李朝陽

摘 ? 要：二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，就初中數(shù)學(xué)中二次函數(shù)的教學(xué)方法和思路從畫圖、看圖、求解析式、關(guān)鍵點(diǎn)特征、應(yīng)用等幾個(gè)方面的逐步推進(jìn)進(jìn)行了分析和探討.

關(guān)鍵詞：二次函數(shù);畫圖;看圖;關(guān)鍵點(diǎn);應(yīng)用

二次函數(shù)是初中九年級(jí)的教學(xué)內(nèi)容，是初中函數(shù)中最難掌握的一章，在初中數(shù)學(xué)中占有重要的地位，作為初高中銜接的內(nèi)容，在中考中也占有較大的份量，學(xué)好二次函數(shù)，對數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和應(yīng)用有重要意義，下面對如何循序漸進(jìn)、條理清楚的學(xué)好二次函數(shù)做探討.

1 ? 學(xué)會(huì)畫圖

1.1 ? 畫y=ax2（a≠0）的圖像

用列表、描點(diǎn)、連線法畫出二次函數(shù)的圖像，讓學(xué)生體會(huì)到二次函數(shù)的圖像是拋物線，a決定拋物線的開口方向和開口大小.

1.2 ? 畫y=a（x-h）2+k（a≠0）的圖像

讓學(xué)生體會(huì)到拋物線的頂點(diǎn)為（h，k），而拋物線的開口方向和開口大小仍是由a決定.而y=ax2可看作y=a（x-0）2+0，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）.

1.3 ? 畫y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像

先配方成y=ax+2+，從而h=-，k=，函數(shù)解析式簡寫為：y=a（x-h）2+k，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k），即（-，）.

綜上所述，系數(shù)a決定了拋物線的開口方向和開口大小，系數(shù)b、c與a決定拋物線的位置;對于拋物線的上下左右移動(dòng)，由于平移前后兩圖形是全等形，所以平移前后a不變，只是頂點(diǎn)（h，k）位置發(fā)生變化，而對于平移的規(guī)律，要緊緊抓住拋物線的頂點(diǎn)位置的變化來定頂點(diǎn)坐標(biāo).如：把二次函數(shù)y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3的圖像向左平移2個(gè)單位、向上平移1個(gè)單位，只要關(guān)注拋物線原頂點(diǎn)（1，-3），平移后頂點(diǎn)（-1，-2），而平移前后a不變，則平移后解析式為（盡可能用頂點(diǎn)式）：y=2（x+1）2-2.

2 ? 學(xué)會(huì)看圖

2.1 ? 看函數(shù)圖像與系數(shù)a的關(guān)系

a>0開口向上，a<0開口向下，|a|越大，開口越小;|a|越小，開口越大.

2.2 ? 看函數(shù)圖像與系數(shù)b的關(guān)系

由對稱軸方程x=-可知，若拋物線的對稱軸在y軸左側(cè)，則對稱軸x=-<0，則>0，a、b同號(hào);拋物線對稱軸若在y軸右側(cè)，則對稱軸x=->0，則<0，a、b異號(hào).

2.3 ? 看函數(shù)圖像與系數(shù)c的關(guān)系

拋物線與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為c.

2.4 ? 看函數(shù)圖像與h、k的關(guān)系

拋物線的頂點(diǎn)位置為（h，k），h=-，k=.

2.5 ? 看增減性

圖像從左向右看，若在某個(gè)區(qū)域（對稱軸的同一側(cè)）是連續(xù)的上坡，則是y隨x的增大而增大，反之若在某個(gè)區(qū)域（對稱軸的同一側(cè)）是連續(xù)的下坡，則是y隨x增大而減小.

2.6 ? 看某些自變量取特殊值時(shí)的函數(shù)值

如當(dāng)x=1時(shí)，可看出a+b+c的值;當(dāng)x=-1時(shí)，可看出a-b+c的值;由圖像也可直接看出函數(shù)圖象的最高點(diǎn)（最大值）或最低點(diǎn)（最小值）.

2.7 ? 看二次函數(shù)所對應(yīng)的方程的解與不等式的解集

拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為對應(yīng)的一元二次方程的解，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)也是函數(shù)對應(yīng)的一元二次方程解的個(gè)數(shù);而不等式的解集可由函數(shù)圖像直接看出：圖像在x軸上方對應(yīng)的x的解集即為不等式ax2+bx+c>0的解集，在x軸下方對應(yīng)的的解集即為不等式ax2+bx+c<0的解集.

