高純標(biāo)

（安徽省阜陽(yáng)市潁東區(qū)老廟鎮(zhèn)老廟小學(xué)）

極限思想是近代數(shù)學(xué)中一種重要的思想，主要是用極限概念分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想。即用聯(lián)系變動(dòng)的觀點(diǎn)，把所考查的對(duì)象看作是某個(gè)對(duì)象在無(wú)限變化過(guò)程中變化結(jié)果的思想。它體現(xiàn)了“從有限中找到無(wú)限，從暫時(shí)中找到永久，并且使之確定起來(lái)”的一種運(yùn)動(dòng)辯證思想。數(shù)學(xué)分析就是以極限概念為基礎(chǔ)、極限理論為主要工具來(lái)研究函數(shù)的一門(mén)學(xué)科。極限的思想方法貫穿于數(shù)學(xué)分析課程的始終?？梢哉f(shuō)，數(shù)學(xué)分析中幾乎所有的概念都離不開(kāi)極限。

在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》課程目標(biāo)中的“總目標(biāo)”明確指出：“通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?！睆摹半p基”到“四基”的變化上可以看出，課程標(biāo)準(zhǔn)重視在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)的基本思想，重視數(shù)學(xué)思想對(duì)學(xué)生思維發(fā)展的作用。

縱觀小學(xué)教材，極限思想蘊(yùn)含在小學(xué)數(shù)學(xué)諸多知識(shí)領(lǐng)域中。如何在小學(xué)生的頭腦中播下極限思想的“種子”，讓其“生根”“發(fā)芽”，為以后成長(zhǎng)為枝繁葉茂數(shù)學(xué)分析的“參天大樹(shù)”打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)呢？本文將立足于小學(xué)數(shù)學(xué)這一特定的教育階段，針對(duì)“極限思想”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中幾個(gè)特例進(jìn)行初步探索，為教師的教學(xué)設(shè)計(jì)提供參考。

學(xué)生在學(xué)習(xí)了循環(huán)小數(shù)后的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，我出示了這樣一道題。

下面有兩組數(shù)，請(qǐng)大家比較大?。?/p>

師：你們說(shuō)的似乎都有一定的道理，我們比較兩數(shù)的大小還可以采用作差的方法。（師順勢(shì)板書(shū)）

討論交流：①減數(shù)0.99…的小數(shù)點(diǎn)后面有多少個(gè)9？②你認(rèn)為差的小數(shù)點(diǎn)后面的0有多少個(gè)？③差的最后一位會(huì)出現(xiàn)1嗎？

生1：減數(shù)0.99…的末尾有無(wú)數(shù)多個(gè)9，差的小數(shù)點(diǎn)后面有無(wú)數(shù)多個(gè)0，差的最后一位可能不會(huì)出現(xiàn)1。

生2：差的最后一位一定不會(huì)出現(xiàn)1，因?yàn)橐恢睖p下去，有無(wú)限多個(gè)0，永遠(yuǎn)也不會(huì)出現(xiàn)0。

生3：我感覺(jué)0.99…無(wú)限接近1。

師：是呀，無(wú)限接近1，最后等于1了，你們信嗎？

（生有的點(diǎn)頭贊成，有的臉上充滿迷茫。）

而 3÷3=1

通過(guò)上面的教學(xué)，改變了學(xué)生總以為在那遙遠(yuǎn)的地方一定還有一個(gè)9的思維定式吧。其實(shí)，既然是無(wú)限，哪有末尾。正如“時(shí)間無(wú)所謂始終”“宇宙無(wú)邊無(wú)際”一樣。學(xué)生在思考解決問(wèn)題的過(guò)程中，初步體會(huì)了“無(wú)限逼近”的含義，基本上知道0.99…無(wú)限接近1，最后就真的等于1的本質(zhì)。

二、“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”真的取不完嗎

在北師大版義務(wù)教育教科書(shū)五年級(jí)《數(shù)學(xué)》（下）中有以下兩個(gè)數(shù)學(xué)情境：

●讀一讀，想一想，剩下的部分占這張紙條的幾分之幾？

我國(guó)古代著名哲學(xué)著作《莊子·天下》中有這樣一段話：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭。”意思是說(shuō)：一尺長(zhǎng)的木棍，每天截一半，永遠(yuǎn)也截不完。

“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭?！苯氐阶詈笳娴慕夭煌陠?？

第一個(gè)情境是用圖形直觀地幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)單位乘分?jǐn)?shù)單位的意義，即單位量與單位數(shù)都是分?jǐn)?shù)單位，表示一個(gè)分?jǐn)?shù)單位的幾分之一，分?jǐn)?shù)單位與分?jǐn)?shù)單位的積仍然是一個(gè)分?jǐn)?shù)。第二個(gè)情境主要向?qū)W生滲透極限思想。怎樣幫助學(xué)生感悟出木棒所剩部分的長(zhǎng)度會(huì)趨向于0，體會(huì)到初步的極限思想，而且受到一定的傳統(tǒng)文化的熏陶呢？

師：同學(xué)們，你們還記得在第三單元中學(xué)的“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”的含義嗎？

