俞昕

近年浙江省高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課評比別出心裁，全部課題選自于教材中的“閱讀與思考”欄目，執(zhí)教教師向我們展示了一堂堂精彩的選修課程教學(xué).下面筆者以“九連環(huán)中的數(shù)學(xué)”為例談?wù)剶?shù)學(xué)選修課程的教學(xué).1教學(xué)設(shè)計簡介

1.1教學(xué)目標

基本目標

知識技能方面：（1）理解用化歸、遞歸、類比、函數(shù)等思想解決九連環(huán)計數(shù)問題的方法；（2）能在具體問題情景中發(fā)現(xiàn)數(shù)列的遞推關(guān)系.

過程方法方面：（1）經(jīng)歷動手操作、探索規(guī)則、提出問題、建立模型、解決問題、方法應(yīng)用的學(xué)習(xí)過程；（2）體會求解過程中的化歸、遞歸、類比、函數(shù)、歸納等思想方法.

情感態(tài)度價值觀：（1）通過了解九連環(huán)的歷史，讓學(xué)生感受到我國古代數(shù)學(xué)成就，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感；（2）通過學(xué)生課前、課內(nèi)、課后自主、合作探究的學(xué)習(xí)方式，培養(yǎng)學(xué)生問題意識，提高學(xué)生思維能力，孕育學(xué)生創(chuàng)新精神；（3）通過九連環(huán)計數(shù)數(shù)列使學(xué)生感受到數(shù)列是反映現(xiàn)實生活的數(shù)學(xué)模型，體會數(shù)學(xué)源于實踐并應(yīng)用于實踐.

發(fā)展目標

（1）掌握通過遞推公式求解通項公式的基本方法；（2）了解九連環(huán)與格雷碼的關(guān)系.

1.2教學(xué)過程簡介

整個教學(xué)過程包括：介紹歷史，引入新課；認識連環(huán)，提出問題；探究規(guī)律，解決問題；應(yīng)用新知，解新問題；反思解法，提新問題；妙用連環(huán)，變化無窮；交流收獲，分享無限.其中主要環(huán)節(jié)是：認識連環(huán)，提出問題；探究規(guī)律，解決問題；應(yīng)用新知，解新問題.

認識連環(huán)，提出問題（1）介紹九連環(huán)的結(jié)構(gòu).（2）歸納解環(huán)規(guī)則.課前進行學(xué)情調(diào)查，發(fā)現(xiàn)班級里只有少數(shù)學(xué)生精通九連環(huán)，大部分學(xué)生對其知之甚少，因此讓學(xué)生在課前進行小組合作，探究解環(huán)規(guī)則，在課內(nèi)進行交流：要想下/上第n個環(huán)（n>2），必須滿足兩個條件：①第n-1個環(huán)在環(huán)柄上；②前n-2個環(huán)全不在環(huán)柄上.（3）描述連環(huán)狀態(tài).教師提示學(xué)生運用數(shù)學(xué)中的“二進制”表示連環(huán)狀態(tài)：在柄上記為1，在柄下記為0.（4）明確任務(wù)，提出問題.教師向?qū)W生明確任務(wù)：解九連環(huán)就是將九連環(huán)從滿貫狀態(tài)111111111變到零狀態(tài)000000000.教師提問：在這個過程當中有什么數(shù)學(xué)問題？解九連環(huán)（從滿貫狀態(tài)到零狀態(tài)）最少需要多少步？

探究規(guī)律，解決問題（1）討論解決方案.（2）解三連環(huán)、四連環(huán).（3）解五連環(huán)比賽，分享經(jīng)驗.讓學(xué)生以小組為單位解五連環(huán)，操作：將五連環(huán)從“滿貫狀態(tài)”變成“零狀態(tài)”.記錄：五連環(huán)經(jīng)過哪些變化狀態(tài)？探究：上述變化過程中有什么規(guī)律？并請每個小組派代表上臺比賽解五連環(huán).（4）類比得解九連環(huán)過程.建立模型，解決問題.自主探究：如何將九連環(huán)從“滿貫狀態(tài)”變成“零狀態(tài)”？an=an-1+2an-2+1n>2，a1=1，a2=2，a3=5，a4=10，a5=21，a6=a5+2a4+1=42，a7=a6+2a5+1=85，a8=a7+2a6+1=170，a9=a8+2a7+1=341，因此解九連環(huán)最少需要移動圓環(huán)341步.（5）回顧反思.回顧解決問題運用的思想方法：化歸、遞歸、類比、函數(shù)、歸納.