例1 ? （圖1）若二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）再加一些條件，則可以看出圖像與a、b、c取值的更多的結(jié)論.如二次函數(shù)y=ax2+bx+c過（-1，2）與（1，0）且與y軸交于負(fù)半軸，則我們可以看出如下的結(jié)論：

1. a>0;

2. 對稱軸在y軸右側(cè)，a、b異號(hào)，b<0;

3. c<0;

4. 頂點(diǎn)在第四象限h>0，k<0;對稱軸x=-<1，可得2a+b>0;

5. 在對稱軸的左側(cè)，y隨x增大而減小，在對稱軸的右側(cè)，則是y隨x增大而增大;

6. 圖像過（-1，2）、（1，0），∴a-b+c=2a+b+c=0，

解得b=-1a+c=1;又∵c<0，∴a>1.

3 ? 學(xué)會(huì)求二次函數(shù)解析式

3.1 ? 一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）

已知三個(gè)點(diǎn)（一般是普通點(diǎn)），用一般式求解.

3.2 ? 交點(diǎn)式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0，△≥0 ）

已知三個(gè)點(diǎn)（與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)和另一個(gè)點(diǎn)），可選用交點(diǎn)式求解.

3.3 ? 頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h）2+k（a≠0）

已知兩個(gè)點(diǎn)（一個(gè)頂點(diǎn)和另一個(gè)任意點(diǎn)），可選用頂點(diǎn)式求解.

當(dāng)然，交點(diǎn)式的條件也適用于一般式，只是計(jì)算方面的簡易問題。有時(shí)也不一定是上述的這三種情況，但多是這三種情況的延伸，如已知對稱軸和兩個(gè)已知點(diǎn)，就相當(dāng)于告知對稱軸方程x=h=-;已知最值，就相當(dāng)于告知方程y=k=-，再結(jié)合其它的條件求解，而已知頂點(diǎn)的坐標(biāo)相當(dāng)于已知兩個(gè)普通點(diǎn)的坐標(biāo).

4 ? 學(xué)會(huì)求特殊點(diǎn)構(gòu)成的圖形面積、特殊點(diǎn)構(gòu)成的圖形特征、對稱軸

關(guān)鍵點(diǎn)A、B、C、D（拋物線與x軸兩交點(diǎn)為A、B，拋物線與y軸的交點(diǎn)為C，拋物線頂點(diǎn)為D）所構(gòu)成的△ABC、△ABD的面積求解;當(dāng)△ABC、△ABD為Rt△時(shí)a、b、c的特征;對稱軸的另外求解方法.

例2 ?（圖2）： 以a>0，△>0即拋物線開口朝上、四個(gè)點(diǎn)都存在為例進(jìn)行研究.已知拋物線與x軸兩交點(diǎn)為A（x1，0），B（x2，0），與y軸交于C（0，c），頂點(diǎn)D（-，）.

4.1 ? △ABC、△ABD的面積與a、b、c的關(guān)系

|AB|=|x1-x2|=-

==.

S△ABC=|AB|·|OC|=··c=·.

S△ABD=|AB|·|DE|=··

==.

4.2 ? 若△ABD是直角三角形

拋物線是軸對稱性圖形，A、B是對稱點(diǎn)，易知△ABD是等腰三角形，E為線段AB的中點(diǎn);則Rt△ABD中，AB=2DE ，即=2·=，

解得，Δ=4.

4.3 ? 若△ABC是直角三角形

則A、B兩點(diǎn)必定在y軸的異側(cè)，∴x1、x2必定異號(hào).∵OC⊥AB于O點(diǎn)，∴Rt△ABC中，OC2=OA·OB，即c2=x1·x2， ∴c2=-，解得ac=-1.

4.4 ? 對稱軸

x=-=-==

==-;當(dāng)交點(diǎn)坐標(biāo)不是A（x1，0）、B（x2，0），而是E（x1，h）、F（x2，h），h≠0、 時(shí)，上面求對稱軸的公式x=一樣可用，因?yàn)橐辉畏匠蘟x2+bx+（c-h）=0在求對稱軸時(shí)用x=-只與a、b有關(guān)，而與常數(shù)c-h無關(guān).