生：它的含義就是說(shuō)“一尺長(zhǎng)的木棍，每天截去它的一半，千秋萬(wàn)代也截不完”。

師：你能說(shuō)一說(shuō)把這根木棍截1次、2次、3次還剩這根木棍的幾分之幾嗎？

師：你能直接說(shuō)出截4次，8次，100次還剩這根木棍的幾分之幾嗎？

生：截4次，剩的木棍的分母應(yīng)該是4個(gè)2相乘，分子應(yīng)該是1……

師：如果把這根木棍截n次，還剩這根木棍的幾分之幾嗎？

生：還剩木棍的分母應(yīng)該是n個(gè)2相乘，分子應(yīng)該是1。

師：你能說(shuō)出把這個(gè)木棍截（n＋1）次，截?zé)o數(shù)次還剩這根木棍的幾分之幾嗎？

生 1：截（n＋1）次還剩木棍的分母應(yīng)該是（n＋1）個(gè) 2相乘，分子是1。

生2：截?zé)o數(shù)次，還剩的木棍的分母應(yīng)該是無(wú)數(shù)個(gè)2相乘，分子是1。

生3：我認(rèn)為剩的很少很少，幾乎沒(méi)有了。

生4：還剩的木棍的分母很大很大，分子是1，應(yīng)該離0很近很近。

師：是啊，當(dāng)截得次數(shù)無(wú)限多時(shí)，分母就越來(lái)越大，分子是1，剩的就無(wú)限逼近0。

三、真的能“化圓為方”嗎

極限思想不但在“數(shù)與代數(shù)”方面有所滲透，而且在“圖形與幾何”也有涉及，如，北師大六年級(jí)數(shù)學(xué)（上）圓的面積公式的推導(dǎo)過(guò)程就滲透了極限的數(shù)形結(jié)合思想。在這節(jié)課上，我利用幾何畫(huà)板軟件，幫助學(xué)生直觀理解把圓分的份數(shù)越多，拼成的圖形越接近長(zhǎng)方形，下面我把在本課教學(xué)中的一個(gè)片段摘錄如下：

師：誰(shuí)能說(shuō)一下平行四邊形、三角形、梯形的面積計(jì)算公式是怎樣推導(dǎo)出的？

生：轉(zhuǎn)化成學(xué)過(guò)的圖形。

師：怎樣計(jì)算一個(gè)圓的面積呢？能不能把圓轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過(guò)的圖形來(lái)計(jì)算呢？（學(xué)生獨(dú)立思考、動(dòng)手剪拼、小組討論、匯報(bào)交流）

生1：我把一個(gè)圓平均分成4份，并剪成2個(gè)半圓，重新拼組，可以得到一個(gè)不規(guī)則的圖形。

生2：我把一個(gè)圓平均分成8份，并剪成2個(gè)半圓，重新拼組，有點(diǎn)像平行四邊形，不過(guò)底邊是彎彎曲曲的線。

生3：把一個(gè)圓平均分成16份，剪成2個(gè)半圓重新拼組，有點(diǎn)像長(zhǎng)方形。

師：老師也把圓平均分成32份、64份，并剪成2個(gè)半圓，重新拼組成，會(huì)得到什么樣圖形呢？（課件演示）

生1：近似的長(zhǎng)方形。

生2：平均分成64份拼成的圖形比平均分成32份拼成的圖形更接近長(zhǎng)方形。

師：請(qǐng)大家想象一下：如果老師繼續(xù)平均分成128份、256份時(shí)，圓平均分的份數(shù)越多，每份就越小，拼組成的圖形會(huì)怎樣變化？

生：越來(lái)越接近長(zhǎng)方形。

師：如果無(wú)限分下去，拼組成的圖形會(huì)怎樣？

生1：很像很像長(zhǎng)方形。

生2：分成無(wú)限多份，長(zhǎng)就變成直的了，就是一個(gè)長(zhǎng)方形。

這個(gè)過(guò)程中從“分的份數(shù)越來(lái)越多”到“這樣一直分下去”的過(guò)程就是“無(wú)限”的過(guò)程，“曲的真的變成直的了，圓形真的變成了長(zhǎng)方形”就是收斂的結(jié)果。學(xué)生經(jīng)歷了從無(wú)限到極限的過(guò)程，感悟了極限思想的具大價(jià)值。

其實(shí)，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，能夠挖掘滲透極限思想的地方還很多，譬如：在學(xué)完小數(shù)的基本性質(zhì)之后，讓學(xué)生寫(xiě)出和0.5相等的小數(shù)；在教學(xué)“自然數(shù)”“奇數(shù)”“偶數(shù)”這些概念教學(xué)時(shí)讓學(xué)生體會(huì)自然數(shù)是數(shù)不完的，奇數(shù)、偶數(shù)的個(gè)數(shù)有無(wú)限多個(gè)；在直線、射線、平行線的教學(xué)時(shí)，可讓學(xué)生體會(huì)直線的兩端是可以無(wú)限延長(zhǎng)的；兩條平行線無(wú)論延長(zhǎng)多長(zhǎng)，永遠(yuǎn)不會(huì)相交等。教師在設(shè)計(jì)教學(xué)方案，進(jìn)行課堂教學(xué)時(shí)，要在學(xué)生感知有限的基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)表象，結(jié)合想象讓學(xué)生體驗(yàn)無(wú)限。在感受無(wú)限的過(guò)程中，飛躍到感知極限，從而感悟極限思想。

總之，極限思想是人類思想文化寶庫(kù)中的瑰寶，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)反映，是學(xué)習(xí)和研究更高深的數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)。我們小學(xué)數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中應(yīng)善于挖掘教材中極限思想的素材，抓住時(shí)機(jī)，將這一思想播種在學(xué)生的頭腦中，為其澆水、施肥。那么，在不久的將來(lái)，極限思想這株小苗一定會(huì)成長(zhǎng)為數(shù)學(xué)森林中的一棵參天大樹(shù)。

[1]白淑珍.對(duì)極限思想的辯證理解[M].中國(guó)校外教育，2008（2）.

[2]鄭毓信.數(shù)學(xué)文化學(xué)[M].四川教育出版社，2004.

[3]孔企平.現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想方法[M].貴州人民出版社，1994.