徐漢屏

動(dòng)能定理是中學(xué)物理的重點(diǎn)內(nèi)容之一。當(dāng)問題儀涉及力的位移效應(yīng)，而不涉及加速度和時(shí)間時(shí)，用動(dòng)能定理求解一般比用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解簡便。用動(dòng)能定理還能解決一些用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式難以求解的問題，如變力作用過程、曲線運(yùn)動(dòng)等。學(xué)習(xí)時(shí)，我們要注意理解勢(shì)能與動(dòng)能的概念，知道重力勢(shì)能的變化與重力做功的關(guān)系，通過實(shí)驗(yàn)探究恒力做功與物體動(dòng)能變化的關(guān)系，掌握動(dòng)能定理，并能熟練應(yīng)用動(dòng)能定理解決實(shí)際問題。

核心考點(diǎn)一：重力做功與重力勢(shì)能

重力做功：物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，重力對(duì)它做的功只跟它的起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置（高度）有關(guān)，而跟物體運(yùn)動(dòng)的路徑無關(guān)。

重力勢(shì)能：物體的重力勢(shì)能等于它所受重力與所處高度的乘積，即E_p=mgh，此定義的前提條件是物體必須處于地而附近。重力勢(shì)能具有系統(tǒng)性，屬于物體和地球組成的系統(tǒng)。重力勢(shì)能是狀態(tài)量、標(biāo)量。重力勢(shì)能具有相對(duì)性，其大小與參考平面的選取有關(guān)，但重力勢(shì)能的變化則與參考平面的選取無關(guān)。

重力勢(shì)能的變化與重力做功的關(guān)系：重力做正功，重力勢(shì)能減少，重力勢(shì)能減少的數(shù)量等于重力所做的功；重力做負(fù)功（物體克服重力做功），重力勢(shì)能增加，重力勢(shì)能增加的數(shù)量等于物體克服重力所做的功。

例1 下列關(guān)于功和機(jī)械能的說法，正確的是（）。

A.在有阻力作用的情況下，物體重力勢(shì)能的減少不等于暈力對(duì)物體所做的功

B.合力對(duì)物體所做的功等于物體動(dòng)能的改變量

C.物體的重力勢(shì)能是物體與地球之間的相互作川能，其大小與勢(shì)能零點(diǎn)的選取有關(guān)

D.運(yùn)動(dòng)物體動(dòng)能的減少量一定等于重力勢(shì)能的增加量

根據(jù)重力做功和重力勢(shì)能變化的關(guān)

系，不管有無阻力作用，物體重力勢(shì)能的減少均等于重力對(duì)物體所做的功，A錯(cuò)。根據(jù)動(dòng)能定理，合力對(duì)物體所做的功等于物體動(dòng)能的改變量，B對(duì)。物體的重力勢(shì)能是物體與地球之間的相互作用能，其大小與勢(shì)能零點(diǎn)的選取有關(guān)，C對(duì)。在物體只有克服重力做功的情況下，運(yùn)動(dòng)物體動(dòng)能的減少量才等于重力勢(shì)能的增加量，D錯(cuò)。本題答案為BC。

點(diǎn)評(píng)

高考單純考查重力勢(shì)能的考題不多，往往與其他相關(guān)考點(diǎn)綜合在一起考查。本題除考查重力勢(shì)能變化和重力做功的關(guān)系、重力勢(shì)能的系統(tǒng)性與相對(duì)性外，還考查了動(dòng)能定理等知識(shí)點(diǎn)。

核心考點(diǎn)二：動(dòng)能

物體由于運(yùn)動(dòng)而具有的能量叫做動(dòng)能。質(zhì)量為m的物體以速度v運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能為E_k=1/2mv²。動(dòng)能具有相對(duì)性，其大小與參考系有關(guān)。動(dòng)能是狀態(tài)量、標(biāo)量。物體的動(dòng)能對(duì)應(yīng)于某一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的能量，它僅與速度的大小有關(guān)，而與速度的方向無關(guān)。

