喬國(guó)穎

平而向量是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是高中數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的典型體現(xiàn)。近幾年高考對(duì)平面向量知識(shí)的命題，既充分體現(xiàn)自身知識(shí)結(jié)構(gòu)體系命題形式的多樣化，又保持與其他知識(shí)交匯的命題思路，充分彰最平而向量知識(shí)的交匯價(jià)值。

一、知識(shí)點(diǎn)解讀

1.向量的有關(guān)概念

（1）向量：既有大小又有方向的量。向量的大小叫做向量的模。

（2）零向量：長(zhǎng)度等于O的向量，其方向是任意的。

（3）單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量。

（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量。規(guī)定：0與任一向量共線。

（5）相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量。

（6）相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量。

2.向量的線性運(yùn)算

求兩個(gè)向量和的運(yùn)算（或幾何意義）：三角形法則或平行四邊形法則。求a與b的相反向量-b的和的運(yùn)算叫做a與b的差。

3.共線向量定理

向量a（a≠0）與b共線的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)λ，使得b=λa。

4.平而向量基本定理

如果e₁，e₂是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平而內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ₁，λ₂使a=λ₁e₁+λ₂e₂，其中不共線的向量e₁，e₂叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。

5.平面向量共線的坐標(biāo)表示

設(shè)a=（x₁y₁），b=（x₂，y₂），其中b≠0，當(dāng)且僅當(dāng)x₁y₂-x₂，y₁=0時(shí)，向量a，b共線。

6.兩個(gè)向量的夾角

已知兩個(gè)非零向量a和b，作OA=a，OB=b（圖略），令∠AOB=θ（0°≤θ≤180°），則θ叫做向量a與b的夾角。當(dāng)θ=0°時(shí)，a與b同向；當(dāng)θ=180°時(shí)，a與b反向；如果a與6的夾角是90。，我們說(shuō)a與b垂直，記作a⊥6。

7.兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義

已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的央角為θ，則|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a.b，即a·b=|a||b|cos0。規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為O，即O·a=0。

8.向量數(shù)量積的幾何意義

數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的積。

9.向量數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)a，b都是非零向量，e是單位向量，θ為a與b（或e）的夾角。

（l）e·a-a·e=|a|cosθ。

（2）a⊥b<=>a·b=0。

（3）當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b=|a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b=-|a||b|。特別地，a·a=|a|²或者

（5）|a·b|≤|a||b|。

10.向量在平面幾何中的應(yīng)用

平面向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是川向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等問(wèn)題。

（1）證明線段平行、點(diǎn)共線或相似問(wèn)題，常用共線向量定理：a∥b<=>a=λb（b≠0）<=>x₁y₂-x₂y₁=0

（2）證明垂直問(wèn)題，常用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)：a⊥b<=>a·b=0<=>x₁x₂+y₁y₂=0。

（3）利用夾角公式，求夾角：（θ為a與b的夾角）。

二、?？碱}型分析

1.平面向量的基本概念

與平面向量的概念有關(guān)的命題的真假判斷問(wèn)題，其關(guān)鍵在于理解平面向量的概念，還應(yīng)注意兩個(gè)向量相等滿足的條件及零向量的特殊性。

例1，下列說(shuō)法正確的是（）。

A.方向相同或相反的向量是平行向量

B.零向量是0

C.長(zhǎng)度相等的向量叫做相等向量

D.共線向量是在一條直線上的向量

解：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，A錯(cuò)誤。零向量的表示方法是0，B正確。方向相同且模相等的兩個(gè)向量是相等向量，而長(zhǎng)度相等的向量不一定是相等向量，C錯(cuò)誤。方向相同或相反的非零向量又叫共線向量，D錯(cuò)誤。應(yīng)選B。

跟蹤練習(xí)1：對(duì)于非零向量a，b，下列命題中正確的是（）。

A.a∥6=>a在b上的投影為|a|

B.a·b=O=>a=0或b=0

C.a⊥b=>a·6=（a·b）²

D.a·c=b·c=>a=b

提示：a在b上的投影為當(dāng)a∥b時(shí)，cosθ=±1，可得|a|cosθ=±|a|，A錯(cuò)誤。a，b是非零向量，顯然B錯(cuò)誤。a⊥b=>a·b=0=>a.b=（a·b）²，C正確。向量的數(shù)量積中消去律不成立，D錯(cuò)誤。應(yīng)選C。

2.平面向量的線性運(yùn)算

三角形法則和平行四邊形法則是向量線性運(yùn)算的主要方法。共起點(diǎn)的向量，和用平行四邊形法則，差用三角形法則。

側(cè)2設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外，則|AM|=（）。

A.8

B.4

C.2

D.l

解：因?yàn)?，而，所以。?yīng)選C。

跟蹤練習(xí)2：在△ABC中，AE=2EB BC=，則=（）。

A.

