繩的拉力對物體做的功為。答案為B。

點評

本題涉及運動的合成與分解、功、動能定理等多方面知識，要求我們理解動能定理的含義，并能夠應用矢量的分解法則計算瞬時速度。

例3 如圖3，靜置于光滑水平面上坐標原點處的小物塊，在水平拉力F作用下，沿x軸方向運動，拉力F隨物塊所在位置坐標x的變化關系如圖4所示，圖像為半圓。則小物塊運動到x₀處時的動能為（）。

解析

由于水平面光滑，所以拉力F即為合外力，F隨位移x的變化圖像包圍的面積即為F做的功，設x₀處的動能為E_k，由動能定理得，由圖知x₀=2F_m，故，所以選項C正確。

3.應用于分析多過程運動問題。

在用動能定理解題時，如果物體在某個運動過程中包含有幾個運動性質不同的分過程（如加速、減速的過程），可以分段考慮，也可以全程考慮，如能對整個過程列式，則可使問題簡化。

例4 如圖5所示的裝置由AB、BC、CD三段軌道組成，軌道交接處均巾很小的圓弧平滑連接，其中軌道AB、CD段是光滑的，水平軌道BC的長度s=5m，軌道CD足夠長且傾角θ=37°，A、D兩點離軌道BC的高度分別為h₁=4.30m、h₂=1.35m?，F讓質量為m的小物塊自A點由靜止釋放。已知小物塊與軌道BC間的動摩擦因數μ=0.5，重力加速度g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求：

（1）小物塊第一次到達D點時的速度大小；

（2）小物塊第一次與第二次通過C點的時間間隔；

（3）小物塊最終停止的位置距B點的距離。

解析

（1）對于小物塊從A到B到C再

到D的過程由動能定理得：

將，h₁、h₂、s、μ、g代人得：V_D=3m/s。

（2）對于小物塊從A到B再到C的過程，由動能定理得：

將代入得：。

小物塊沿CD段上滑的加速度大小

小物塊沿CD段上滑到最高點的時間

由于對稱性可知小物塊從最高點滑回C點的時間t₂=t₁=ls。

故小物塊第一次與第二次通過C點的時間間隔t=t₁+t₂=2s。

（3）對小物塊運動全過程利用動能定理，設小滑塊在水平軌道上運動的總路程為s總，有。將，代入得

故小物塊最終停止的位置距B點的距離為2sS_總=1.4m。

點評

動能定理反映的是物體兩個狀態(tài)的動能變化與在這兩個狀態(tài)之間外力所做總功的量值關系，應用動能定理解答運動問題時，只需要考慮力在整個位移內做的功和這段位移始末兩狀態(tài)的動能變化，無需注意物體的運動性質、運動軌跡及運動狀態(tài)變化的細節(jié)。

例5 如圖6所示，AB與CD為兩個對稱斜面，其上部都足夠長，下部分別與一個光滑的圓弧面的兩端相切，圓弧的圓心角為120°，半徑R=2.0m，一個物體在離弧底E高度為h=3.0m處，以初速度沿斜面運動，若物體與兩斜面的動摩擦因數均為μ=0.02，則物體在兩斜面上（不包括圓弧部分）一共能走多少路程？（g=1Om/s2）

解析

由于物體在斜面上受到摩擦阻力作用，所以物體的機械能將逐漸減少，最后物體在BEC圓弧上做永不停息的往復運動，即物體運動至B點或C點時速度均為O。由于在物體只在BEC圓弧上做永不停息的往復運動之前的運動過程中，重力所做的功為，摩擦力所做的功為，由動能定理得

解得s=280 m。

點評

對于物體來回往復運動的問題，若能由動能定理對整個過程列式求解，可以不考慮運動過程的細節(jié)，能大大簡化數學運算。

跟蹤練習：

1.如圖7，汽車通過輕質光滑的定滑輪，將一個質量為m的物體從井中拉出，繩與汽車連接點距滑輪頂點高h，開始繩繃緊，滑輪兩側的繩都豎直，汽車以νo向右勻速運動，運動到跟汽車連接的細繩與水平方向夾角θ=30°，則（）。

A.從開始到繩與水平方向夾角為30°時，拉力做功mgh

B.從開始到繩與水平方向夾角為30°時，拉力做功

C.從開始到繩與水平方向夾角為30°時，拉力做功

D.在繩與水平方向夾角為30°時，繩對滑輪的作用力為

參考答案：1.B。