例2（2014年高考上海卷）動(dòng)能相等的兩顆人造地球衛(wèi)星A、B的軌道半徑之比R_A：R_B=1：2，它們的角速度之比ω_A：ω_B=_______，質(zhì)量之比m_A：m_B____。

解析

人造衛(wèi)星由萬有引力提供向心力，有，可得角速度ω=，故

動(dòng)能，線速度v=ωR，可得質(zhì)量m=故

點(diǎn)評(píng)

由動(dòng)能的定義式可知，物體動(dòng)能的大小由其速度的大小決定。與重力勢(shì)能一樣，高考對(duì)動(dòng)能的考查也往往與其他相關(guān)考點(diǎn)結(jié)合在一起。本題除考查動(dòng)能外，還考查了萬有引力與航天以及圓周運(yùn)動(dòng)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。

核心考點(diǎn)三：動(dòng)能定理及其應(yīng)用

動(dòng)能定理：力（合力）在一個(gè)過程中對(duì)物體所做的功，等于物體在這個(gè)過程中動(dòng)能的變化。這就足動(dòng)能定理，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為W=E_k2-E_k1。對(duì)此式中的W，既可理解為“合外力對(duì)物體所做的功”，也可理解為“外力對(duì)物體所做功的代數(shù)和”。

動(dòng)能定理的適用范圍：動(dòng)能定理適用于直線運(yùn)動(dòng)，也適用于曲線運(yùn)動(dòng)；適用于恒力做功，也適用于變力做功。力可以是各種性質(zhì)的力，既可以同時(shí)作用，也可以分段作用。只要求出各力做功的多少和正負(fù)即可。動(dòng)能定理適用于在慣性參考系中運(yùn)動(dòng)的任何物體。

應(yīng)用動(dòng)能定理解題的一般步驟為：①選取研究對(duì)象，確定研究過程；②分析物體受力，明確做功情況；③根據(jù)初、末狀態(tài)，確定初、末動(dòng)能；④應(yīng)川動(dòng)能定理，列出方程求解。

應(yīng)用動(dòng)能定理解題的注意點(diǎn)為：①正確分析物體受力，要考慮物體所受的所有外力，包括重力；②有些力在物體運(yùn)動(dòng)全過程中不是始終存在的，若物體運(yùn)動(dòng)過程中包含幾個(gè)物理過程，物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、受力等情況均發(fā)生變化，則在考慮外力做功時(shí)，必須根據(jù)不同情況分別對(duì)待；③若物體運(yùn)動(dòng)過程中包含幾個(gè)不同的物理過程，解題時(shí)可分段考慮也可視全過程為一整體，后者往往更為簡捷。

例3 （2014年高考全國大綱卷）一物塊沿傾角為臼的斜坡向上滑動(dòng)。當(dāng)物塊的初速度為υ時(shí)，上升的最大高度為H，如圖1所示。當(dāng)物塊的初速度為詈時(shí)，上升的最大高度記為h。重力加速度大小為g。物塊與斜坡間的動(dòng)摩擦因數(shù)和h分別為（

）。

當(dāng)物塊的初速度為υ時(shí)，對(duì)物塊在

上滑過程中應(yīng)用動(dòng)能定理，有-mgH-，故物塊與斜坡間的動(dòng)摩擦因數(shù)。

當(dāng)物塊的初速度為υ/2時(shí)，對(duì)物塊在上滑過程中應(yīng)用動(dòng)能定理，有，解得。

本題正確選項(xiàng)為D。

點(diǎn)評(píng)

物塊每次沿斜坡上滑均為單一的運(yùn)動(dòng)過程，是動(dòng)能定理的簡單應(yīng)用。在上滑過程中，物塊受到的重力與摩擦力均為恒力，物塊做勻減速運(yùn)動(dòng)，也可用牛頓定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解，但應(yīng)用動(dòng)能定理求解顯然更為簡單。