B

C

D

提示：，應(yīng)選A。

3.共線向量定理及其應(yīng)用

共線向量定理的條件和結(jié)論是等價(jià)關(guān)系，既可以證明向量共線，也可以由向量共線求參數(shù)。利用兩向量共線證明三點(diǎn)共線要強(qiáng)調(diào)有一個(gè)公共點(diǎn)。

側(cè)了 已知A，B，C是直線l上三點(diǎn)，M是直線l外一點(diǎn)，若，則x，y滿足的關(guān)系是（）。

A.x+y=O

B.x+y>1

C.x+y<1

D.x+y=l

解：因?yàn)锳，B，C是直線l上三點(diǎn)，所以A，B，C三點(diǎn)共線，則（k∈R）。。由以上三個(gè)式子聯(lián)立可以得到，整理可得，而已知條件中有由此可得x=l+k，y=-k，所以x+y=l。選D。

跟蹤練習(xí)3：已知兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60°，c=ta+（1-t）b，若b·c=0，則t=_____。

提示：由c=ta+（l-t）b，得b·c=ta·b+（1-t）bz=0，即得tla llblcos 60.+（1 t）lbl-=0，化簡(jiǎn)得.所以t=2。

4.平面向量基本定理的應(yīng)用

應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算，其中共線向量定理的應(yīng)用起著至關(guān)重要的作用。當(dāng)基底確定后，任一向量的表示都是唯一的。

例4 如圖1，在扇形OAB中，∠AOB=60°，C為弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。若，則x+4y的取值范圍是____。

解：過(guò)點(diǎn)C作CE∥OB，交OA于點(diǎn)E，再作CF∥OA，交OB于點(diǎn)F。

由四邊形OECF是平行四邊形，可得

由與是共線向量且與是共線向量，可得。

由OE與OA同向，OF與OB同向，可得x=

x、y均為正數(shù)且x+4y中y的系數(shù)較大，點(diǎn)C沿弧AB由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，變短而變長(zhǎng)。當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，x=1達(dá)到最大而y=0達(dá)到最小，此時(shí)x+4y有最小值為1；當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B重合時(shí)，x=0達(dá)到最小而y=1達(dá)到最大，此時(shí)有最大值為4。所以的取值范圍足[1，4]。

跟蹤練習(xí)4：若α，β是一組基底，向量，則稱為向量y在基底α，β下的坐標(biāo)。已知向量a在基底p=（1，-1），q=（2，1）下的坐標(biāo)為（-2，2），則向量α在另一組基底m=（-1 .1），n=（1.2）下的坐標(biāo)為（）。

A.（2.0） B.（O，-2） C.（-2，0） D.（O，2）

提示：由條件可得a=-2p+2q=（-2，2）+（4，2）=（2，4）。

設(shè)a=lm+mn=l（-1，1）+m（1，2）-（-l+m，l+2m）.則-l+m=2，l+2m=4，解得l=0，m=2。

所以向量α在另一組基底m=（-l，1），n=（l，2）下的坐標(biāo)為（0，2），選D。

5.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題，主要就是根據(jù)相等向量的坐標(biāo)相同這一原則，通過(guò)列方程（組）進(jìn)行求解；在將向量用坐標(biāo)表示時(shí)，要看準(zhǔn)向量的起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)，也就是要注意向量的方向，不要寫錯(cuò)坐標(biāo)。

例5 在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)向量，其中a=（3，1），b=（l，3）。若，則點(diǎn)C的所有可能位置區(qū)域用陰影表示正確的是（）。

解：，令，可知點(diǎn)C對(duì)應(yīng)區(qū)域在直線y=x的上方，應(yīng)選A。

跟蹤練習(xí)5：已知兩點(diǎn)A（1，O），B（1，），0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在第二象限，且∠AOC=120°，設(shè)，則λ=（）。

A. -1

B.2

C.l

D. -2

提示：由條件知0A=（1，0），OB=（1，），

由已知條件∠AOC=120°，可得cos∠AOC=

所以，解得λ=1，應(yīng)選C。

6.平而向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算

向量共線問(wèn)題中，一般是根據(jù)其中的一些關(guān)系求解參數(shù)的值。如果向量是用坐標(biāo)表示的，就可以利用兩個(gè)向量共線的等價(jià)條件列出方程，求解其中的參數(shù)值。

例6 已知向量a=（2.3），b=（-1，2）.若ma+nb（mn≠0）與a-2b共線，則m/n等于（）。

解：因?yàn)閙a+nb=（2m-n，3m+2n）.a-2b=（4，-l），所以（2m-n）×（-l）-（3m+2n）×4=0，可得，應(yīng)選A。

跟蹤練習(xí)6：已知向量，則

A.-4

B.-9

C.-3

D.-l

提示：由向量，得

由，得（-l）=0，解得λ=-3。應(yīng)選C。

7.求向量的數(shù)量積

在求向量的數(shù)量積的過(guò)程中，要充分利川共線向量定理和平面向量基本定理以及解三角形知識(shí)。

例7 設(shè)0是△ABC的三邊中垂線的交點(diǎn)，a.b，c分別為角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)，已知，則BC·AO的取值范圍是____。