5 ? 學(xué)會(huì)二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

5.1 ? 應(yīng)用于解決實(shí)際問題中的面積最值問題、利潤最大問題

面積最值問題與利潤最大問題都是先由題目條件，構(gòu)造出二次函數(shù)關(guān)系，然后配方求頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而得出面積、利潤的最大（?。┲?但是當(dāng)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)不在自變量的取值范圍內(nèi)時(shí)，則頂點(diǎn)不可用，最大（小）值就不是頂點(diǎn)縱坐標(biāo)，而應(yīng)在自變量的取值范圍內(nèi)來尋找相應(yīng)的最大（?。┲?

例3 ? （圖3）：用一段長為30 m的鐵絲網(wǎng)圍成一個(gè)一邊靠圍墻的矩形場地，墻長為10 m，這個(gè)矩形的長、寬分別是多少米時(shí)，矩形場地的面積最大？最大面積是多少？

設(shè)BC=x（0

當(dāng)x=15時(shí)，S最大為，但x=15時(shí)已超過墻長10 m.

∴x=15不在自變量的取值范圍內(nèi)，不可用，這時(shí)在自變量取值范圍0

5.2 ? 應(yīng)用于解決實(shí)際問題中的石拱橋問題

這類問題的重點(diǎn)是建立合適的平面直角坐標(biāo)系，并且把相關(guān)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化到圖形坐標(biāo)中，然后利用二次函數(shù)知識(shí)解決問題.

例4 ? 圖4是一個(gè)拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2 m，水面寬4 m.若貨船在水面上的部分的橫截面是矩形，已知貨船的寬為2.9 m，且船高出水面1 m，問貨船能否順利通過這座橋？[答案：不能]

可以如圖5建立平面直角坐標(biāo)系，把相關(guān)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化到圖形坐標(biāo)中，如圖所示，則相當(dāng)于求解拋物線形拱橋所對應(yīng)的拋物線：y=-x2+2，當(dāng)x==1.45時(shí)，y的值是否大于1的問題，若大于1，則可以順利通過這座橋，若小于1，則不能通過.

6 ? 利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決其他實(shí)際問題

二次函數(shù)還可以解決諸如剎車距離與時(shí)間問題、投籃等體育運(yùn)動(dòng)問題等，這類問題一般難度不大，而應(yīng)用于與其它圖形（直線、三角形、四邊形、圓等）的結(jié)合則題型較多，一般作為二次函數(shù)壓軸題考查，如下面兩種類型：

6.1 ? 圖形運(yùn)動(dòng)問題

要注意用運(yùn)動(dòng)與變化的眼光去觀察和研究圖形，把握圖形運(yùn)動(dòng)與變化的全過程，抓住其中的等量關(guān)系和變量關(guān)系，并特別關(guān)注一些不變的量、不變的關(guān)系或特殊關(guān)系，善于化動(dòng)為靜，由特殊情形（特殊點(diǎn)，特殊值，特殊位置，特殊圖形等）逐步過渡到一般情形，綜合運(yùn)用各種相關(guān)知識(shí)及數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想加以解決.當(dāng)一個(gè)問題是確定有關(guān)圖形的變量之間的關(guān)系時(shí)，通常建立函數(shù)模型或不等式模型求解;當(dāng)確定圖形之間的特殊位置關(guān)系或者一些特殊的值時(shí)，通常建立方程模型去求解.

6.2 ? 存在性問題

當(dāng)二次函數(shù)與三角形、四邊形和圓綜合考查時(shí)，需要用到數(shù)形結(jié)合思想解決這類問題，把“數(shù)”與“形”結(jié)合起來，互相滲透;而存在探索型問題是指在給定條件下，判斷某種數(shù)學(xué)現(xiàn)象是否存在、某個(gè)結(jié)論是否出現(xiàn)的問題.解決這類問題的一般思路是先假設(shè)結(jié)論的某一方面存在，然后在這個(gè)假設(shè)下進(jìn)行演繹推理，若推出矛盾，即可否定假設(shè);若推出合理結(jié)論，則可肯定假設(shè).

在二次函數(shù)的教學(xué)中要充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，本章知識(shí)對學(xué)生基本數(shù)學(xué)思想和素養(yǎng)的形成起重要推動(dòng)作用.所以我們應(yīng)從培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力入手，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，通過對比、分析、歸納的方法進(jìn)行二次函數(shù)的教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣， 并加深對二次函數(shù)的理解和掌握.同時(shí)，又能使學(xué)生學(xué)到學(xué)習(xí)和探究問題的方法，為今后的學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ)，從而提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.