例4 如圖2所示，在豎直平面內(nèi)有一半徑為R的圓弧軌道，半徑OA水平、OB豎直，一個(gè)質(zhì)量為m的小球自A的正上方P點(diǎn)由靜止開始自由下落，小球沿軌道到達(dá)最高點(diǎn)B時(shí)恰好對(duì)軌道沒有壓力。已知AP=2R，重力加速度為g，則小球從P到B的運(yùn)動(dòng)過程中（

）。

A.重力做功2mgR

B.機(jī)械能減少mgR

C.合外力做功mgR

D.克服摩擦力做功1/2mgR

解析

小球從P到B的過程中，重力做功W_G=mgR。

設(shè)小球在B時(shí)的速度為υ，此時(shí)小球恰好對(duì)軌道沒有壓力，有，故小球在B點(diǎn)的動(dòng)能。在小球從P到B的過程中應(yīng)用動(dòng)能定理，可得合外力對(duì)小球做功。

上式即，故小球在此過程中克服摩擦力做功

此過程中小球的機(jī)械能減少

本題正確選項(xiàng)為D。

點(diǎn)評(píng)

本題中小球沿圓弧軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，所受摩擦力為變力，變力的功不能直接利用功的公式進(jìn)行計(jì)算?？蓱?yīng)用動(dòng)能定理，由合力的功與物體動(dòng)能變化的關(guān)系求得變力所做的功。

核心考點(diǎn)四：探究動(dòng)能定理實(shí)驗(yàn)

用重物拖動(dòng)小車的裝置探究功和動(dòng)能變化的關(guān)系：

①采用圖3所示實(shí)驗(yàn)裝置，用重物拖動(dòng)小車，在紙帶上打出一系列的點(diǎn)。

②測(cè)出拉力F（當(dāng)重物質(zhì)量遠(yuǎn)小于小車質(zhì)量時(shí)，可認(rèn)為F與重物的重力大小近似相等）及小車質(zhì)量m。

③在打出的紙帶上量出起始點(diǎn)至各計(jì)數(shù)點(diǎn)的距離，計(jì)算小車在打下各計(jì)數(shù)點(diǎn)時(shí)的瞬時(shí)速度，進(jìn)而計(jì)算出小車運(yùn)動(dòng)到打下各計(jì)數(shù)點(diǎn)的過程中拉力對(duì)它做的功W及所增加的動(dòng)能，看看它們是否相等。

探究結(jié)果表明，，即合外力所做的功等于物體動(dòng)能的變化。

例5（2014年高考天津卷）某同學(xué)把附有滑輪的長木板放在實(shí)驗(yàn)桌上，將細(xì)繩一端拴在小車上，另一端繞過定滑輪，掛上適當(dāng)?shù)你^碼，使小車在鉤碼的牽引下運(yùn)動(dòng)，以此定量探究繩拉力做功與小車動(dòng)能變化的關(guān)系，此外還準(zhǔn)備了打點(diǎn)計(jì)時(shí)器及配套的電源、導(dǎo)線、復(fù)寫紙、紙帶、小木塊等。組裝的實(shí)驗(yàn)裝置如圖4所示。

①若要完成該實(shí)驗(yàn)，必需的實(shí)驗(yàn)器材還有哪些？____。

②實(shí)驗(yàn)開始時(shí)，他先調(diào)節(jié)木板上定滑輪的高度，使?fàn)恳≤嚨募?xì)繩與木板平行，他這樣做的目的是下列的哪個(gè)？

（填字母代號(hào)）。

A.避免小車在運(yùn)動(dòng)過程中發(fā)生抖動(dòng)

B.可使打點(diǎn)計(jì)時(shí)器在紙帶上打出的點(diǎn)清晰

C.可以保證小車最終能夠?qū)崿F(xiàn)勻速直線運(yùn)動(dòng)

D.可在平衡摩擦力后使細(xì)繩拉力等于小車受的合力

③平衡摩擦力后，當(dāng)他用多個(gè)鉤碼牽引小車時(shí)，發(fā)現(xiàn)小車運(yùn)動(dòng)過快，致使打出的紙帶上點(diǎn)數(shù)較少，難以選到合適的點(diǎn)計(jì)算小車速度，在保證所掛鉤碼數(shù)口不變的條件下，請(qǐng)你利用本實(shí)驗(yàn)的器材提出一個(gè)解決辦法：