解：O是△ABC的三邊中垂線的交點(diǎn).則O是△ABC外接圓的圓心。

如圖2所示，延長(zhǎng)AO交外接圓于點(diǎn)D。由AD是⊙0的直徑，可知∠ACD=∠ABD=90。。因?yàn)閏Os，所以

因?yàn)?，所以O(shè)

令，所以當(dāng)時(shí)，有最小值。因?yàn)?所以，可知的取值范圍是

跟蹤練習(xí)7：如圖3，已知O為△ABC所在平面上一點(diǎn)，若，則0為△ABC的（）。

A.內(nèi)心

B.外心

C，垂心

D.重心

提示：由，可得

因?yàn)?，可得OB⊥AC，所以點(diǎn)O在AC邊上的高BE上。

同理可得，點(diǎn)0在BC邊上的高AF和AB邊上的高CD上。

所以點(diǎn)O是△ABC三條高線的交點(diǎn)，因此點(diǎn)0是△ABC的垂心，選C。

8.平面向量的模

常見解法有：①把向量放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，給有關(guān)向量賦予具體坐標(biāo)求向量的模。②不把向量放在坐標(biāo)系中，可利用向量的運(yùn)算法則及其幾何意義或應(yīng)用向量的數(shù)量積公式求向量的模。

例8 已知a與b均為單位向量，其夾角為θ，有下列四個(gè)命題：

其中的真命題是（）。 解：由1，得2+2cosθ>1， cosθ>，可知o≤θ<

由1，得2-2cosθ>l，cosθ<，可知

應(yīng)選A。

跟蹤練習(xí)8：已知直角梯形ABCD，AD∥13C，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值。

提示：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，建立如圖4所示的直角坐標(biāo)系xDy。

由題設(shè)可知A（2，0），設(shè)C（0，c），P（0，y），則B（l，c），。由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，有最小值5。

9.平面向量共線與垂直問(wèn)題

平面向量的坐標(biāo)表示可使平面向量的運(yùn)算完全代數(shù)化，從而可以利用“方程的思想”破解向量共線與垂直問(wèn)題。

例9 已知向量與的夾角為120°，且若，且，則實(shí)數(shù)λ的值為____。

解：由向量與的夾角為l20°，且可得

由，得，即，所以，即，解得

跟蹤練習(xí)9：已知向量a=（-1，3），b=（x+1，-4），且（a+b）∥b，則x=（）。

A.3

B.1/3

c.-3

D.-1/3

提示：由a=（-1，3），b=（x+1，-4），可得a+b=（x，-1）。又（a+b）∥b，所以-4z+x+1=0，解得x=1/3。選B。

10.平面向量與其他知識(shí)的交匯問(wèn)題

平面向量與其他知識(shí)的交匯問(wèn)題是高考的?？碱}型，值得大家重視。

例10 函數(shù).f（x）=2sin（ωx+ψ）（）的圖像如圖5所示，則

A.8

B.-8

解：由圖像可知，，所以T=π，可得ω=2。

又，得。

所以。

從而點(diǎn)，于是，可得，選C。

跟蹤練習(xí)IO：已知非零向量a，6滿足a⊥b，則函數(shù)是（）。

A.奇函數(shù)又是偶函數(shù)

B.非奇非偶函數(shù)

C.奇函數(shù)

D.偶函數(shù)

提示：由a⊥b，可得a·b=0，所以，可知為偶函數(shù)，選D。

11.平面向量中的新定義問(wèn)題

這類問(wèn)題的特點(diǎn)是背景新穎，信息量大。解答這類問(wèn)題，首先需要分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問(wèn)題的本質(zhì)弄清楚，然后應(yīng)用到具體的解題過(guò)程中

例11 （2014年高考安徽卷）已知兩個(gè)不相等的非零向量a，b，兩組向量，和均由2個(gè)a和3個(gè)b排列而成。記S=表示S所有可能取值中的最小值。下列的正確命題是____（寫出所有正確命題的編號(hào)）。

①S有5個(gè)不同的值。

②若a⊥b，則Smin與|a|無(wú)關(guān)。

③若a∥b，則Smin與|b|無(wú)關(guān)。

④若|b|>4|a|，則Smin>0。

⑤若|b|=2|a|，Smin=8|a|²，則a與b的夾角為π/4。

解：S可能的取值有3種情況：，所以S最多只有3個(gè)不同的值。

因?yàn)閍，6是不相等的向量，所以以，可得

對(duì)于①，可知明顯錯(cuò)誤。

對(duì)于②，當(dāng)a⊥b時(shí)，Smin與|a|無(wú)關(guān)，知②正確。

對(duì)于③，當(dāng)a∥b時(shí).Smin與|b|有關(guān)，知③錯(cuò)誤。

對(duì)于④，設(shè)a，b的夾角為θ，則，所以0，知④正確。

對(duì)于⑤，可得，又，可知，知⑤錯(cuò)誤。答案為②④。

跟蹤練習(xí)11：在邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDFF中，記以A為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為；記以D為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為。若，m.M分別為（的最小值和最大值，其中則m，M滿足（）。

A.m=O，M>O

B.m<0，M>O

C.m<0，M=O

D.m<0，M

提示：如圖6，只有，其余均有，應(yīng)選D。