應(yīng)用新知，解新問題（1）華生問題.上個世紀70年代早期，美國一家生產(chǎn)玩具的公司老板杰西華生提出這樣一個問題：假設(shè)九連環(huán)的初始狀態(tài)是只有最靠近柄把的一個環(huán)在柄上，其他所有的環(huán)都在柄下，問解開這個九連環(huán)最少需要多少步？請同桌討論解決，并請一位學(xué)生上臺展示他解決的成果.2課例分析

2.1穿越古今的數(shù)學(xué)玩具

曾在北京召開的第24屆世界數(shù)學(xué)家大會的主席吳文俊院士興致勃勃地參觀北京中國科技館古典數(shù)學(xué)玩具展時，詳細詢問各種玩具體現(xiàn)的玩法和數(shù)學(xué)原理.對九連環(huán)等玩具表示極大興趣.他連聲說：“太有意思了，高深的數(shù)學(xué)在這里變得如此簡單有趣，太奇妙了！”他還說：“有人說，數(shù)學(xué)枯燥，其實數(shù)學(xué)并不枯燥，它是生動的、形象的、豐富多彩的.我們的祖先把玩具和數(shù)學(xué)結(jié)合起來，創(chuàng)造出數(shù)學(xué)玩具.使玩具有了數(shù)學(xué)的文化底蘊，使數(shù)學(xué)有了玩具的形象載體：珠聯(lián)璧合，相得益彰，真是太好了！”本節(jié)課正是抓住了九連環(huán)是一種穿越古今、流行中外的數(shù)學(xué)玩具，讓學(xué)生感受到我國古代數(shù)學(xué)成就，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感.

但筆者認為通過九連環(huán)這一載體還可以繼續(xù)讓學(xué)生反思.比如執(zhí)教教師將解九連環(huán)與二進制聯(lián)系起來，又與格雷碼聯(lián)系起來，由此可以再做一些文章.令人驚奇的是，如果我們把九連環(huán)的解環(huán)過程調(diào)整為每次只改變一個環(huán)，即1、2號環(huán)不同時上、下，則九連環(huán)的解環(huán)過程用二進制數(shù)表達出來就是格雷碼.把九連環(huán)從狀態(tài)000000000變到狀態(tài)111111111，再變到狀態(tài)100000000，就恰好得出整個九位格雷碼.因此人們自然作出這樣的猜測：格雷碼是受九連環(huán)解法的啟發(fā)而得出的.九連環(huán)傳到西方已有幾百年，作為數(shù)學(xué)家，格雷很可能讀過有關(guān)九連環(huán)的著作，因此這一猜測是很合理的.包括國外的很多數(shù)學(xué)家將九連環(huán)中的數(shù)學(xué)上升為數(shù)學(xué)理論.由此看到，我們的祖先不乏天才的創(chuàng)見，卻不能將其上升到理論，后一工作往往由西方學(xué)者來實現(xiàn).更令人感到嘆息的是，像九連環(huán)這類具有卓越教育功能的寶貴遺產(chǎn)，在當代中國已經(jīng)難覓蹤跡了.希望我們的學(xué)生也能由此反思數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