。

④他將鉤碼重力做的功當(dāng)作細(xì)繩拉力做的功，經(jīng)多次實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)拉力做功總是要比小車動(dòng)能增量大一些，這一情況可能是下列哪些原因造成的？（填字母代號(hào)）。

A.在接通電源的同時(shí)釋放了小車

B.小車釋放時(shí)離打點(diǎn)計(jì)時(shí)器太近

C.阻力未完全被小車重力沿木板方向的分力平衡掉

D.鉤碼勻加速運(yùn)動(dòng)，鉤碼重力大于細(xì)繩拉力

解析

①根據(jù)實(shí)驗(yàn)原理可知，需要驗(yàn)證（m為細(xì)繩所掛鉤碼的質(zhì)量，M為小車和車上所加鉤碼的質(zhì)量），同時(shí)根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律可知，此實(shí)驗(yàn)中需要測(cè)量鉤碼質(zhì)量、小車質(zhì)量和位移，故還需要的器材有：刻度尺、天平（包含砝碼）。

②分析小車受力可知，在平衡摩擦力的基礎(chǔ)上，使細(xì)繩與木板平行是為了使細(xì)繩拉力等于小車受的合力，應(yīng)填D。

③紙帶上打出的點(diǎn)數(shù)較少，說明小車的加速度過大，致使小車運(yùn)動(dòng)過快，故在所掛鉤碼不變的情況下，可以增加小車的質(zhì)量，即可在小車上加適量的砝碼（或鉤碼）。

④在此實(shí)驗(yàn)中，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律可知，鉤碼的重力大于細(xì)繩的拉力，而實(shí)驗(yàn)中用重力代替拉力會(huì)導(dǎo)致測(cè)得拉力做功大于小車動(dòng)能增量，如果實(shí)驗(yàn)未平衡摩擦力也會(huì)導(dǎo)致測(cè)得的拉力做功大于小車動(dòng)能增量。應(yīng)填CD。

點(diǎn)評(píng)

本題采用重物拖動(dòng)小車在紙帶上打點(diǎn)的方法，定量探究做功與動(dòng)能變化的關(guān)系，著重考查了理解實(shí)驗(yàn)原理、選擇實(shí)驗(yàn)器材、控制實(shí)驗(yàn)條件、尋找問題原因、提出改進(jìn)措施及分析實(shí)驗(yàn)誤差等諸項(xiàng)實(shí)驗(yàn)?zāi)芰Α?/p>

跟蹤訓(xùn)練：

1.（2015年上海靜安高三期末卷）質(zhì)量m=5×10³kg的汽車以P=6×l0⁴W的額定功率沿平直公路行駛，某時(shí)刻汽車的速度為υ₀=1Om/s，再經(jīng)72s達(dá)到最大速度，設(shè)汽車受恒定阻力f=2.5×lO⁴N，求：

（l）υ₀=10m/s時(shí)汽車的加速度a；

（2）汽車的最大速度Vm；

（3）汽車在這72s內(nèi)經(jīng)過的路程s。

2.（2015年江蘇南京、鹽城高三一模卷）如圖5所示，斜面ABC中AB段粗糙，BC段長1.6m且光滑。質(zhì)量為1kg的小物塊由A處以12m/s的初速度沿斜面向上滑行。到達(dá)C處速度為零。此過程中小物塊在AB段速度的變化率是BC段的2倍，兩段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，g=lOm/s².取A為零勢(shì)能點(diǎn)，求：

（l）小物塊通過B處的速度；

（2）小物塊在C處的重力勢(shì)能。

跟蹤訓(xùn)練參考答案：

2.4 m/s。

（2）滑動(dòng)摩擦力與重力沿斜面向下的分力大小相等。從A到B由動(dòng)能定理得：。從A到c由動(dòng)能定理得：，解得E_pc=mgh=40J。