馮克永 胡家權

北宋文豪蘇東坡有句形容廬山的名句：橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同。他那全面而辯證的哲理、含蓄而雋永的思辨能力，完全適用于數(shù)學解題，即從宏觀上進行整體分析，抓住問題的框架結構和本質關系，運用“塊狀”思維，把一些貌似獨立而實質上又緊密聯(lián)系的“量”視為整體，則常常能出奇制勝，找到簡捷解法。下面結合實例，淺談“整體處理法”在向量問題中的應用。

例1 已知a，b是單位向量，a·b=0。若向量c滿足|c-a-b|=1，則|c|的取值范圍是（）。

解：由題意可得|（c-a-b）+（a+b）|。由絕對值不等式的性質|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|，可得，選A。

點評

利用||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，對所求問題進行整體處理，使得解題過程簡潔明了。

例2 在平面上，。若，則的取值范圍是（）。

解：尋找之間的關系是解題的突破口。由，可知四邊形為矩形，所以，兩式相加得，可得。因為，所以，可得，選D。

點評

本題動點多，不易下手，但通過整合條件，可發(fā)現(xiàn)四邊形為矩形，由其對角線性質得，再將兩式平方相加是破解此題的神來之筆，值得回味。

例3 在△ABC中，

解：向量的運算性質：①；②，兩式相加可得，所以，解得

點評

利用余弦定理和解方程的思想也可以求解此題，但總體上沒有利用運算性質①②求解簡便。

例4 若平面向量a，b滿足|2a-b|≤3，則a·b的最小值是______。

解：利用向量的運算性質4a·b求解。

由4×2a·b=，即得a·（當且僅當b=-2a時不等式取“=”號）。所以a·b的最小值是。

點評

巧用向量的運算性質，進行整體處理，凸顯向量模的價值，也使得問題的解決更簡潔。

例5 在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C 所對的邊長，a=4，b=5，c=6，I為△ABC的內心，求的值。

解：。要求及的運算量較大，可利用“整體處理法”求的值。

如圖1，過點I分別作ID⊥AB，IE⊥AC，IF⊥BC，其點D，E，F(xiàn)為垂足，則cos∠IAB。由三角形內切圓的切線性質可得，解得，所以

點評

此題將向量的數(shù)量積整體化歸為切線長，再利用切線長定理求解，其方法獨特，避繁就簡。