2.2讀書百遍其義自見

課前閱讀往往被數(shù)學(xué)教學(xué)冷落，而在知識拓展類的數(shù)學(xué)選修課中課前閱讀顯得尤為重要.因為《九連環(huán)》閱讀材料內(nèi)容豐富，在一節(jié)課內(nèi)想面面俱到是不可能完成的任務(wù)，所以課前閱讀成了順利完成本節(jié)課教學(xué)任務(wù)的焦點.執(zhí)教教師讓學(xué)生在課前進行小組合作，探究解環(huán)規(guī)則，在課內(nèi)進行交流.其次解三連環(huán)與四連環(huán)在課前已經(jīng)可以解決，并且學(xué)生已經(jīng)在課前思考如何解五連環(huán)甚至更多的連環(huán).這樣教師就可以在課堂上順利引導(dǎo)學(xué)生思考解環(huán)過程中蘊涵的數(shù)學(xué)思想，將其提升為數(shù)列問題加以解決.

課前閱讀可以看做是翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式的一種最簡單的探索與嘗試.翻轉(zhuǎn)課堂（Flipped Classroom或Inverted Classroom）是首先由教師創(chuàng)建教學(xué)視頻，學(xué)生在家或課外觀看視頻講解，然后再回到課堂中進行師生、生生間面對面的分享、交流學(xué)習(xí)成果與心得的教學(xué)形態(tài).教學(xué)視頻的制作是需要教師具有一定的信息技術(shù)基礎(chǔ)的，這需要經(jīng)過系統(tǒng)的培訓(xùn)，但在正式實施翻轉(zhuǎn)課堂模式之前我們可以滲透這種理念與模式，課前閱讀就是一種可行的嘗試.

2.3體驗“玩好數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)好玩”的真諦

“數(shù)學(xué)好玩”曾經(jīng)是數(shù)學(xué)家陳省身先生對數(shù)學(xué)的贊美.九連環(huán)是我國的一種傳統(tǒng)智力玩具，與七巧板、華容道并稱為我國古代三大智力玩具.在本節(jié)課上，執(zhí)教教師讓學(xué)生現(xiàn)場表演解五連環(huán)，并且進行比賽，引起學(xué)生很大的興趣.對于最后的獲勝者大家都給予熱烈的掌聲.這說明學(xué)生對九連環(huán)這樣的智力玩具非常感興趣，這種興趣隨著教師揭開覆蓋在九連環(huán)身上的數(shù)學(xué)面紗的同時自然的上升為對數(shù)學(xué)探究的好奇心與興趣心.在課堂尾聲，執(zhí)教教師給學(xué)生們推薦了幾本書《九連環(huán)圖譜》、《巧解九連環(huán)》等，以供有興趣的學(xué)生繼續(xù)探究.

這種“在玩中學(xué)數(shù)學(xué)”的教學(xué)模式正是目前數(shù)學(xué)教學(xué)所缺少的，因此，筆者覺得不妨以“九連環(huán)中的數(shù)學(xué)”為藍本開發(fā)知識拓展類的數(shù)學(xué)選修課程是頗有價值的.九連環(huán)在其上千年的發(fā)展中，產(chǎn)生了許許多多的變種，形成了“連環(huán)類玩具”.我國研究和收藏連環(huán)類玩具的專家周偉中先生指出：連環(huán)類玩具的種類至少在1000種以上.他本人收藏的就達600余種.連環(huán)類玩具有三大特點：一是挑戰(zhàn)性，任何一種連環(huán)的解法都具有較高的難度，有的難度極高，甚至令人覺得根本不可能解開.二是趣味性，人們對智力玩具具有天生的愛好，都想探索它、研究它、發(fā)現(xiàn)其中的奧妙.三是規(guī)律性，智力玩具都有其內(nèi)在的規(guī)律，連環(huán)類玩具的規(guī)律性則特別強，必須按照特定的程序，有條不紊地操作，才能最終解開.而數(shù)學(xué)知識就往往蘊涵于其中，需要我們在“玩中去發(fā)現(xiàn)規(guī)律”.

2.4體現(xiàn)選修課程發(fā)展學(xué)生個性的特點

在本節(jié)課上，執(zhí)教教師還設(shè)置了兩個環(huán)節(jié)“反思解法，提新問題；妙用連環(huán)，變化無窮”，以體現(xiàn)讓不同的學(xué)生得到不同的發(fā)展.在“反思解法，提新問題”環(huán)節(jié)，教師提出“九連環(huán)與格雷碼的關(guān)系”，學(xué)生自主提出“求通項公式”，反映了不同學(xué)生對探究問題的渴求，完善他們的認知結(jié)構(gòu).在“妙用連環(huán)，變化無窮”環(huán)節(jié)，教師向?qū)W生介紹了九連環(huán)能運用到鎖具中，還能運用到魔術(shù)的逃生術(shù)中等等，以激發(fā)學(xué)生課后對九連環(huán)的繼續(xù)探索.

選修課程的一個重要特點就是發(fā)展學(xué)生的個性，發(fā)掘?qū)W生的優(yōu)勢智能.加德納論證了人類智能的多元存在性，除語言智能、邏輯—數(shù)學(xué)智能外，至少還存在其他六種以上的智能.關(guān)注個體差異，讓不同學(xué)習(xí)水平和不同學(xué)習(xí)風(fēng)格的學(xué)生得到有差異的發(fā)展.對邏輯-數(shù)學(xué)智能弱的學(xué)生，要發(fā)現(xiàn)他們其他的優(yōu)勢智能，鼓勵他們主動參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，嘗試著用自己的方式去解決問題、發(fā)表自己的看法，并及時肯定他們的點滴進步，從而增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心；對學(xué)有余力并對數(shù)學(xué)有濃厚興趣的學(xué)生，教師應(yīng)為他們提供足夠的學(xué)習(xí)材料，滿足他們學(xué)習(xí)的需求，促進數(shù)學(xué)智能與其他智能的全面發(fā)展.本節(jié)課在這方面確實向我們作了一個很好的示范，從簡單的三連環(huán)、四連環(huán)到五連環(huán)，再到九連環(huán)得到遞推關(guān)系，層層遞進，滿足了不同智能的學(xué)生的數(shù)學(xué)需求.

2.5小組合作與自主探究的合理分配

小組合作與自主探究是數(shù)學(xué)教學(xué)中兩種重要的教學(xué)模式，如何有效地在課堂教學(xué)中把握好兩者的關(guān)系以及合理的運用，使之發(fā)揮應(yīng)有的作用是值得我們研究的.本節(jié)課在課前就進行分組合作，讓熟悉九連環(huán)的學(xué)生帶領(lǐng)、幫助不熟悉九連環(huán)的學(xué)生認識九連環(huán).在課內(nèi)，執(zhí)教教師讓學(xué)生以小組合作的方式解五連環(huán)，這樣便于不同熟練程度的學(xué)生繼續(xù)進行相互幫助.而探究九連環(huán)中數(shù)列的遞推關(guān)系和華生問題，教師讓學(xué)生自主探究（或僅同桌之間討論）給出探究結(jié)果，留給學(xué)生獨立思考的機會與時間.

根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)的特點，不同內(nèi)容適合不同的學(xué)習(xí)方式.在學(xué)生最近發(fā)展區(qū)內(nèi)的內(nèi)容盡量讓學(xué)生自主探究，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力.若難度較大，需要集體合力才能完成的探究任務(wù)則可以進行小組合作活動，要注意組內(nèi)異質(zhì)，組間同質(zhì).小組合作學(xué)習(xí)中也要滲透自主探究，每個學(xué)生都要參與其中，學(xué)生個體不能完全依賴他人，不能在學(xué)習(xí)的過程中因為困難、思維惰性而甘愿當聽眾.要敢于提出各自的想法，相互交流，在批判、爭論、修正、達成一致的過程中做出判斷、推理并得出結(jié)論.

參考文獻

[1]沈康身.智力玩具九連環(huán)研究[J].高等數(shù)學(xué)研究，2012，15（5）.

[2]胡重光.奇妙的九連環(huán)[J].湖南教育，200811.

[3]張金磊，王穎，張寶輝.翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式研究[J].遠程教育雜志，20124.